经典控制理论之PID调节.docx
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经典控制理论之PID调节
开关电源从理论上来说，是个强病态系统，但经过工程化近似，好多问题可以运用经典控制理论来解决。
而经典控制理论里面的PID调节，有个脍炙人口，大家耳熟能详的口诀，就是著名的PID调节口诀：
参数整定寻最佳，从小到大顺序查；先是比例后积分，最后才把微分加；曲线振荡很频繁，比例度盘要放大；曲线漂浮绕大弯，比例度盘往小扳；
曲线偏离回复慢，积分时间往下降；曲线波动周期长，积分时间再加长；曲线振荡变很快，先把微分降下来；动差大来波动慢，微分时间要加长；
联想曲线两个波，前高后低4比1；一看二调多分析，调节质量不会低。
这是一条所有学过《自动控制理论》的人，都能熟记于心的口诀。
小弟不才，原与各位共同讨论这个话题。
PID调节，何为P，何为I，何为D?
何为零点，何为极点及它们在系统中的影响。
所谓P者，即proportion比例环节，作为最基本的控制作用，瞬态反应快，比例增益变大会减小稳态误差增加稳态精度，但会使系统稳定性下降。
所谓I者，即integral积分环节，只要还有误差（即残余的控制偏差）存在，积分控制就按部就班地逐渐增加控制作用直到余差消失，所以积分的效果比较缓慢。
所谓D者，即differential环节，微分控制是一种“预见”型的控制，它测出偏差的瞬时变化率，作为一个有效早期修正信号，在超调量出现前会产生一种校正作用。
如果系统的偏差信号变化缓慢或是常数，偏差的导数就很小或者为零，这时微分控制也就失去了意义。
微分控制的特点是：
尽管实际测量值还比设定值低，但其快速上扬的冲势需要及早加以抑制，否则等到实际值超过设定值再作反应就晚了。
但如果作为基本控制使用，微分控制只看趋势不看具体数值所在，最理想的情况是能够把实际值稳定下来，但无法保证稳定在设定值，所以微分控制不能作为基本控制作用。
上述可算是对PID调节的三个工具作用做的总结，如何使用它们，就要引出几个很重要的概念：
负反馈、传递函数、零点、极点。
一、引子 何谓自动控制：
小时候没见过大世面，高考报志愿的时候，搞不清自动化跟电气工程的差别，看到自动化专业，马上能联想到的是：
这边一按按钮，那边机器自动开始工作，然后人就可以一边去泡杯茶，下象棋，两三个小时回来，再按按钮，机器停止工作，收工，这活又轻松又能拿钱。
这种土鳖式的理解，一直持续到大三学习《自动控制原理》。
如果有哪位达人能在我小时候学走路的时候告诉我，小孩子学走路，就是个自动控制的过程，我万万不会有上述幼稚可笑的想法。
举个简单的例子，小孩子去取一个玩具。
设定目标：
玩具；控制对象：
双脚；执行机构：
大脑。
这个过程看似简单，其实已经包含了控制系统的所有概念。
小孩子去取玩具，设定需要走的路线，然后大脑控制双脚去走这条路线。
走的偏了，眼睛反馈给大脑，大脑校正双脚回到正轨；再次偏离正轨，眼睛再次反馈给大脑，大脑再次校正双脚回到正轨.周而复始，经过一段时间，终于到达玩具所在地，完成任务。
这是一个非常完整的自动控制的过程。
由此，我们可见，作为一个完整的自动控制系统，至少需要包括三个元素：
1、控制机构：
大脑；这个可理解成控制器。
2、执行机构：
双脚；这个可理解成被控对象。
3、反馈环节：
眼睛。
这个可理解成测量工具。
作为一个完整的自动控制系统，上面三个元素，缺一不可。
《自动控制理论》研究的是什么呢？
如果《自动控制原理》这门课程，改名为《反馈控制系统》或者《偏差控制系统》，可能会更确切些。
《自动控制原理》研究的仅仅是上述三个元素中的两个元素：
控制机构和反馈环节，而且这个反馈环节，可以简化为单位负反馈。
在这门课程里，被控对象是已知的，即是各种典型环节，最典型的是二阶欠阻尼环节。
事实上，被控对象的确立，同样是个很复杂的过程。
涉及到开关电源中，即是开关变换器的建模。
而我们所采用的单极点补偿器、单极点单零点补偿器、双极点双零点补偿器，这些统统属于控制机构。
