平稳时间序列的ARMA模型.docx

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平稳时间序列的ARMA模型

第五讲（续）

平稳时间序列的

ARMA模型

1平稳性

有一类描述时间序列的重要随机模型受到了人们的广泛关注，这就是所谓的平稳模型。

这类模型假设随机过程在一个不变的均值附近保持平衡。

其统计规律不会随着时间的推移发生变化。

平稳的定义分为严平稳和宽平稳。

定义1（严平稳）

设Xt,tT是一个随机过程,xt是在不同的时刻t的随机变量，在不同的时刻t是不同的随机变量，任取n个值如川出和任意的实数h，则Xi」||,Xn分布函数满足关系式

Fn（Xi,|Xn；t「|n）尸门（治，，X“花h,|t“h）则称Xt,tT为严平稳过程。

在实际中，这几乎是不可能的。

由此考虑到是否可以把

条件放宽，仅仅要求其数字特征（数学期望和协方差）相等。

定义2（宽平稳）

若随机变量Xt,tT的均值（一阶矩）和协方差（二阶矩）存在，且满足：

（1）任取tT，有E（Xt）c；

（2）任取tT，tT，有

E[（X（t）a）（X（t）a）]R（）

协方差是时间间隔的函数。

则称Xt,tT为宽平稳过程，

其中R（）为协方差函数。

2各种随机时间序列的表现形式

白噪声过程（whitenoise，如图1）。

属于平稳过程

yt=ut,utIID（0,2）

图1白噪声序列（2=1）

随机游走过程（randomwalk

，如图11）。

属于非平稳

图2随机游走序列（2=1）

图3日元兑美元差分序列

图4深圳股票综合指数

2200

2000

1800

1600

1400

1200

图5随机趋势非平稳序列（=0.1）

图6随机趋势非平稳序列（=-0.1）

图7对数的中国国民收入序列

图8中国人口序列

3延迟算子

延迟算子类似于一个时间指针，当前序列值乘以一个延迟算子，就相当于把当前序列值的时间向过去拨了一个时刻，记B为延迟算子，有XtpBpxt,p1。

特别（1-B）是差分算子。

4.ARMA（p,q）模型及其平稳性和可逆性

4.1模型类型及其表示

在平稳时间序列的分析中，应用最广泛的是有限参数模型。

p阶自回归模型：

用自己的过去和现在的随机干扰表Xt

XtiXti2Xt2川pXtpatat是白噪声。

q阶移动平均模型：

用现在和过去的随机干扰表Xt。

Xtatiati2at2川qatq

p阶自回归和q阶移动平均模型：

自己的过去及过去和现在的随机干扰表Xt0

Xt1Xt12Xt2pXtpat佝12at2qatq

其中at是白噪声序列

4.2平稳性

XtiXt12Xt2IIIpXtpat是平稳时间序列的反映

吗？

如果它是平稳时间序列的模型，回归系数应该满足何种条件呢？

例设xt是一阶自回归模型，即XtiXtiat或

（B）Xtat，其中（B）1iB

1

则Xtat（利用等比级数的通项和公式）

（1iB）

=呐

=1atj

j0

如果Ij1,Xtbj,atj的系数随着j的增加而

jo

趋于无穷大，这显然违背了“远小近大”的原则，由此可见，平稳的充分必要条件是|!

|1，|!

