平稳时间序列的ARMA模型Word下载.docx
《平稳时间序列的ARMA模型Word下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《平稳时间序列的ARMA模型Word下载.docx（37页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
XtiXt12Xt2IIIpXtpat是平稳时间序列的反映
吗？
如果它是平稳时间序列的模型，回归系数应该满足何种条件呢？
例设xt是一阶自回归模型，即XtiXtiat或
（B）Xtat，其中（B）1iB
1
则Xtat（利用等比级数的通项和公式）
（1iB）
=呐
=1atj
j0
如果Ij1,Xtbj,atj的系数随着j的增加而
jo
趋于无穷大，这显然违背了“远小近大”的原则，由此可见，平稳的充分必要条件是|!
|1，|!
|1的充分必要条件方程1忆0的根在单位圆外。
设Xt是一个p阶自回归模型
Xt1Xt12Xt23Xt3pXtpat
或（B）Xtat
其中：
（B）
1B2B23B3||pBP。
X平
稳的充分必要条件是：
123
III
pp
0的根在单位圆外；
pp1p2
12
3
p3III
p0的根在单位圆内。
4.3可逆性
我们可以考虑到一个时间序列Xt是否可以用它的现在值
和过去值来表示现在时刻的随机干扰at呢？
即
Xt
或
这种表达式称为“逆转形式”。
如果一个时间序列具有逆转形式，也就是说逆转形式存在且平稳，通常称该过程具有可逆性。
例设Xt是一阶滑动平均模型，即Xta1at1
Xt（B）q，其中（B）1iB
则atXt（利用等比级数的通项和公式）
=ijBjXt
=ijXtj
对于一阶滑动平均模型Xtaiati，无论i取何值，
Xtat1at1是一个名副其实的平稳序列，但是对于Xtat但i的“逆转形式”是否存在，则取决于|j是否小于1。
如果IiI1，
XtijXtja
ji
Xtj的系数随着j的增加而趋于无穷大，这显然违背了“远小近大”的原则，由此可见，Xtat1耳1的逆转形式存在的
充分必要条件为I111,|111的充分必要条件方程
11z0的根在单位圆外。
Xtat1at12at2I#qatq（B）at可逆的充分必
要条件为，方程（Z）11Z2ZIIIqZq0的根在单位
圆外。
q1q12q2IIIq0的根在单位圆内2。
由于自回归模型
Xt1Xt12Xt23Xt3IIIpXtpat稍微变形，
就是用系统的现在和过去值表示随机干扰项，所以自回归模型自然可逆。
Xt1Xt12Xt2
pXtp
atiat12at2
qatq
令（B）
1B
2B2
pB
qBq
4.4ARMA（p，q）的平稳性和可逆性设时间序列Xt是ARMA（p,q）模型
则模型记为
（B）Xt
（B）Q
如果1.p0,q0；
2.（B）和（B）无公共因子；
3.（z）0和（z）0的根在单位圆外。
则Xt是自回归移动平均模型，平稳且可逆。
它有传递形式
xt（B）a，由此可以认为，任何一个自回归滑动平均模型
t（B广
都可以用一个足够高阶的滑动平均模型逼近。
逆转形式
at—回Xt，可见任何一个自回归滑动平均模型都可以用一
个足够高阶的自回归模型逼近
5平稳时间序列的统计特征
5.1总体的自相关函数和样本的自相关函数（看参考教
材王燕，应用时间序列分析，中国人大出版社，2005）
一、AR（p）模型的自相关函数
AR（p）模型，自相关函数快速收敛于零，但不等于零，“拖尾”又因为ARMA（p，q）模型（B）Xt（B）t的可逆性，即t—，所以任何一个ARMA（p，q）模型都可以
表示为一个足够高阶的AR（p）模型，所以ARMA（p，q）
模型与AR（p）模型有相同的统计特性。
下面从可以从图
18到图25观察时间序列图与其自相关函数图的特点。
E
图9白噪声序列的自相关函数
Dare03*1JTir.-y23.23
So<
ri|>
ie:
1300limcludledl口bsB-n-alinnE：
200
ALriccorr"
lal>
iupPari口ICcrrelaliun
990
U111-ao^o■ano
rin■:
I
□
IiII1/-OOSDiiiiI"
MH：
'
厂]n--i111ri
DD35
IHILl□UI」」士
0005-□084
□002D59-ElDS3-□.□52
□027-QQuHO
□174D□13-□口召吁
i]lI4；
-
□□□□
1JnllrM
D„_u口
□-□-□o-D-om-a
inGflF-:
JJ1E7・」F口ooo1n—n-□n
2.£
092
4TS
FE661
E-.ESB5©
13B7
S.S69e
9.EO03
liiiMin了"
1口!
83
11O9Gniits
11-13±
!
11Til
12607U.106
14973
1.*■”IJ_j
17.292
1766^
24539
24弓用
2/^23
J
12R
11^
0.0.门
□44
□149
n,?
240.2E6II：
-1!
i|■
0.374u.jsrn§
2i
0.676
Cl.743
n.&
95
0.&
54
O.&
E4n.E^?