在不知道被控对象是啥的前提下，使用这些补偿器，无异于盲人摸象。
在自控原理中，建模的过程，被一笔带过，重点研究的是控制机构的设计。
1、经典控制理论与现代控制理论的主要差别。
经典控制理论和现代控制理论，同属于自动控制理论的范畴，属于两种截然不同的分析方式。
现实生活中，我们更多接触的是物理模型，而自动控制理论，归根结底，是个数学问题。
那么，把真实的物理系统理想化之后，即为物理模型，对物理模型进行数学描述，即为数学模型。
经典控制理论着重研究系统的输入-输出特性（即外部描述），现代控制理论不但研究系统的输入-输出关系，而且还研究系统内部各个状态变量，采用状态向量描述（即内部描述）。
两种描述，都有时域和频域方法。
从广义上讲，现代控制理论的应用层面更宽，而经典控制理论的应用领域相对狭窄，仅仅用于线性时不变定常连续系统。
2、传递函数：
那么怎么把一个物理模型，描述出数学模型，很简单，就是利用了传递函数。
任何一个线性定常连续系统，都可以用一个线性常微分方程描述。
把输出量的微分线性组合放在方程等式左边，输入量的微分线性组合放在方程右边，等号两边分别取拉普拉斯变换，就得到了我们的传递函数模型。
通过拉普拉斯变换，线性微分方程转换成了代数方程，传递函数表达了一个系统输入-输出的关系，一旦系统给定，传递函数就不会变化，即传递函数不受输入和输出的变化影响。
传递函数又可定义为初始条件为零的线性定常系统输出量的s变换与输入量的s变换之比。
传递函数的局限在于，它只能反映系统的外部特性，即输入-输出的特性，因此传递函数模型也常被称为“黑箱”模型，我们只能看到由它引起的外部变化，并不能解决系统内部的一些问题和矛盾。
要解决这个问题就要用状态空间模型和现代控制理论，因此状态空间模型又称“白箱”模型，我们可以清晰看到它的内部结构，以便对系统进行优化和完善。
3、经典控制理论研究的核心内容。
已知一个系统的传递函数，这个系统的动态性能从最根本上讲取决于什么，这些决定因素是如何影响系统性能的。
这个问题其实是经典控制理论最最核心的问题，经典控制理论所有的研究方法都是基于这个问题展开的。
给定一个传递函数G（s），决定系统性能的最根本因素就是系统的零点和极点在复平面上的分布情况，其中起决定性作用的是极点的分布，它决定了系统是否是稳定的，是否有震荡，震荡的频率和幅度等等系统最关键的东西，零点的存在起的是一种调节作用，要么是锦上添花，要么是雪上加霜。
学习经典控制理论，最终目的是学会如何根据各种被控对象来设计合适的控制器，但从上面的意义上来讲，设计控制器最终目的就是为了把整个系统的零点和极点控制在我们希望的区域或范围内。
4、经典控制理论的分析方法：
经典控制理论，概括来讲，有三种分析方法：
时域分析、根轨迹分析、频域分析。
那么PID调节，属于哪种分析方式呢？
属于时域分析。
很多人可能不太理解这样的观点。
PID，含有零点、含有极点，零极点的概念，在频域分析法中同样存在，应该属于频域分析。
频域分析与时域分析的主要差别在于：
1）、时域分析法，研究的是系统的闭环传递函数，里面的零极点，也都是闭环零极点。
频域分析的研究对象是开环传递函数，里面的零极点都是开环零极点。
而经典控制理论研究的内容，是闭环零极点，所以我们可以说，频域分析法是一种间接分析法，时域分析法是三种分析法中最直接最直观的方法。
2）、拉普拉斯算子的不同。
时域分析法中的s算子，是个复数，因此也常被称为复频域分析法。
而频域分析法中的s算子，则是个纯虚数。
个人觉得在一般的电源控制电路中，PID这三个量很难独立调节，调一个电阻或者一个电容，都会影响两个参数。
我们用的比例微分和比例积分电路，都是含有零点和极点的，这不能完全等同于PID三个参数。
拿实际中用运放搭的有比例微分和比例积分环节的实际电路来说一下参数调整呢？
就用时域方法吧！
这个大家都容易实现，用MOSFET做开关，一个电阻做负载，来获得阶跃响应。
你说到阶跃响应，没错，时域分析法的核心内容，就是对一个系统施加阶跃信号，从它的阶跃响应，来判断系统的性能。
