强烈推荐吐血推荐全等三角形等腰三角形典型证明题62道含答案Word文件下载.docx
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E
GAD的延长线于点CG∥EF交作过CCGD＝EF，可得，∠EFDCG∥DC
＝DE（对顶角）＝∠∠FDEGDCCGD≌△EFD∴△CG
＝EF．
EFD＝∠∠CGDAB∥又，EF1＝∠∴，∠EFD2∠∠1=2
＝∠∴∠CGDAGC为等腰三角形，∴△CGAC＝CGEF＝又
AC
EF＝∴
B=2∠，AC=AB+BD，求证：
∠5.已知：
AD平分∠BAC
A
DE，连接AE＝AC证明：
延长AB取点E，使BAC平分∠∵ADCAD＝∠∴∠EADAD
＝，AD∵AE＝ACSAS）AED≌△ACD（∴△CE＝∠∴∠AB+BDAC＝∵AB+BDAE＝∴AB+BE＝∵AEBE＝∴BDE
＝∠∴∠BDEBDEE+＝∠∠∵∠ABCE2∠∴∠ABC＝C∠ABC＝2∴∠
AE=AD+BE
°
D=180∠B+，∠AB⊥CE，BAD平分∠AC已知：
6.
证明：
CF＝EB，连接F在AE上取，使EFAB∵CE⊥90°
CEF∴∠CEB＝∠＝CE，∵EB＝EF，CE＝≌△CEF∴△CEB＝∠CFE∴∠B°
，∠CFE＋∠CFA＝180°
180∵∠B＋∠D＝CFA∴∠D＝∠AC∵平分∠BAD
∴∠DAC＝∠FAC
∵AC＝AC
（SAS）≌△∴△ADCAFCAF∴AD＝BEAD＋＋∴AE＝AFFE＝
AD
BC，D是中点，AD是整数，求AC=27.已知：
AB=4，A
AD=DE解：
延长AD使到E,中点∵D是BCBD=DC
∴和△BDE中在△ACD
AD=DE
∠BDE=∠ADC
BD=DC
∴△ACD≌△BDE
AC=BE=2
∴．
∵在△ABE中
AB-BE＜AE＜AB+BE
∵AB=4
即4-2＜2AD＜4+2
1＜AD＜3
∴AD=2
1AB?
CD°
AB已知：
D是中点，∠ACB=908.
A
D
CB
解：
延AEAD=DE
B中
BD=DC
ACBD
AD=DE
BDEADC
∴AC≌BDE
∠1=中点，求证：
∠CD是F，D∠C=，∠E∠B=，∠BC=DE已知：
9.
A
B
FC
。
BF和EF证明：
连接。
BCF=∠EDF∵BC=ED,CF=DF,∠。
边角边）三角形BCF全等于三角形EDF（∴。
∠DEF∴BF=EF,∠CBF=。
连接BE。
中,BF=EF在三角形BEFBEF。
∠ABC=∠又∵AEB。
中，ABF在三角形和三角形AEFAB=AE,BF=EF,
BEF=∠AEF∠EBF=∠AEB+∠∠∠ABF=ABE+全等。
CD=DE，，EF//AB10.已知：
EFD＝∠∠CGDAB∥又EF1＝∠∴∠EFD2∠∠1=2
＝∠∴∠CGDAGC△为等腰三角形，∴CGAC＝CG
EF＝又
＝AC∴EFC
∠11.已知：
AD平分∠BACA
＝，AD∵AE＝ACSAS）（AED≌△ACD∴△CE＝∠∴∠AB+BDAC＝∵AB+BDAE＝∴AB+BE＝∵AEBE＝∴BDE
＝∠∴∠BDEBDE∠＝∠E+∵∠ABCE2∠∴∠ABC＝C
∠ABC＝2∴∠AE=AD+BE
∠，∠⊥，平分∠已知：
12.ACBADCEABB+D=180
在AE上取F，使EF＝EB，连接CF
∵CE⊥AB
∴∠CEB＝∠CEF＝90°
∵EB＝EF，CE＝CE，
∴△CEB≌△CEF
∴∠B＝∠CFE
∵∠B＋∠D＝180°
∴∠D＝∠CFA
∵AC平分∠BAD
∴∠DAC＝∠FAC
又∵AC＝AC
∴△ADC≌△AFC（SAS）
∴AD＝AF
∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE
12.如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。
求证：
BC=AB+DC。
EF，连接BC上截取BF=AB在ABC平分∠∵BEFBE∠∴∠ABE=BE=BE
又∵）（SAS∴⊿ABE≌⊿FBEBFE∠∴∠A=AB//CD
∵D=180oA+∴∠∠CFE=180o∵∠BFE+∠CFE
D=∠∴∠∠FCEDCE=又∵∠BCD平分∠CE
CE=CE
）（≌⊿FCEAAS∴⊿DCECD=CF
∴BC=BF+CF=AB+CD∴
∠F=，求证：
∠EF=BC，AF=CD，BDE∠EAB=，∠AB//ED已知：
13.
