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6N边形的内角和

2014年06月21日25865971的初中数学组卷

一．选择题（共10小题）

1．（2013•扬州）一个多边形的每个内角均为108°，则这个多边形是（　　）

A．

七边形

B．

六边形

C．

五边形

D．

四边形

2．（2013•资阳）一个正多边形的每个外角都等于36°，那么它是（　　）

A．

正六边形

B．

正八边形

C．

正十边形

D．

正十二边形

3．（2013•烟台）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（　　）

A．

B．

5或6

C．

5或7

D．

5或6或7

4．（2012•玉林）正六边形的每个内角都是（　　）

A．

60°

B．

80°

C．

100°

D．

120°

5．（2012•深圳）如图所示，一个60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2的度数为（　　）

A．

120°

B．

180°

C．

240°

D．

300°

6．（2010•泉州）如图所示，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D，E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE重叠压平，A与A'重合，若∠A=70°，则∠1+∠2=（　　）

A．

140°

B．

130°

C．

110°

D．

70°

7．（2009•湛江）如图，小林从P点向西直走12米后，向左转，转动的角度为α，再走12米，如此重复，小林共走了108米回到点P，则α=（　　）

A．

30°

B．

40°

C．

80°

D．

不存在

8．（2009•内江）如图，小陈从O点出发，前进5米后向右转20°，再前进5米后又向右转20°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走了（　　）

A．

60米

B．

100米

C．

90米

D．

120米

9．（2012•茂名）从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割成6个三角形，则n的值是（　　）

A．

B．

C．

D．

10．在凸多边形中，四边形有两条对角线，五边形有5条对角线．观察探索凸十边形有（　　）条对角线．

A．

B．

C．

D．

二．填空题（共3小题）

11．（2008•连云港）如图所示，①中多边形（边数为12）是由正三角形“扩展”而来的，②中多边形是由正方形“扩展”而来的，…，依此类推，则由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为　_________　．

12．如图，在正六边形ABCDEF内放入2008个点，若这2008个点连同正六边形的六个顶点无三点共线，则该正六边形被这些点分成互不重合的三角形共　_________　个．

13．一个n边形中，除了一个内角外，其余内角和是1020°，那么这个未知角是　_________　度，这个多形是　_________　边形．

三．解答题（共11小题）

14．我们知道，过n边形的一个顶点可以作（n﹣3）条对角线，这（n﹣3）条对角线把三角形分割成（n﹣2）个三角形．

（1）请以三角形、四边形、五边形为切入点研究，找出规律，如图①；

（2）如图②，在n边形的边上任意取一点，连接这点与各顶点的线段可以把n边形分成几个三角形？

（3）想一想，利用这两个图形，怎样证明多边形的内角和定理？

15．

（1）过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形共有k条对角线，求（m﹣k）n的值是多少？

（2）如图，∠A=∠C，CD⊥AB于D，交AE于F，试判别∠AEB的度数吗？

并说明理由．

16．有两个多边形，这两个多边形的边数比为3：

5．内角和的度数之比是1：

2，求它们各自的边数．

17．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=？

18．

（1）如图，在图1中，互不重叠的三角形共有3个，在图2中，互不重叠的三角形共有5个，在图3中，互不重叠的三角形共有7个，…，则在第n个图形中，互不重叠的三角形共有　_________　个．（用含n的代数式表示）

（2）若在如图4所示的n边形中，P是A1An边上的点，分别连接PA2、PA3、PA4…PAn﹣1，得到n﹣1个互不重叠的三角形．

你能否根据这样的划分方法写出n边形的内角和公式并说明你的理由；

（3）反之，若在四边形内部有n个不同的点，按照

（1）中的方法可得k个互不重叠的三角形，试探究n与k的关系．

19．一个正多边形的每个外角和与其相邻的内角的度数比为1：

3，求这个正多边形的边数．

20．如图，已知正五边形ABCDE的每一个角都相等．

（1）求∠B；

（2）连AC，若∠BAC=∠BCA，求∠ACD．

21．

（1）如图①②，试研究其中∠1、∠2与∠3、∠4之间的数量关系；

（2）如果我们把∠1、∠2称为四边形的外角，那么请你用文字描述上述的关系式；

（3）用你发现的结论解决下列问题：

如图③，AE、DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD、∠MDA的平分线，∠B+∠C=240°，求∠E的度数．