对于一个系统的阶跃响应（step）：
（1）、如果系统传递函数G（s）所有极点都具有负实部，那么这个系统无论如何都是稳定的（输出有一个最终的恒定值）。
（2）、传递函数G（s）只要有一个极点具有正实部，这个系统都是不稳定或者发散的。
（3）、如果传递函数G（s）的极点存在复数根，那么系统的输出将存在震荡。
复根离实轴越远震荡越厉害，离虚轴越远震荡衰减越快。
反之，如果传递函数G（s）不存在复数根，则不存在震荡。
例如系统一传递函数为G（s）_1=（4s+2）/[（s+1）（s+2）]，系统二的传递函数为G（s）_2=（1.5s+2）/[（s+1）（s+2）]，它们具有相同的极点，但零点不同。
它们在时域上拉氏反变换分别为：
g（t）_1=6*exp（-2*t）-2*exp（-t），g（t）_2=exp（-2*t）+1/2*exp（-t）。
我一般都是看系统的阶跃响应来判断系统的状况的。
也就是开机的输出波形。
通过建模，得到系统的传递函数之后，对系统外施一给定信号，系统状态和输出在时间域上的响应，决定于系统本身的参数结构，以及系统初始状态和给定输入信号的形式。
通过对时间域响应的研究来评价系统性能，即为控制系统的时域分析。
具体来说，是根据闭环系统的零极点在复平面上位置的分布来分析系统的性能，故又称为复频域分析。
为了时域研究方便，常对线性系统施加典型信号，常用的典型信号有下面五种：
（1）、单位阶跃函数：
Y（t）=Heaviside（t），Y（s）=1/s。
（2）、单位斜坡函数（等速度函数）：
Y（t）=t，Y（s）=1/s^2。
（3）、单位抛物线函数（等加速度函数）：
Y（t）=1/2*t^2，Y（s）=1/s^3。
（4）、单位冲激函数：
Y（t）=dirac（t），Y（s）=1。
（5）、正弦函数：
Y（t）=sin（w*t），Y（s）=w/（s^2+w^2），常用作频域分析时的典型输入信号。
对于同一系统，施加不同形式的输入信号，得到的输出响应是不同的。
线性控制系统的特点是，系统性能只由系统本身的结构参数决定，亦即不同形式输入得到的不同输出响应所表征的系统性能是唯一一致的。
既然，系统性能只由系统本身的结构参数决定，亦即不同形式输入得到的不同输出响应所表征的系统性能是唯一一致的。
那么，可以用上述五个典型型号作为系统输入，去测评系统的特性，上述五个典型信号，在表征系统特性的作用上，是等价的。
但我们在时域分析中，常采用阶跃信号和冲激信号，来表征系统特性。
这不是偶然的，里面包含着很深刻的数学基础，后面会谈到。
有兴趣的朋友，不妨谈谈，我们为什么常用阶跃信号来做典型输入信号呢？
当用阶跃信号作为典型输入信号，得到系统的阶跃响应曲线之后，该用哪些指标来衡量呢？
上述是一个最典型的二阶系统的阶跃响应，主要测评指标有：
（1）、最大超调量Mp：
暂态期间输出超过对应的输入终值的最大偏离量，用百分数表示。
（2）、峰值时间Tp：
对应于最大超调量发生的时间（从t=0开始计时）。
（3）、上升时间Tr：
暂态过程中输出第一次达到对应的输入终值的时间（从t=0开始计时）。
（4）、调整时间Ts：
输出与对应的输入终值之间的偏差达到容许范围（5%或2%）所经历的暂态过程时间（从t=0开始计时）。
（5）、延迟时间Td：
系统响应从t=0开始计时第一次达到终值一半所需时间。
（6）、稳态误差Ess（SteadyStateError）：
稳定的系统，当给定参考输入或外来扰动加入系统后经过足够长的时间，暂态响应已经衰减到微不足道的情况下，系统稳态响应的实际值与期望值之间的误差。
既然经典控制理论，以被控对象的数学模型为研究对象，而数学模型具体可以表达成传递函数。
那么传递函数，到底该如何表示呢？
前面说过，经典控制理论的分析法，大致有三种分析法：
时域分析、根轨迹分析、频域分析，那么对应的传递函数也可表示成三种形式。
1、有理分式形式
式中：
bi、ai为实常数且n≥m，上式称为n阶传递函数，相应的系统为n阶系统。
这个通常是系统的闭环传递函数，时域分析就是以它为研究对象的。
2、零、极点形式
