六章平稳时间序列.docx

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六章平稳时间序列

第六章平稳时间序列模型

时间序列的分析研究始终是计量经济学和统计学的一个热点，对于制定精确定价和预测决策是至关重要的，近代计量经济学和金融市场的许多研究成果和市场决策理论愈来愈多是建立在时间序列分析的基础上。

Engle和Grange因为他们的时间序列模型在经济金融中的广泛应用而获得2003年的诺贝尔经济学奖，就是时间序列分析方法的重要性在世界上被广泛认可的有力证明•近代计量经济和金融市场的许多研究成果都建立在时间序列分析的基础之上。

传统应用较广的是Box和Jenkins（1970）提出的ARIMA（自回归求和移动平均）方法；Engle（丄982）提出了ARCH模型（一阶自回归条件异方差），用以研究非线性金融时间序列模型，由此开创了金融时序独树一帜的研究思路和方法。

随着时间序列分析理论和方法的发展，美国学者Schemas和Lebanon发现股票日收益序列与周收益序列中存在混沌现象，米尔斯也指出金融时间序列似乎通常可以用随机漫步来很好近似，非线性时间序列模型被广泛应用在金融时间序列分析中。

就数学方法而言，平稳随机序列的统计分析，在理论上的发展比较成熟，从而构成时间序列分析的基础。

因此，本章从基本的平稳时间序列讲起。

第一节基本概念

—、随机过程

在概率论和数理统计中，随机变量是分析随机现象的有力工具。

对于—些简单的随机现象，一个随机变量就足够了，如候车人数，某单位一天的总用水量等。

对于一些复杂的随机现象，用一个随机变量来描述就不够了，而需要用若干个随机变量来加以刻画。

例如平面上的随机点，某企业—天的工作情况（产量、次品率、耗电量、出勤人数等）都需要用多个随机变量来刻画。

还有些随机现象.要认识它必须研究其发展变化过程，这一类随机现象不能只用一个或多个随机变量来描述，而必须考察其动态变化过程，随机现象的这种动态变化过程就是随机过程。

例如，某一天电话的呼叫次数,它是一个随机变量。

若考察它随时间f变动的情况，则需要考察依赖于时间「的随机变量乩｛£｝就是一个随机过程。

又例如，某国某年的GNP总量,是一个随机变量.但若考查它随时间变化的情形，则｛GNP,｝就是一个随机过程。

—般地.若对于每一特定的fOwT）,开为一随机变量.则称这一族随机变量｛＞0为一个随机过程。

随机过程的分类一般有两种方法：

（丄）以参数集T和儿的取值的特征来分类；

（2）以统计特征或概率特征来分类。

为了简便，我们以参数集和儿的取值的特征来分类。

以参数集卩的性质.随机过程可分为两大类：

丁为可数集合与不可数集合。

以儿所取的值的特征•随机过程也可以分为两大类：

离散状态，即X所取的值是离散的点；连续状态，即兀所取的值是连续的。

由此可将随机过程分为以下四类：

离散参数离散型随机过程；连续参数离散型随机过程；连续参数连续型随机过程；离散参数连续型随机过程。

二、时间序列

离散型时间指标集的随机过程通常称为随机型时间序列，简称为时间序列。

经济分析中常用的时间序列数据都是经济变量随机序列的一个实现。

时间序列分析是一种根据动态数据揭示系统动态结构和规律的统计方法，是统计学的一个分支。

时间序列的特点是：

序列中的数据依赖于时间顺序；序列中每个数据的取值具有一定的随机性；序列中前后的数值有一定的相关性一系统的动态规律；序列整体上呈现某种趋势性或周期性。

时间序列的统计特征通常用其分布与数字特征来刻画。

例如期望E（y,）,方差％"©）和协方差Cov（）;,儿）。

研究时间序列具有重要的现实意义.通过对时间序列的分析和研究，认识系统的结构特征（如趋势的类型，周期波动的周期、振幅，等等）；揭示系统的运行规律；进而预测或控制系统的未来行为，或修正和重新设计系统（如改变参数、周期等）按照新的结构运行。