度，∠BDE+∠ABD=180AED=AB‖ED，得：
∠EAB+∠，∵∠EAB=∠BDEABD∴∠AED=∠，∴四边形ABDE是平行四边形。
∴得：
AE=BD，∵AF=CD,EF=BC，全等于三角形DBC，AEF∴三角形∠C。
∴∠F=C
B=∠A=已知：
AB=CD，∠∠D，求证：
∠14.
CB
的交点，当AD<
BC时，E点是射线BA,CD，证明：
设线段AB,CD所在的直线交于E（当点是射线AB,DC的交点）。
则：
AD>
BC时，E是等腰三角形。
△AEDAE=DE∴AB=CD
而BE=CE（等量加等量，或等量减等量）∴BEC是等腰三角形∴△C.∠∴∠B=
PC-PB<
AC-AB
平分线AD上一点，AC>
AB，求证：
是∠15.PBACC
DP
E，AC在上取点AB使AE＝。
AE＝AB∵AP＝AP
BAE，∠EAP＝∠BAPEAP≌△∴△PB。
∴PE＝PE
EC＋PC＜PBAE）＋∴PC＜（AC－。
PB＜AC－AB∴PC－AC-AB=2BE
，BE⊥AEC16.已知∠ABC=3∠，∠1=∠2
C角上取一点D，使得角DBC=AC在C
∠∵∠ABC=3；
C=2∠CDBC=3ABD=∠ABC-∠∠C-∠∴∠C;
∠C+∠DBC=2∵∠ADB=∠AB=AD
∴∴AC–AB=AC-AD=CD=BD
在等腰三角形ABD中，AE是角BAD的角平分线，
∴AE垂直BD
∵BE⊥AE
∴点E一定在直线BD上，
在等腰三角形ABD中，AB=AD，AE垂直BD
∴点E也是BD的中点
∴BD=2BE
∵BD=CD=AC-AB
∴AC-AB=2BE
17.已知，E是AB中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求DC
CF
∵作AG∥BD交DE延长线于G
∴AGE全等BDE
∴AG=BD=5
∴AGF∽CDF
AF=AG=5
DC=CF=2∴BC．∠2，求证：
AD⊥18．如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=
延长AD至BC于点E,
∵BD=DC∴△BDC是等腰三角形
∴∠DBC=∠DCB
又∵∠1=∠2∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2
即∠ABC=∠ACB
∴△ABC是等腰三角形
∴AB=AC
在△ABD和△ACD中
｛AB=AC
∠1=∠2
BD=DC
∴△ABD和△ACD是全等三角形（边角边）
∴∠BAD=∠CAD
∴AE是△ABC的中垂线
∴AE⊥BC
∴AD⊥BC
19．如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．
∠OAB=∠OBA
证明：
∵OM平分∠POQ
∴∠POM＝∠QOM
∵MA⊥OP，MB⊥OQ
∴∠MAO＝∠MBO＝90
∵OM＝OM
∴△AOM≌△BOM（AAS）
∴OA＝OB
∵ON＝ON
∴△AON≌△BON（SAS）
∴∠OAB=∠OBA，∠ONA=∠ONB
∵∠ONA+∠ONB＝180
∴∠ONA＝∠ONB＝90
∴OM⊥AB
的连线CE，E的平分线相交于CBA的平分线与∠ABP，∠BC∥AD分）如图，已知5（．20．
．=AB．求证：
AD+BC交AP于DF点，相交于做BE的延长线，与APPA//BC
∵CBA的角平分线BE均为∠PAB和∠∴∠PAB+∠CBA=180°
，又∵，AE，EAB为直角三角形EBA=90°
∴∠AEB=90°
，∴∠EAB+∠PFAB的角平分线，且AE为∠在三角形ABF中，AE⊥BFCEAB=AF,BE=EF