式中：
zj称为函数的零点，pj称为函数的极点，K=Bm/An称为传递系数或者根轨迹增益，为分子分母最高项系数的比值。
系统的开环传递函数，常表达成这种形式。
根轨迹分析法，就是以它为研究对象的。
3、时间常数形式
其中K=B0/A0,为函数式常数项比值，这也是大名鼎鼎的开环增益。
经典控制理论的第三种分析方法频域分析法，就是以这种表达形式为研究对象的。
世界是现实世界，且是个能量守恒的世界，物体的运动，遵循着各种各样的规律，将这些规律抽象出来，就可以用数学来描述物体的运动规律。
这些运动规律，抽取其典型，就形成了各种各样的典型环节，将典型环节组合起来，就形成了各种各样的传递函数表现形式，也形成了各式各样的物体运动规律。
最常见的典型环节如下图所示（因论坛无公式编辑功能，故只能在word上录入截图）
第七种典型环节的极点在s平面的右半平面，这种环节是不稳定的，称为不稳定环节。
传递函数，无外乎是这些典型环节的组合。
上面两个帖子的内容，在任何一本自动控制理论书籍里都能找到，之所以把它们贴出来，是因为它们太重要了。
这些组成了时域分析法的基础元素。
基础内容更新完毕，可以展开进一步的分析。
比如，我们为什么把阶跃信号作为最典型的时域输入信号呢？
阶跃响应，为何可以同时表现系统的动态特性和稳态特性呢？
这里的G（s）疑问：
1.是单位反馈中的，前向通路G（S）吗？
2.还是前向通路（反馈通路没有写表达式）？
3.直接的就是闭环传递函数？
哪种情况呢？
上述三种G（S），可以认为是开环传递函数，也可以认为是闭环传递函数。
要看分析方法的需要。
有人说：
开环增益包含了开环零-极点的信息，俺不理解，并质疑。
从下面的公式可以看出：
开环增益就是时间常数表达法中的G（0）,如合能看出：
开环增益K和时间常数 有关？
换句话说：
可以保持开环的零-极点位置不变，可以自由上下移动开环BODE图。
（开环增益K和时间常数没有相关性，假如有相关性，就没有常规根轨迹之说。
）
开环增益包含了开环零-极点的信息，这里的零极点，是复平面的零极点，是复数。
你所说的零极点，确切来说，是频域分析法中的转折频率点（我们通常也说它们是零极点），开环增益并不包含这种零极点信息。
可否这样说：
（为了区别BODE的零-极点，这里追加“复数”二字1）开环复数零-极点发生变化，则根轨迹增益（或者开环增益）也变化，2）反之：
根轨迹增益（或者开环增益）发生变化，开环的复数零-极点不一定发生变化。
对于2）俺是这样推导的：
常规根轨迹是说：
保持开环的复数零-极点不变，改变根轨迹的增益，来观察闭环极点的运动情况，由此可见：
改变根轨迹的增益不一定改变开环的复数零-极点。
从你上面定义根轨迹的增益/开环增益的数学公式也可得知。
所以：
根轨迹的增益/开环增益不完全包含开环复数零-极点信息，请楼主帮助指正。
开环根轨迹增益，和开环复数零极点，共同表达了系统开环传递函数的信息，它们是互相独立的，互不干扰。
改变开环根轨迹的增益，一定不会改变开环的复数零-极点；改变开环的复数零极点，也不会对开环根轨迹有任何影响。
正如楼主所言：
开环根轨迹增益，和开环复数零极点它们是互相独立的，互不干扰，共同表达了系统开环传递函数的信息。
但是描述开环传递函数的另外一个物理量：
“开环增益” ，按照您以前的解释说：
开环增益却包含了开环零-极点的的信息。
在开环零-极点保持不变的情况下：
开环增益和根轨迹增益是成比例的。
具体关系是：
开环增益/根轨迹增益=开环零点连乘积/开环极点连乘积=常数。
既然根轨迹增益和开环复数零极点它们是互相独立的，那么与根轨迹增益成比例的开环增益也应该和开环复数零极点它们是互相独立的，这不和您上面说的有矛盾吗？
按照你本贴的推理：
开环增益=f（开环根轨迹，开环零点连乘积，开环极点连乘积），即开环增益是三者的函数，开环增益，如何能与开环复数零极点独立呢？
开环增益，包含了开环复数零极点的信息。
是我糊涂了。
一语惊醒梦中人。
在开环零-极点不变 ，选则一个根轨迹增益。
此时的开环增益将完全包含了：