三、时间序列的平稳性与滞后算子

所谓时间序列的平稳性，是指时间序列的统计规律不会随着时间的推移而发生变化。

也就是说，生成变量时间序列数据的随机过程的特征不随时间变化而变化。

以平稳时间序列数据作为计量经济模型变量的观测值时.其估计方法、检验过程才可能采用前面几章所介绍的方法。

直观上.一个平稳的时间序列可以看做作一条围绕其均值上下波动的曲线。

从理论上，有两种意义的平稳性.一是严格平稳，另一是弱平稳。

严格平稳是指随机过程｛＞；｝的联合分布函数与时间的位移无关。

设｛＞',｝为一随机过程，"为任意正整数，力为任意实数，若联合分布函数满足:

巧”.％（心…，兀）=%.・畑（心…，耳）（6•丄）

则称｛＞J为严格平稳过程，它的分布结构不随时间推移而变化。

弱平稳是指随机过程｛）】｝的期望、方差和协方差不随时间推移而变化。

若｛儿｝满足以下三条件：

E（X）=“，Var（yl）=a21Cov（”,儿）=（6.2）

则称｛）■｝为弱平稳随机过程。

在以后的讨论中，关于平稳性的概念通常是指弱平稳.弱平稳通常也被称作宽平稳。

需要注意的是严平稳和弱平稳之间的关系：

只有具有有限二阶矩的严平稳过程，才是弱平稳过程；弱平稳过程只限定一阶矩和二阶矩，即它并没有规定分布函数的性质，所以弱平稳并不一定属于严平稳。

由于时间序列分析中经常用到白噪声过程，所以有必要对它介绍一下。

对于一个随机过程门，如果E（X）=O；;