FAB为等腰三角形，∴三角形BEC中，在三角形DEF与三角形D，∠，∠DEF=CEB∠EBC=∠DFE,且BE=EFDF=BC为全等三角形，∴DEF与三角形BEC∴三角形BAAB=AF=AD+DF=AD+BC∴
BC=2∠=AC+CD，求证：
∠21．如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB
CBDEDAE=AC连接AC到E使延长AB=AC+CD∵CD=CE∴E∠可得∠B=CDE为等腰△BACB=2∠∠
，于FBF⊥AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，、22．（6分）如图①，EF分别为线段AC．AC于点MAF=CE，BD交若AB=CD，MFME=）求证：
MB=MD，（1两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？
若成立、EF
（2）当请给予证明；
若不成立请说明理由．
，DF．）连接（1BE，于BF⊥ACF，⊥∵DEAC于E∥BF，°
∴∠DEC=∠BFA=90，DE△BFA中，RtDECRt在△和，AB=CD，AF=CE∵．
），△BFA（HL∴Rt△DEC≌RtDE=BF．∴BEDF是平行四边形．∴四边形ME=MF；
∴MB=MD，DF．）连接BE，（2F，⊥AC于⊥AC于E，BF∵DE，DE∥BF∴∠DEC=∠BFA=90°
，中，Rt△BFA在Rt△DEC和，AF=CE，AB=CD∵，HL）≌Rt△BFA（DEC∴Rt△．∴DE=BF是平行四边形．∴四边形BEDF．，ME=MF∴MB=MDAB的中点，AE=，E为23．已知：
如图，DC∥AB，且DCEBC．1）求证：
△AED≌△（的面积外，请再写出两个与△AED
（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC（直接写出结果，不要求证明）：
相等的三角形．A
DOE
BC
AB
∵DC∥AED∴∠CDE＝∠AEDC＝∵DE＝DE，EDCAED≌△∴△中点AB∵E为BE＝∴AEDC＝∴BEAB
∥∵DCBECDCE∴∠＝∠CE
∵CE＝EDC∴△EBC≌△EBCAED≌△∴△的延长BD的平分线，，AB=ACBD是∠ABC度，BACABC7．24（分）如图，△中，∠=90．F的延长线于BA交CE，直线E点的直线于C线垂直于过．
BD求证：
=2CE．F
ED证明：
CB∵∠CEB=∠CAB=90°
∴ABCE四点共元
∵∠ABE=∠CBE
∴AE=CE
∴∠ECA=∠EAC
取线段BD的中点G，连接AG，则：
AG=BG=DG
∴∠GAB=∠ABG
而：
∠ECA=∠GBA（同弧上的圆周角相等）
∴∠ECA=∠EAC=∠GBA=∠GAB
AC=AB
∴△AEC≌△AGB
∴EC=BG=DG
∴BE=2CE
25、如图：
DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。
△AED≌△BFC。
EFDCBA
∵DF=CE，
∴DF-EF=CE-EF，
即DE=CF，
在△AED和△BFC中，
∵AD=BC，∠D=∠C，DE=CF
）SAS（BFC≌△AED∴△．
CF，BE=CFAMM，F点在上，BE∥AE26、（10分）如图：
、BC交于点的中线。
AM是△ABC求证：
AFBCME
CF
‖∵BEFCM∠，∠EBM=CFM∴∠E=∠BE=CF∵CFM≌△∴△BEMBM=CM
∴.