开环复数零-极点连乘积的信息。
结合您的分析，总结这两个“增益”1。
根轨迹增益和开环复数零-极点没有关系，彼此独立。
两者共同表达了开环传递函数。
2。
开环增益含有开环复数零极点的信息，且与根轨迹增益成比例关系（在开环复数零极点不变的情况下）。
这个比例系数就是：
环零点连乘积/开环极点连乘积。
有错误，请指正。
要严格来说，开环根轨迹和开环增益，是八杆子也打不着的关系。
开环根轨迹增益，是用在根轨迹分析法里面的一个概念，开环增益，是用在频率分析法中的概念。
而根轨迹分析法，是1948年美国人伊万斯搞出来的一个关于控制系统性能分析的方法，最初是用来判别稳定性的。
频率分析法，是乃奎斯特、伯德、尼科尔斯这些人建立和完善的一种分析分析方法。
就好比罗纳尔多是巴西的，C.罗纳尔多是葡萄牙的，要不是在皇马踢过球，他们连半毛钱的关系都没有。
开环传递函数和开环频率特性的关系：
（1）如何从开环传递函数作出开环频率特性，
（2）开环传递函数中的零-极点是虚数的情况呢？
如何进行
（1）？
（1）、将开环传递函数中的S用jW代替，即取S=jW，即可由开环传递函数得到开环频率特性。
（2）、开环传递函数中的零、极点是虚数的情况，并不影响上述替代过程。
这个当然知道，我的意思是如何由开环传递函数画出BODE图表（这就是我们需要的直观图）（俺的问题一步一步地提出来，哈哈）。
如果：
开环复数零-极点都是实数，这个BODE直观图好画。
如果：
开环复数零-极点都是虚数，这个BODE直观图如何“画”？
一样的画法啊：
比如开环传递函数G（S）=1/（S^2+1），取s=Jw，它的频率特性就是G（jW）=1/（1-w^2），这不是个很简单的事情吗？
我的意思是几何作图。
代数上转化是完全一致的，直接就S=JW代入搞定，管你是复数零-极点是实数还是虚数。
如果开环复数零-极点都是实数：
对应过来的BODE图就是遇到极点-1偏折，遇到零点：
+1偏折。
如果开环复数零-极点都是虚数：
就不能用偏折法了，因为对应的BODE图在极点频率点前有谐振峰值，相位也发生突变。
如果也用偏折法将产生大的误差。
实际中，开环零-极点很多情况下，会是一个复数，绝无可能是虚数。
因为能量是有限的。
应该是复数。
（虚数就等幅震荡了。
）俺想表达的是：
如果开环零-极点是实数：
用几何法作出BODE图误差不大。
如果开环零-极点是复数：
用几何法作出BODE图误差就很大。
事实上我们遇到如果开环零-极点是复数的并不少见，这时，开环频率BODE图法的应用价值不就大大打折扣了？
问题，一步一步来提。
最后到：
频域时域特征量的对应关系上来。
如何构造好：
频域特征（也就是后来的各种补偿方法，使得系统实现良好的时域行为）。
我们手工画的bode图，都是不精确的伯德图，是渐近线性质的伯德图。
如果开环零极点是复数的话，除了在双极点频率处的增益会有很大误差外，渐近线误差并不是很大。
忽略这个双极点频率处的增益误差，并不影响我们对系统性能的分析。
开环传递函数有复数极点，对应的开环频率特征中，其增益-BODE图也只是在该复数极点模频率附近产生较大的误差，偏离该复数极点模频率较远的频率，其增益和渐进线处的误差几乎很小。
闭环系统时域性能 在BODE图上对应的通常不一个点，而是一个“线”“面”，比如：
截止带宽，中低频宽度，高度。
所以您说复数极点模频率的处的增益“误差”并不影响开环频率特征对闭环时域性能的评估。
是吗？
注意：
有个名词“复数极点模频率”（这是我起的名词，好象书上没有这么说，书上说的是：
自由震荡频率Wn）这个名词起的有问题吗？
双重极点处的增益误差,是比较大的.但可以根据谐振Q值加以修正。
整体的BODE图,只要转折频率计算正确,连接渐进线,画出来的图,和实际的图,误差不会很大。
而且越是远离转折频率,误差会越小.你上贴的这个说法:
闭环系统时域性能 在BODE图上对应的通常不一个点，而是一个“线”“面”，比如：
截止带宽，中低频宽度，高度。
有些想当然了.如果特征方程，有两个相等的负实数根S1=S2=-a（a大于0），我们称a为双重极点。