22．正六边形的中心角∠MON（=60°）绕中心O旋转．试证：

无论中心角旋转到何种位置，阴影部分的面积总等于这个正六边形面积的

．

23．（2008•西城区一模）如图，正六边形ABCDEF中，点M在AB边上，∠FMH=120°，MH与六边形外角的平分线BQ交于点H．

（1）当点M不与点A、B重合时，求证：

∠AFM=∠BMH．

（2）当点M在正六边形ABCDEF一边AB上运动（点M不与点B重合）时，猜想FM与MH的数量关系，并对猜想的结果加以证明．

24．阅读下面材料：

小伟遇到这样一个问题：

如图1，在正三角形ABC内有一点P，且PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度数．

小伟是这样思考的：

如图2，利用旋转和全等的知识构造△AP′C，连接PP′，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．

请你回答：

图1中∠APB的度数等于　_________　．

参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：

（1）如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=

，PB=1，PD=

，则∠APB的度数等于　_________　，正方形的边长为　_________　；

（2）如图4，在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA=2，PB=1，PF=

，则∠APB的度数等于　_________　，正六边形的边长为　_________　．

2014年06月21日25865971的初中数学组卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．（2013•扬州）一个多边形的每个内角均为108°，则这个多边形是（　　）

A．

七边形

B．

六边形

C．

五边形

D．

四边形

考点：

分析：

首先求得外角的度数，然后利用360除以外角的度数即可求解．

解答：

解：

外角的度数是：

180﹣108=72°，

则这个多边形的边数是：

360÷72=5．

故选C．

点评：

本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理

2．（2013•资阳）一个正多边形的每个外角都等于36°，那么它是（　　）

A．

正六边形

B．

正八边形

C．

正十边形

D．

正十二边形

考点：

分析：

利用多边形的外角和360°，除以外角的度数，即可求得边数．

解答：

解：

360÷36=10．

故选C．

点评：

本题考查了多边形的外角和定理，理解任何多边形的外角和都是360度是关键．

3．（2013•烟台）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（　　）

A．

B．

5或6

C．

5或7

D．

5或6或7

考点：

分析：

首先求得内角和为720°的多边形的边数，即可确定原多边形的边数．

解答：

解：

设内角和为720°的多边形的边数是n，则（n﹣2）•180=720，

解得：

n=6．

则原多边形的边数为5或6或7．

故选：

D．

点评：

本题考查了多边形的内角和定理，理解分三种情况是关键．

4．（2012•玉林）正六边形的每个内角都是（　　）

A．

60°

B．

80°

C．

100°

D．

120°

考点：

专题：

常规题型．

分析：

先利用多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出正六边形的内角和，然后除以6即可；

或：

先利用多边形的外角和除以正多边形的边数，求出每一个外角的度数，再根据相邻的内角与外角是邻补角列式计算．

解答：

解：

（6﹣2）•180°=720°，

所以，正六边形的每个内角都是720°÷6=120°，

或：

360°÷6=60°，

180°﹣60°=120°．

故选D．

点评：

本题考查了多边形的内角与外角，利用正多边形的外角度数、边数、外角和三者之间的关系求解是此类题目常用的方法，而且求解比较简便．

5．（2012•深圳）如图所示，一个60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2的度数为（　　）

A．

120°

B．

180°

C．

240°

D．

300°

考点：

分析：

三角形纸片中，剪去其中一个60°的角后变成四边形，则根据多边形的内角和等于360度即可求得∠1+∠2的度数．

解答：

解：

根据三角形的内角和定理得：

四边形除去∠1，∠2后的两角的度数为180°﹣60°=120°，

则根据四边形的内角和定理得：

∠1+∠2=360°﹣120°=240°．

故选C．

点评：

主要考查了三角形及四边形的内角和是360度的实际运用与三角形内角和180度之间的关系．

A．

140°

B．

130°

C．

110°

D．

70°

考点：

专题：

压轴题．

分析：

首先根据四边形的内角和公式可以求出四边形ADA'E的内角和，由折叠可知∠AED=∠A'ED，∠ADE=∠A'DE，∠A=∠A'，又∠A=70°，由此可以求出∠AED+∠A'ED+∠ADE+∠A'DE，再利用邻补角的关系即可求出∠1+∠2．

解答：

解：

∵四边形ADA'E的内角和为（4﹣2）•180°=360°，

而由折叠可知∠AED=∠A'ED，∠ADE=∠A'DE，∠A=∠A'，

∴∠AED+∠A'ED+∠ADE+∠A'DE=360°﹣∠A﹣∠A'=360°﹣2×70°=220°，

∴∠1+∠2=180°×2﹣（∠AED+∠A'ED+∠ADE+∠A'DE）=140°．

故选A．

点评：

本题考查根据多边形的内角和计算公式求和多边形相关的角的度数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．