CoWx，儿）=0,ITS,则称为白噪声过程。

白噪声是平稳的随机过程，因其均值为零，方差不变，随机变量之间非相关。

显然上述白噪声是二阶宽平稳随机过程。

如果$｝同时还服从正态分布.则它就是一个严平稳的随机过程。

白噪声源于物理学与电学，原指音频和电信号在一定频带中的一种强度不变的干扰声。

下图是由噪声过程产生的时间序列。

图丄由白噪声过程产生的时间序列图2日元对美元汇率的收

益率序列

在时间序列分析中.我们经常要用到滞后算子乙它的定义为

这个滞后算子厶是把一个时间序列转换成另一新的时间序列的映射。

如果应用两次滞后算子，我们有

L（Lyt）=Ly^=y^2

记两个滞后算子的乘积为厶S有厶规定厶1=儿即它是一个恒

等映射。

滞后算子厶的逆算子□满足L儿=儿|。

一般地，对于任意的整数.我们有

滞后算子厶对于数量乘法和加法满足交换律和分配律，即对于任意的常数

0和时间序列｛儿｝二，｛兀｝二，｛叫仁，我们有

L（x,+h;）=Lxt+L\vt

这样如果兀=（a+bL）Lxf1那么有

yf=（aL+bl}）x,=axt^+bx一2

另一个例子是

（1—兄［厶）（1—AyjL）xf=（i—人厶一厶+人/^厶*"）x>

=兀一（入+兄2）XfT+兄1兄2兀・2

像@L+b&）这样的表达式我们称之为滞后算子多项式。

第二节移动平均（M4）过程

在金融收益率序列的建模中有一类简单模型是滑动平均模型（Moving-AverageModel,缩写为MA模型），它可以看作是白噪声序列的简单推广。

—•—阶移动平均过程必⑴

如果｛竹｝满足白噪声过程，定义过程

X=“+"『+叽（6.3）

其中“和&为常数，这个序列称为一阶移动平均过程M4（l）。

期望为E®）=〃+£他）+处（J）=“（6.4）

方差为E（yt-p）=E（ul+0ul_｝）2=（l+^2）cr2（6.5）

—阶自协方差为cov（开,［J）=E（何+创_］）（—1+创-）=^r（6.6）

高阶自协方差为cov（y,,>.）=£（%+创一］）（"—+6>»,_）=0（J>1）

（6.7）上述均值和协方差都不是时间的函数，因此不管&为何，伽⑴过程都是协方差平稳的。

而一阶自相关系数久=仁罕\、=£（6.8）

（l+&-）b1+少

高阶自相关系数均为0。

此时自相关函数在丄阶处截尾。

［例丄］x=",+0.8—此时戸=£^=芋三0.5

1+Q1.64

的自相关系数，一个大的儿后面通常是一个比平均值小的儿；（3）自相关系数的取值区间Qw[-1,1],并且对于每一个（-0.5,0.5）,都有8和1/0与之对应；（4）某些金融时间序列可能是零均值，这时就应当是把这个常数均值“从模型中移除，使得MA

（1）模型变为刀。

—•q阶移动平均过程恥（q）:

9阶滑动平均过程的表达式为：

兀=“+乞+"一（6.9）

其中仏｝为白噪声过程，（q,q,…，耳）为任何实数。

其均值、方差、自协方差和自相关函数分别为：

（6.10）

”=cov（）m）

=Eg+...+q“r）（%+也-闩+•••+◎"*）（6•⑵

=,©++%%+•••+j=\,2,...,q

0j>q

即自协方差函数在a阶处截尾。

由（22）式立即可得q阶移动平均过程的自相关函数为

（丄3）式告诉我们，当移动平均过程的阶为g时，间隔期大于§的自相关函数

值为零。

这个性质称为MAS）的自相关函数的截尾性，意思是说，自相关

函数的图形随着自变量乞到达（g+1）时突然被截去。

MA©）的截尾性给我们—个重要启示：

如果某时间序列是来自一个移动平均过程，则当该时间序列的样本自相关函数.从某个间隔期（0+1）开始，其值均为零时，我们就可以推测，原时间序列的阶数为0。

［例2］MA⑵过程yt=u,+叽\+02uf_2

容易算得儿=（1+錯+錯0,%=（G+q&20，氏=如'=0.j>2；八甘苻P2=T7^'心‘丿>2。

［例3］下式为一个一阶移动平均过程

兀=1.6+竹+°・3g

其中山是/=2高斯白噪声过程，表1是它容量为100的一个样本。

表1一阶自回归过程儿=1・6+坷+0・3g的一个实现

0.8855

2.233

-0.1954

1.3707

4.2934

1.2258

0.2623

3.2748

-0.1071

1.0914

2.6973

4.642

0.0796

3.8662

1.5055

4.514

2.8523

3.6584

1.8346

6.3372

2.4801

-1.2055

2.371

3.0025

2.3003

-0.5732

1.4937

1.9877

1.0175

1.2197

1.2863

1.8743

3.2323

1.4091

2.0144

2.1319

2.4999

-0.844

1.7401

0.4165

2.3007

-1.0316

-0.2993

-1.1645

3.1032

1.1887

1.3933

1.3004

3.1367

1.7468

0.366

1.0471

2.4248

0.5279

2.5341

1.3628

2.5574

0.1392

3.2576

0.7714

2.5946

0.992

1.0231

3.2516

1.1813

2.8198

2.6489

3.1616

0.2305

-0.603

2.1

1.6074

2.3115

-0.4252

2.183

2.5893

-0.0818

0.1535

1.6981

2.3218

-3.1688

-1.1038

2.3432

0.8638

0.5128

1.0635

3.7589

2.582

2.4507

2.0526

3.9677

2.4109

0.8341

1.7068

3.0588

0.8723

1.2595

-0.8452

1.6304

100

3.4713

（丄）画出儿的线图；⑵求开的总体自相关函数；

⑶根据表中样本求样本自相关函数。

在EViews中输入命令Ploty,可得该样本的线图如下

102030405060708090100

图3过程儿=1・6+%+0.3%的线图

根据公式（丄3）式，容易求得儿的总体自相关函数为

/蔬=岛皿52,心

k>\

在EViews中双击序列儿,然后点击ViewXCorrelograms,®择水平

序列可得AutocorrelationandPartialcorrelations函数图如下，

AutocorrelationPartialCorrelationACPAC

10.4040.404

20.112-0.061

30.2570.280

40.2370.038

50.072-0.040

60.011-0.049

70.1220.098

8-0.001-0.139

9-0.0300.062

100.0680.064

图4过程y,=1.6+%+0.3%_］的自相关与偏相关柱状图

从上图的样本自相关函数值可以看出：

滞后2期的自相关函数值02=0.112与几=0・404相比，大幅度减少，"2的样本自相关函数值越来越小。

三・无限阶移动平均过程MA（s）

对于一个MA（g）过程，如果让q—s、我们就得到如下的过程：

□0

X=“+工°丿£一丿=“+山++%仏+…（6.14）

我们称此过程为MA（s）过程.这里％=1。

我们可以证明：

如果

AM（s）过程的系数是平方可和的，即

那么MA（s）是一个平稳的过程。

一般地我们用一个更强的绝对可和条件£|匕|<"来代替平方可和条件，绝对可和蕴涵平方可和。

系数是绝对可和

的MA（s）过程的均值和自协方差分别为

（6.15）

（6.16）

E[yt1=Jini£（//+uf+叽、+02ur_2+…+马乞丁）=“

%=E（X_“尸=[imE（舛+&网.]+3坷〜+…+马"“）2=lim（l+&；+@+•••+8；）<72

=R©q+◎+©+0+2$+…）

（6.17）

四、移动平均过程的识别

由（丄3）式可知，MA过程的阶等于自相关函数值不为零的最大滞后阶数匕我们怎么能够由可得之时间序列来判断MA过程的自相关函数在某处（即某间隔长度）的值为零呢？

从例3可知，即使是MA过程的自相关函数在某处的真值为零，但由MAS程所产生的一个实现来计算的样本自相关函数在同一处的值却不等于零。

这表明，我们不能因为样本自相关函数在某处的值不为零来断定总体自相关函数在同一处的值也不为零。

幸而，我们可以知道样本自相关函数值的分布。

这样，我们就可以根据样本自相关函数值的分布来进行总体相应的自相关函数值是否为零的显著性检验。

根据GeorgeG.Judge（1982）^所述1在样本充分大的条件下，自相关函数久的置信度为95%的置区间近似为

（A-~i=，Pk+（6.18）

yjll\ln

工（开-刃（帕-刃

其中，b严为样本自相关函数，刀为样本容量。

于是我们

工（儿-评

f-1

有：

如果自相关函数值0=0,则在大样本条件下，相应的样本自相关函

数值以95%的概率落入区间（-上,2|。

由此可得显著性检验程序如下：

Vy/nV/7）

第一步：

根据所得随机时间序列的一个样本计算样本自相关函数值

PkO

第二步：

检验A是否落入区间［-2,2］,或者检验A的绝对值是否

\yjn）

小于亠：

如果a落入区间（-4,4或其绝对值小于丄，则在5%的显著性水Iy/nyin）Qll

平下，不拒绝A=0；如果几在区间「丄，上|之外或其绝对值大于丄,Iy/nyjn）y/n

则拒绝久=0o［例4］设时间序列儿是来自MAS程，表2的数据是它的一个样本容量为

48的一个实现，试确定这个MAS程的阶。

表2移动平均过程儿的一个实现

时期t

>'r

时期

1.542178

2.255198

4.22556

2.477647

2.892425

5.46023

4.423028

2.715419

4.066832

4.964234

2.453714

2.425495

5.452143

2.433565

3.360861

1.856292

4.120497

3.023759

1.455666

3.7203

3.528817

3.954514

2.762672

2.01038

2.570313

2.375098

1.286251

1.657775

4.664288

0.970086

0.895445

5.049

1.72418

0.13883

5.895059

2.749795

0.914224

3.770486

3.00863

1.639915

4.268512

2.694154

0.417965

2.384476

5.000872

1.161316

2.57151

2.574218

［解］由表乙根据样本自相关系数.计算可得几的一系列值:

0.576

0.251

0.1340.193

0.219

0.092

-0.124

=二=0.2887、尿

显然有

IAF

>0.2887*=1

<0.2887*>1

故在5%的显著性水平下，拒绝p.=0,接受A=0.当£>1。

这表明表2的数据产生于一个MA

（1）过程。

五、移动平均过程的参数估计

移动平均过程的参数据估计就是在已确定移动平均过程的阶以后，根据它的一个现实或样本⑺上，…必）来估计移动平均过程的均值“=诸移动平均系数（或称权数）比以与被假定为白噪声过程或高斯

白噪声过程的“「的方差冼。

由于不可逆的移动平均过程意义不大，所以我们只研究的可逆的移动平均过程，因为有限阶移动平均过程是平稳的，所以其均值为常数.而这个常数完全可以由样本平均数来估计。

因此，均值的估计也就不成为问题。

正因为如此，不失一般性，我们假定MA（q）的均值//=^）=0,以便于对其它参数的估计（若不然，只要将移动平均过程的每一项减去其均值，而均值的估计值是可得的）。

故可设

Y,=+…+0%（6.19）

其中｛“,｝是一白噪声过程。

估计（6.丄9）式中的参数的一个直接方法是将它化成AR（oo）的形式（因为

它是可逆的.所以这种转换是可行的）：

（l+M+加+〃3芒+…）乙=均

即

匕一“人―〃儿2—“3冷3-…+匕（6.20）

求使上式所表示的计量经济学模型的残差平方和最小的诸〃，即求诸〃，使

S（〃1,〃2，〃3,•••）=+71yt-\+〃2乙_2+7也-3+…）'（6.21）

最小。

但由于样本容量是有限值/?

所以上式可简化为

S（〃切2，〃3，「〃“）=乞（匕+〃人+〃2冷2+773^-3+…+%•必）2（6.22）

即,我们的估计问题首先就是要求求诸7使S（7，"，…，久）最小（〃。

=1）。

当我们估计出诸〃以后，再根据诸〃与诸&的关系，求出诸&的估计值，而

©的方差此则可由下式估计：

（6.23）

（6.24）

二2_S（$,方2，N，…,N）

（J„

十泌込如

上述过程所用的方法是最小二乘法，但是由于诸〃与诸&的关系十分复

杂.所以上述估计属于非线性估计，往往要在一组初始值下进行迭代。

有计量经济学软件EViews中有相应的程序对M%）过程进行参数估计。

例如：

如要估计MA⑵过程，则估计命令为

LsycMA

（1）MA

（2）

下图是某MA⑵序列的EViews估计的输出结果

EVic«[Equation:

UHTITLEDforkfilc:

复件IAl*2\Unti.•・

^3EileEditQbjvclr*ErocQuickKindov

ViewFtac丨Object|PrntName|Fre-2e|Estrneb-；Fcrecest:

ritsReside

-J31X

DependentVariabIo:

MethodLeastSquares

Date:

0621/10Time:

10:

Sample:

1100

Includedobservations:

1OT

CorwrgencGachievedafter9ildration$

Backcasi-10

Variable

Coefficient

Sid.Errort-Statistic

Prob.

（1）

（2）

1.980306

a23raC6

0.188958

0C6341831.22533

0C938792.3919G5

01044031.83884

00X0

00187

0.0734

R-squared

AdjustedR・squaredS.E.ofregressionSumsquaredresidLoglikelihoodDurbin-'Watsonstai

0.036722

0.047479

0445418

19.24457芳9.0另79

233234

MeandependemvarS.D.dependentvarAkaike

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