如果特征方程，有两个共扼的复数根S1=-a+jb,S2=-a-jb.这里有双重极点的说法吗？
如果有，BODE图上哪个频率点是双重极点，怎么表达？
bode图上的双重极点，指的是第二种：
两个共轭复根。
双极点S1=S2=-a+/-jb 该复数，如何在BODE图实数轴上表示呢？
伯德图实数轴？
假设s1=-1-j，s2=-1+j.那么（s-s1）*（s-s2）=s^2+2*s+2；这个不是典型二阶闭环系统的分母吗？
比如传递函数G（S）=（s+1）/（S^2+2*s+2）,bode图如下：
可见，它有少许的频率谐振峰值，但由于系统的阻尼比有点大，峰值并不明显。
该共扼复数，反映在BODE图上，如何表达？
用该复数的模来表达，谐振峰值附近的频率就是这个共扼复数的模频率。
精确的表达为：
谐振峰值的频率=共扼复数的模频率*（（1-2*阻尼系数）^（1/2）），极点是实数，反映在BODE图上，转折频率就是该实数的本身，极点是复数，反映在BODE图上，转折频率就是该复数的模。
尽量用一些约定俗成的概念，不要用自己臆想的概念，不然别人不知道你在说啥。
手工画bode图，一般都是采用渐近线方式，忽略增益上的误差。
转折频率，顾名思义是个频率值，而不可能是个模值。
哈哈，所谓模值频率就是：
大小等于复数极点的模长的频率。
1）如果复数极点s1==a+jb，那么BODE图上的转折频率 =（a^2+b^2）开方。
BODE图在此“（a^2+b^2）开方”频率处发生转折。
2）如果实数极点s1=-a，那么BODE图上的转折频率 =a。
BODE图在此 “a”频率处发生转折。
这样说应该清楚了点。
说是说清楚了，但你这种说法不对哦。
想请教兄台一个问题，个人认为，bode图通常是用来描述开环传递函数G（s）*H（s）的频率特性的，而闭环特征方程是G（s）*H（s）+1=0，不知兄台为何不直接用开环双重极点来讨论，反而舍近求远，绕了个弯来提问？
是这样的：
控制系统的分析方法，总共有三种：
时域分析、根轨迹分析、频域分析。
其中时域分析，是最直观的分析方法，本贴是打算讨论时域分析方法，顺便探讨下频域和时域的联系。
时域的双重极点，并不构成频域的双重极点，是两个概念。
既然讲的是时域的分析方法，那为什么还要联系到bode图上？
建议楼主回答问题，或者别人向楼主提问时，最好讲明是讨论的哪种分析方法，以避免理解上的偏差。
因为我们实际工作中，最常用的是频域分析法，这是一种间接分析法。
讨论时域，是为了更好地去理解频域。
时域的双重极点，并不构成频域的双重极点，是两个概念。
真是佩服楼主，理解的如此精湛！
说的一点也不错。
记得“精通开关电源设计A--Z”这本书也是着重提出这个概念。
时域的双重极点，是构成频域的双重转折点。
如此说，楼主认为如何？
你这说法也不对。
频域的双重极点，一般都是系统开环传递函数分母中存在（A*s^2+B*s+C）这样的表达式，并且B^2<4*A*C。
（我觉得楼主的公式：
B^2<4*A*C，小于号处再应该添加个“等号”。
1。
当△＜0：
开环传递函数分母有共扼复数根。
2.当△ =0：
开环传递函数分母有两相等的实数根。
两相等的实数根，共扼复数根都应该称双重开环极点。
在BODE图上构成双重转折点。
A。
在BODE图上，复数极点对应的极点频率处增益有峰值出现。
和渐近线的误差较大（谐振Q值来描述），B。
在BODE图上，实数极点对应的极点频率处增益，用渐近线的方式逼近。
）这时候我们可以认为，频域上存在双重极点，其实是双重转折点。
而时域上的双重极点，是闭环传递函数分母中存在的特征根，和开环传递函数分母没有必然联系。
频域研究的是开环传递函数的时间常数表达形式，时域研究的是闭环传递函数表达形式。
通过分别展开研究，最后得出的结论是一致的。
谢谢你的指正，但实际系统中，开环传递函数存在两个重合的实根，几乎不可能，这表示两个等时
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