7．（2009•湛江）如图，小林从P点向西直走12米后，向左转，转动的角度为α，再走12米，如此重复，小林共走了108米回到点P，则α=（　　）

A．

30°

B．

40°

C．

80°

D．

不存在

考点：

专题：

应用题；压轴题．

分析：

先求出多边形的边数，再利用多边形的外角和求出答案即可．

解答：

解：

∵108÷12=9，

∴小林从P点出发又回到点P正好走了一个9边形，

∴α=360°÷9=40°．

故选B．

点评：

本题主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是360°．

A．

60米

B．

100米

C．

90米

D．

120米

考点：

专题：

应用题．

分析：

利用多边形外角和等于360度即可求出答案．

解答：

解：

∵小陈从O点出发当他第一次回到出发点O时正好走了一个正多边形，

∴多边形的边数为360°÷20=18，

∴他第一次回到出发点O时一共走了18×5=90米．

故选C．

点评：

主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是360°．

9．（2012•茂名）从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割成6个三角形，则n的值是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

分析：

根据从一个n边形的某个顶点出发，可以引（n﹣3）条对角线，把n边形分为（n﹣2）的三角形作答．

解答：

解：

设多边形有n条边，

则n﹣2=6，

解得n=8．

故选C．

点评：

本题主要考查了多边形的性质，解题的关键是熟悉从n边形的一个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，形成的三角形个数为（n﹣2）的规律．

10．在凸多边形中，四边形有两条对角线，五边形有5条对角线．观察探索凸十边形有（　　）条对角线．

A．

B．

C．

D．

考点：

专题：

计算题；规律型．

分析：

n边形的对角线共有

条，根据此关系式求解．

解答：

解：

当n=10时，

=35，

即凸十边形的对角线有35条．

故选C．

点评：

本题考查了多边形的边数与对角线的条数之间的关系，熟记多边形的边数与对角线的条数的关系式是解决此类问题的关键．

二．填空题（共3小题）

11．（2008•连云港）如图所示，①中多边形（边数为12）是由正三角形“扩展”而来的，②中多边形是由正方形“扩展”而来的，…，依此类推，则由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为　n（n+1）　．

考点：

专题：

压轴题；规律型．

分析：

①边数是12=3×4，②边数是20=4×5，依此类推，则由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为n（n+1）．

解答：

解：

∵①正三边形“扩展”而来的多边形的边数是12=3×4，

②正四边形“扩展”而来的多边形的边数是20=4×5，

③正五边形“扩展”而来的多边形的边数为30=5×6，

④正六边形“扩展”而来的多边形的边数为42=6×7，

∴正n边形“扩展”而来的多边形的边数为n（n+1）．

点评：

首先要正确数出这几个图形的边数，从中找到规律，进一步推广．正n边形“扩展”而来的多边形的边数为n（n+1）．

12．如图，在正六边形ABCDEF内放入2008个点，若这2008个点连同正六边形的六个顶点无三点共线，则该正六边形被这些点分成互不重合的三角形共　4020　个．

考点：

专题：

规律型．

分析：

先求出点的个数，进一步求出互不重合的三角形的个数．

解答：

解：

∵正六边形ABCDEF内放入2008个点，这2008个点连同正六边形的六个顶点无三点共线，

∴共有2008+6=2014个点．

∵在正六边形内放入1个点时，该正六边形被这个点分成互不重合的三角形共6个；即当n=1时，有6个；然后出现第2个点时，这个点必然存在于开始的6个中的某一个三角形内，然后此点将那个三角形又分成3个三角形，三角形数量便增加2个；又出现第3个点时，同理，必然出现在某个已存在的三角形内，然后又将此三角形1分为3，增加2个…，