ABC是△的中线∴AM。
BD的中点。
⊥ACABC分）如图：
在△中，BA=BC，D是AC、27（10ADBC
∵△ABD和△BCD的三条边都相等
∴△ABD=△BCD
∴∠ADB=∠CD
∴∠ADB=∠CDB=90°
∴BD⊥AC
BF=CF
的延长线上的一点。
AD是F，DB=DC，AB=AC分）10（、28．
ADCBF
中与△ACD在△ABDAB=AC
AD=AD
ACDABD∴△≌△ADCADB=∠∴∠FDCBDF=∠∴∠FDC中在△BDF与△BD=DC
FDC∠∠BDF=DF=DF
FCD≌△∴△FBDBF=FC
∴。
AF=DE，CE=FB。
AE=DF1229、（分）如图：
AB=CD，ABFECD
∵AB=DC
AE=DF,
CE=FB
CE+EF=EF+FB
∴△ABE=△CDF
ABF
∠DCB=∵∠．
AB=DCBF=CE
CDE△△ABF=AF=DE
∴三段路CD，BC公园里有一条“30.Z”字形道路ABCD，如图所示，其中AB∥CD，在AB，恰MF＝CF，M在BC的中点，试说明三只石凳E，，E旁各有一只小石凳，F，M，且BE.
好在一条直线上
EF证明：
连接CD∥∵ABC
∠∴∠B=∵M是BC中点BM=CM
∴在△BEM和△CFM中BE=CF
CB=∠∠BM=CM
SAS）≌△CFM（∴△BEMCF=BE∴．＝，BEDF．求证：
△ABE≌△CDF∥＝CF已知：
31．点A、、E、在同一条直线上，AFCE，BEDF
AF=CE,FE=EF.∵AE=CF.∴∵DF//BE,∠CFD（两直线平行，内错角相等）∴∠AEB=BE=DF∵∴：
△ABE≌△CDF（SAS）
32.已知：
如图所示，AB＝AD，BC＝DC，E、F分别是DC、BC的中点，求证：
AE＝AF。
A
；
连接BDAB=ADBC=D
∵；
两角相加，∠ADC=∠ABCCDB=∴∠ADB=∠ABD∠∠ABD;
是中点∵BC=DCE\F∴DE=BF；
DE=BF∵AB=AD
ABC∠ADC=∠∴AE=AF。
5=21=∠，∠3=∠4，求证:
∠∠6．ACABCD33．如图，在四边形中，E是上的一点，∠D
513AC462EB
中ADC，△ABC在△DCA∠，∠BCA=AC=AC，∠BAC=∠DAC∵∴△ADC≌△ABC（两角加一边）
∵AB=AD，BC=CD
在△DEC与△BEC中
∠BCA=∠DCA，CE=CE，BC=CD
∴△DEC≌△BEC（两边夹一角）
∴∠DEC=∠BEC
＝．DEF△≌ABC△：
证求，CFAD且，上AF在C，D，EF∥BC，DE∥AB知．已34．
AD=DF∵AC=DF∴DE∵AB//EDF∴∠A=∠EFBC又∵//BCA
∠∴∠F=）DEF（ASA∴△ABC≌△
，求FE?
AB，垂足分别为D、，BD、CE相交于点ACAC．35已知：
如图，AB=，BD?
，CE证：
BE=CD．CD
E
AC⊥∵BD°
∴∠BDC=90AB∵CE⊥°
∴∠BEC=90∠BEC=90°
∴∠BDC=AB=AC∵EBC∠∴∠DCB=BC=BC
∴AAS）（△≌△∴RtBDCRtBECBE=CD
36、如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。
DE=DF．
EF
CBD
∵AD是∠BAC的平分线FAD∴∠EAD=∠AC⊥AB，⊥DF∵DE°
BFD=∠CFD=90∴∠°
与∠AFD=90∴∠AEDAFD中AED在△与△FADEAD=∠∠AD=AD
AFD
∠∠AED=）AFD（AAS∴△AED≌△AE=AF
AFO与△中在△AEOFAOEAO=∠∠AO=AO
AE=AF
SAS（）AEO∴△≌△AFO°
AOE=∴∠∠AOF=90EF
⊥AD∴
?