O.&
4S0s&
99
0.726
0.374
0.J2S
nB37^
O.39B
U.162
图10白噪声序列的自相关函数图
4
Z
图11人工模拟序列Xt=0.65Xt-1+0.36Xt-2+at图
Wfl<
rV■r-
匚Ci
W!
-FU
ULJTLFW'
JFLIFTiI■>
11
□ocnJULLI
□ocri
■iii11
□acc
□□匚□
□ooo
Irii11
JulLI
□aco
■iiiiiDLH：
CIO□匚匸I
□ULU
Julli
□OGGiiiiii
DCiiCi
□□匚□DUi-Ci
iiiiiiJULLI
□OCI1
iiiiiiDOiCiO□匚匸iDULCl0.000
□ecu
S-lB
106.3i5
Tin73
112.66
「万曰='
曰yulbq333ndH-sU34^972-^44244.Ma04o-M37T09-H-AnII5J-M-06o巳目巳GQ#4:
4.口4H4G-5G7ti.曰耳l=la215JI_i7tl.1111223555&
IQsis;
s&
6-Bl£
l&
sl--
_iI七「1<
l7『i63174lp1口-GI4e-3£
i42613496mr2Det77FF11p--e亠e-Ll.-£
T9IF—-瓷■-17c1F-r-i1111--!
"
I5£
-.41®
1coaocooacon-ao1&
caca-011coc_uca-oaococ□dadopDoOQdg-oQOQbQdgoQqooQdo-oqob
□S7744A-70F-B40S5-UB772221SG621S7300245爱14禺gfgi當畫旣样祥ijsssolsswl?
屢□<
DDOOOOOOODOD-OOOOOODDOOOOOOODDOOOOOao
-■-H---!
■■■_・-
昌首启111213壮1?
再1?
話売1?
器1?
器器3B
llIB..■■・II!
—iliBl11I
图12人工模拟序列Xt=0.65Xt.1+0.36Xt.2+at的自相关函数图
Z
图13模拟随机游走序列xtxtiat图
UHTITi.RlP.1
matsW■•徉冠科口■盹斗>
|Ein4Q#U*3-p
¥
工-0|Fr~o弋■Cfbj■£
thFh-lai/hbl■Ft-■■m丄円丁口"
WN■■电I£
七・七hZITl■:
nA|ILl:
n.・|
DiAlM□3/115434Tiinu2331
S»
mple3300
Ii-iri|ijhirclbB巴Ri-vjiI-inn"
■'
I"
QE
^Ululur■ci-ffllIufiP-si11:
ICuiIe-lwl!
«
cii*AU目ACQ-St-p»
lI-'
ub
c.o.c.□.ci.oa.o.c.mu.dc.o.oc.o.aa.ca.口0da.s■
43^7Jnzyd□日门口ydmensitBel2『斗□曰S1_-
ii
*i!
-!
a-a
11
O&
口
Mil
-CJ
iII1"
-n
aa-i
1!
□23
5声
-o
end
i'
ii—
「|g
□3S
u
UUJ
-□.
iij：
：
-□
「w.
M<
.i
口曰1
nilx,
口.石皿
IIMIh.
□QD7
IIQ1O-D.14Z
n
0.061
OQD3
-□口□£
0O3i：
i
冷話完幕^“弟普U:
;
T/冨當士IN口曰!
=a_lIHHaz/7z/>
』ls』FibL=iGs^se^5G--
6口Dpdnd□口QlmDmo.dcism口o-Ddodolo-Q口DC
lss^&
fizBQIDuull^PAaliiN噩器茶
xtxt1at的自相关关函数图
模拟随机游走序列
图14
、MA（q）的自相关函数
结论：
MA（q）模型的自相关函数q阶截尾，即在q+1
及以后为零。
图2-7是模拟一阶移动平均模型Xta0.8ati
趋势图，图2-8是xta0-8a1自相关函数图
-4
2
-2
2040
■I11I
60
80100120
140160180200
图15Xtat0.8at1趋势图
r-|IIMTIT-J1
Wirv.i
Qtj40twJ£
lBW足17町口■cla1.V-RB町ivJj«
lp
^□iELil»
Bdit
Ex-jnpca.j■—I宁！
■]Hwn«
|F»
-■*k*|
iziiatcr口3>
^2A]-4TIniaOS:
口4
S^mplr*22Od
line-1mdtd■□>
be«
rvwlions-I却目
^Xiut□归Or'
KO-llaiAO■*■
F3hi-lba1C：
3Tdlat）lo*j
AC：
l=AO
at
F"
rolo
□口noD口on-D'
nou-口Un-u1nCIO口Dn-u'
nDODDn-□u口non口c»
口rizcl口Il»
urll:
iIQuQun口II口占II_uunn□n-Dunoa□UDan□□□UDDn□□□UDn_dEl.uo.□口□□^Q0_^_^ODn-口_□.□口□.□!