∴内部的点每增加1个，三角形个数便增加2个．

于是我们得到一个等差数列：

存在n个点时，三角形数目an=a1+（n﹣1）d=6+2（n﹣1）=2n+4（n≥1）．

由题干知，2008个点的总数为a2008=2×2008+4=4020（个）．

点评：

本题是等差数列的应用，找到点的个数是解题的关键．

13．一个n边形中，除了一个内角外，其余内角和是1020°，那么这个未知角是　60　度，这个多形是　八　边形．

考点：

专题：

计算题．

分析：

n边形的内角和为（n﹣2）×180°，即多边形的内角和为180°的整数倍，用1020°除以180°，所得余数和去掉的一个内角互补．

解答：

解：

∵1020°÷180°=5…120°，

∴去掉的内角为180°﹣120°=60°，

设这个多边形为n边形，

则（n﹣2）×180°=1020°+60°，

解得n=8，

故答案为：

60°，八．

点评：

本题考查了多边形内角与外角．关键是利用多边形的内角和为180°的整数倍，求多边形去掉的一个内角度数．

三．解答题（共11小题）

14．我们知道，过n边形的一个顶点可以作（n﹣3）条对角线，这（n﹣3）条对角线把三角形分割成（n﹣2）个三角形．

（1）请以三角形、四边形、五边形为切入点研究，找出规律，如图①；

（2）如图②，在n边形的边上任意取一点，连接这点与各顶点的线段可以把n边形分成几个三角形？

（3）想一想，利用这两个图形，怎样证明多边形的内角和定理？

考点：

专题：

规律型．

分析：

（1）根据图形分别确定出三角形的个数即可；

（2）根据三角形的个数与边数的规律写出即可；

（3）图①，多边形的内角和等于所有三角形的内角和，图②多边形的内角和等于所有三角形的内角和减去一个平角的度数．

解答：

解：

（1）三角形时只有一个三角形，

四边形时，有2个三角形，

五边形时，有3个三角形，

n边形时，有（n﹣2）个三角形；

（2）图②共分成了（n﹣1）个三角形；

（3）图①，多边形的内角和等于这（n﹣2）个三角形的内角和，为（n﹣2）•180°，

图②，多边形的内角和等于这（n﹣1）个三角形的内角和再减去以点P为顶点的平角的度数，为（n﹣1）•180°﹣180°=（n﹣2）•180°．

点评：

本题考查了多边形的对角线，多边形的内角，读懂题目信息并准确识图，准确计算出三角形的个数的变化规律是解题的关键．

15．

（1）过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形共有k条对角线，求（m﹣k）n的值是多少？

（2）如图，∠A=∠C，CD⊥AB于D，交AE于F，试判别∠AEB的度数吗？

并说明理由．

考点：

专题：

应用题．

分析：

（1）根据n边形一个顶点的对角线有（n﹣3）条，求出m、n、k的值，然后代入代数式进行计算即可得解；

（2）根据CD⊥AB可得∠C+∠B=90°，再根据∠A=∠C可得∠A+∠B=90°，然后根据三角形的内角和定理可得∠AEB=90°．

解答：

解：

（1）∵n边形一个顶点的对角线有（n﹣3）条，

∴对角线的总条数为

，

由题意有：

①m﹣3=7，解得m=10；

②n=3；

③

=k，

解得k=5，

∴（m﹣k）n=（10﹣5）3=125；

（2）∠AEB=90°．

理由如下：

∵CD⊥AB，

∴∠C+∠B=90°，

∵∠A=∠C，

∴∠A+∠B=90°，

在△AEB中，∠AEB=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣90°=90°．

点评：

本题考查了多边形的对角线，直角三角形的两锐角互余的性质，熟记多边形的对角线的条数计算公式是解题的关键．

16．有两个多边形，这两个多边形的边数比为3：

5．内角和的度数之比是1：

2，求它们各自的边数．

考点：

分析：

设多边形的边数为3n，则另一个为5n，分别表示出两个多边形的内角和得到有关n的方程求解即可．

解答：

解：

∵两个多边形的边数之比为3：

5，

∴设多边形的边数为3n，则另一个为5n，

∵内角和度数之比为1：

2，

∴（3n﹣2）：

（5n﹣2）=1：

2，

解得：

n=，2，

∴3n=6，5n=10．

故它们各自的边数为6和10．

点评：

本题考查了多边形的内角与外角，正确的设出边数并表示出其内角和是解决本题的关键．

17．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=？

考点：

专题：

转化思想．

分析：

先根据三角形的外角性质分别得出∠7=∠1+∠5，∠8=∠4+∠6，再根据四边形的内角和等于360°即可求解．

解答：

解：

∵∠7=∠1+∠5，∠8=∠4+∠6，

∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=∠2+∠3+∠7+∠8=360°．

故∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°．

点评：

本题考查了三角形的外角性质和四边形的内角和．解答此类题目的关键是把几个角的和转化为四边形的内角和解答．

18．

（1）如图，在图1中，互不重叠的三角形共有3个，在图2中，互不重叠的三角形共有5个，在图3中，互不重叠的三角形共有7个，…，则在第n个图形中，互不重叠的三角形共有　2n+1　个．（用含n的代数式表示）

（2）若在如图4所示的n边形中，P是A1An边上的点，分别连接PA2、PA3、PA4…PAn﹣1，得到n﹣1个互不重叠的三角形．

你能否根据这样的划分方法写出n边形的内角和公式并说明你的理由；

（3）反之，若在四边形内部有n个不同的点，按照

（1）中的方法可得k个互不重叠的三角形，试探究n与k的关系．

考点：

专题：

探究型．

分析：

（1）解决本题时，可以分别计算出n=3时，4时，5时，6时，各自对应的数值，看所得结果与n之间有什么关系，进而即可求出答案；

（

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