的求AD．若AB=5,于A,BCAC=BC于C,DEADAC于E,AEAB37.已知：
如图,
长？
DE
AB∵AD⊥ADE
∠BAC=∠∴E于DE⊥AC⊥BC于C，又∵AC度根据三角形角度之和等于180DAE
∠∠ABC=∴）（ASA，△ABC≌△DAE∵BC=AEAD=AB=5∴MB=MC
ME=MF。
E、F，，垂足分别为AB=AC，ME⊥AB，MF⊥AC38．如图：
FEBMC
AB=AC∵C
B=∠∴∠ACMF⊥⊥AB，∵ME°
BEM=∴∠∠CFM=90中BME和△CMF在△ME=MF°
C∠∠BEM=∠CFM=90∵∠B=）（AAS∴△BME≌△CMFMB=MC．∴CE?
DE?
D?
ADBCAC?
BD?
C③②④39.如图，给出五个等量关系：
①?
DAB?
CBA．请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结⑤论（只需写出一种情况），并加以证明．
已知：
①AD=BC，⑤∠DAB=∠CBA
△DAB≌△CBA
∵AD=BC，∠DAB=∠CBA
又∵AB=AB
∴△DAB≌△CBA
CDMNMN?
BCAD?
ACB?
90?
AC?
，，直线经过点中，于，且，40．在△ABCCEMNADC?
CEB?
MNBE?
的位置时，旋转到图绕点求证：
①于1≌.
（1）；
当直线BE?
AD②；
CMN请给出证明；
中的结论还成立吗？
若成立，（1绕点）旋转到图2的位置时，
（2）当直线.
若不成立，说明理由
（1）BEC=90°
，∠①∵∠ADC=ACB=∠BCE=90°
．∠CBE=90°
，∠ACD+∠∴∠CAD+∠ACD=90°
，∠BCE+BCE．∴∠CAD=∠AC=BC，∵．≌△∴△ADCCEB，②∵△ADC≌△CEB．∴CE=AD，CD=BE．∴DE=CE+CD=AD+BE°
，CEB=∠ACB=90
（2）∵∠ADC=∠∠ACD=CBE．∴∠又∵AC=BC，≌△CBE．∴△ACDCD=BE．，∴CE=ADBECD=AD﹣∴DE=CE﹣
BF）2EC⊥。
AF=AC
（1）EC=BF；
（，，．如图所示，已知41AE⊥ABAF⊥ACAE=AB，
M
AC，AB，AF⊥）∵（1AE⊥°
，BAE=∠CAF=90∴∠，CAF+∠BAC∠∠∴∠BAE+BAC=，BAF∠EAC=即∠．
在△ABF和△AEC中，
∵AE=AB，∠EAC=∠BAF，AF=AC，
∴△ABF≌△AEC（SAS），
∴EC=BF；
（2）如图，根据
（1），△ABF≌△AEC，
∴∠AEC=∠ABF，
∵AE⊥AB，
∴∠BAE=90°
，
∴∠AEC+∠ADE=90°
∵∠ADE=∠BDM（对顶角相等），
∴∠ABF+∠BDM=90°
在△BDM中，∠BMD=180°
-∠ABF-∠BDM=180°
-90°
=90°
∴EC⊥BF．
42．如图：
BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。
（1）AM=AN；
（2）AM⊥AN。
AN
43FEM21CB
（1）
∵BE⊥AC，CF⊥AB
∴∠ABM+∠BAC=90°
，∠ACN+∠BAC=90°
∴∠ABM=∠ACN
∵BM=AC，CN=AB
∴△ABM≌△NAC
∴AM=AN
（2）
∵△ABM≌△NAC
∴∠BAM=∠N
∵∠N+∠BAN=90°
∴∠BAM+∠BAN=90°
即∠MAN=90°
∴AM⊥AN
43．如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:
BC∥EF
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