□.口□.□□IQCIoi.sq&
sl.9S-BOllEBG143333G97Snmrs『JR-0「3/min0Lrm2553CM1-!
s/7ynJ
■■■■£
*-■-・~■-・
1I,p24l\.□-4l£
&
U曰baBKTQ1i■5占行石匸s片-Is<
1=1116□曰吕S&
II6Cz7・a3JI2G尹旧2曰FlqsmHtlgm9尹9『olc-■帀131=10-133GCT4ar口171s4Bmeln'
口—&
NIT口二ll--口』口工爭弓lull□□口口口□口oa0n0O0fl10noooe0CQQ.no.□口ICaQ.rlo.a.口u.da.ingu口uaa.口o.Dm---V-W*---VVW-3320^^23T-1QEzaHL4GCI-J3Z0NTOmmFB31-^^-2111^0-m丄已BRol-J■-II八10口□口□口In口□口口□口□口001Q1.1口口口口口口口Qcino□口O□口口oa^^oa口O.□口U.CI口口occe_u_^InmE7PmD123417e^口\左3#lfiz.7o『L
SB3
OG.^20-
Q^_E47S9„2ei
图16人耳0.8a「自相关函数图
**
由此，我们已经有了识别MA（q）模型的工具，自相关函数q阶截尾。
但是对于AR（p）和ARMA（p,q）模型，则无法区别了。
242偏自相关函数kk
由AR（p）模型本身看，只涉及到n步相关性，但序列的自相关函数k确是拖尾的。
AR（P）模型的偏自相关函数p阶截尾。
kk0,kp。
注：
偏自相关函数的概率意义是在给定Xt「HLXtki的条件下，Xt和Xtk的相关系数。
ARMA（p,q）模型自相关和偏自相关均拖尾，但是快速收敛到零。
表1自相关和偏自相关特征表
模型
AR（p）
MA（q）
ARMA（P，q）
自相关函数
拖尾
截尾
偏自相关函数
对一个实际时间序列，我们能掌握的是一段样本数据，所
以首先要利用样本数据估计模型的自相关函数和偏自相关函
【例】利用1997年1月一2002年12月到北京海外旅游人数资料绘制自相关和偏自相关图，在这里去掉了2003
年的数据是由于非典的流行使2003年到北京旅游的人数锐
减，出现奇异值，不具有一般性。
如图17所示。
CaseNumber
图171997年1月一2002年12月到北京海外旅游人数曲线图
Autocorrelations:
SARS
Auto-Stand.
Lag
Corr.
Err.-1
-.75
-.5-.25
.25.5.75
Box-Ljung
Prob.
.587
.115
***********
25.892
.000
.358
******
35.657
.166
.114
k'
k
37.775
.074
.113
*
38.205
5
.068
.112
38.573
6
.183
.111
41.281
7
.034
.110
41.377
8
.011
41.387
9
.095
.109
**
42.154
10
.253
.108
****
47.641
.427
.107
k*****
63.578
12
.660
.106
k*********
102.277
13
.386
.105
k****
115.737
14
.179
.104
118.679
15
.038
.103
118.814
16
-.022
118.860
PlotSymbols:
Autocorrelations*TwoStandardErrorLimits.
图1897年1月到02年12月到北京海外旅游人数自相关图
图18显示滞后一期和滞后两期的自相关函数分别为
0.5874和0.35818，超过了两倍标准差，显著不为零，以后
的自相关函数均显著为零，直到滞后期为周期的长度12时，
自相关函数出现了峰值，为0.66015，这是季节性时间序列
的十分典型的特征，该序列从自相关函数看长期趋势并不十
分显著。
而且可能建立MA模型会产生过多的参数，于是可
能适应的AR模型。
根据偏相关系数，如图19所示
PartialAutocorrelations:
Pr-Aut-Stand.
LagCorr.
Err.-1-.75-.5-.25
0.25.5.75
*****
1.587.118
2.020.118
3-.080.118
4.003.118
5.064.118
6.197.118
7-.255.118
8.036.118
9.223.118
.248
.118
.239
.391
-.305
*****
-.165
-.044
-.029
Autocorrelations*
TwoStandardErrorLimits.
图1997年1月到02年12月到北京海外旅游人数偏自相关
偏自相关函数图19显示滞后期为1,7,12和13的偏
自相关函数分别为0.5874、-0.2555、0.39145和-0.30474，
显著不为零，该时间序列的偏自相关函数显示该时间序列可能适应的模型（1僅）（1小12必at和
我们模拟模型为（11B）（112B12）Xtat
表2模型（11B）（112B12）Xtat的参数估计表
参数
参数估计
标准差
t值
P值
0.495942
0.0948010
5.231403
0.0000
10.00597
0.767214
0.0766756
10.40042
22.739866
2.1864361
Standarderror3.1740588
Loglikelihood
-189.48646
AIC
384.97291
SBC
391.80291
表2显示，该模型为
Xt22.7398661矿
t（10.495942B）（10.767214B12）
进一步对模型的适应性进行检验，回归系数均显著外，残差的自相关函数均落在两倍标准差内，可以认为残差序列是白噪声序列，如图20所示。
-.048
.039
.25.5.751Box-LjungProb.
.175.676
.292.864
.040
.416
.937
.05
升级会员 