|1的充分必要条件方程1忆0的根在单位圆外。

设Xt是一个p阶自回归模型

Xt1Xt12Xt23Xt3pXtpat

或（B）Xtat

其中：

（B）

1

1B2B23B3||pBP。

X平

稳的充分必要条件是：

123

123

III

pp

0的根在单位圆外；

pp1p2

12

3

p3III

p0的根在单位圆内。

4.3可逆性

我们可以考虑到一个时间序列Xt是否可以用它的现在值

和过去值来表示现在时刻的随机干扰at呢？

即

Xt

或

这种表达式称为“逆转形式”。

如果一个时间序列具有逆转形式，也就是说逆转形式存在且平稳，通常称该过程具有可逆性。

例设Xt是一阶滑动平均模型，即Xta1at1

Xt（B）q，其中（B）1iB

1

则atXt（利用等比级数的通项和公式）

（1iB）

=ijBjXt

=ijXtj

j0

对于一阶滑动平均模型Xtaiati，无论i取何值，

Xtat1at1是一个名副其实的平稳序列，但是对于Xtat但i的“逆转形式”是否存在，则取决于|j是否小于1。

如果IiI1，

XtijXtja

ji

Xtj的系数随着j的增加而趋于无穷大，这显然违背了“远小近大”的原则，由此可见，Xtat1耳1的逆转形式存在的

充分必要条件为I111,|111的充分必要条件方程

11z0的根在单位圆外。

Xtat1at12at2I#qatq（B）at可逆的充分必

要条件为，方程（Z）11Z2ZIIIqZq0的根在单位

圆外。

q1q12q2IIIq0的根在单位圆内2。

由于自回归模型

Xt1Xt12Xt23Xt3IIIpXtpat稍微变形，

就是用系统的现在和过去值表示随机干扰项，所以自回归模型自然可逆。

Xt1Xt12Xt2

III

pXtp

atiat12at2

III

qatq

令（B）

1

1B

2B2

pB

（B）

1

1B

2B2

qBq

4.4ARMA（p，q）的平稳性和可逆性设时间序列Xt是ARMA（p,q）模型

则模型记为

（B）Xt

（B）Q

如果1.p0,q0；

2.（B）和（B）无公共因子；

3.（z）0和（z）0的根在单位圆外。

则Xt是自回归移动平均模型，平稳且可逆。

它有传递形式

xt（B）a，由此可以认为，任何一个自回归滑动平均模型

t（B广

都可以用一个足够高阶的滑动平均模型逼近。

逆转形式

at—回Xt，可见任何一个自回归滑动平均模型都可以用一

（B）

个足够高阶的自回归模型逼近

5平稳时间序列的统计特征

5.1总体的自相关函数和样本的自相关函数（看参考教

材王燕，应用时间序列分析，中国人大出版社，2005）

一、AR（p）模型的自相关函数

AR（p）模型，自相关函数快速收敛于零，但不等于零，“拖尾”又因为ARMA（p，q）模型（B）Xt（B）t的可逆性，即t—，所以任何一个ARMA（p，q）模型都可以

（B）

表示为一个足够高阶的AR（p）模型，所以ARMA（p，q）

模型与AR（p）模型有相同的统计特性。

下面从可以从图

18到图25观察时间序列图与其自相关函数图的特点。

3

E

图9白噪声序列的自相关函数

Dare03*1JTir.-y23.23

Soie:

1300limcludledl口bsB-n-alinnE：

200

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1766^

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0.374

0.J2S

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U.162

图10白噪声序列的自相关函数图

4

Z

图11人工模拟序列Xt=0.65Xt-1+0.36Xt-2+at图

Wfl

匚Ci

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106.3i5

Tin73

112.66

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4.口4H4G-5G7ti.曰耳l=la215JI_i7tl.1111223555&IQsis;s&s&6-Bl£l&sl--

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图12人工模拟序列Xt=0.65Xt.1+0.36Xt.2+at的自相关函数图

Z

图13模拟随机游走序列xtxtiat图

UHTITi.RlP.1

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xtxt1at的自相关关函数图

模拟随机游走序列

图14

、MA（q）的自相关函数

结论：

MA（q）模型的自相关函数q阶截尾，即在q+1

及以后为零。

图2-7是模拟一阶移动平均模型Xta0.8ati

趋势图，图2-8是xta0-8a1自相关函数图

-4

2

0

-2

2040

■I11I

60

80100120

140160180200

图15Xtat0.8at1趋势图

r-|IIMTIT-J1

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图16人耳0.8a「自相关函数图

**

由此，我们已经有了识别MA（q）模型的工具，自相关函数q阶截尾。

但是对于AR（p）和ARMA（p,q）模型，则无法区别了。

242偏自相关函数kk

由AR（p）模型本身看，只涉及到n步相关性，但序列的自相关函数k确是拖尾的。

AR（P）模型的偏自相关函数p阶截尾。

kk0,kp。

注：

偏自相关函数的概率意义是在给定Xt「HLXtki的条件下，Xt和Xtk的相关系数。

ARMA（p,q）模型自相关和偏自相关均拖尾，但是快速收敛到零。

表1自相关和偏自相关特征表

模型

AR（p）

MA（q）

ARMA（P，q）

自相关函数

拖尾

截尾

拖尾

偏自相关函数

截尾

拖尾

拖尾

对一个实际时间序列，我们能掌握的是一段样本数据，所

以首先要利用样本数据估计模型的自相关函数和偏自相关函

【例】利用1997年1月一2002年12月到北京海外旅游人数资料绘制自相关和偏自相关图，在这里去掉了2003

年的数据是由于非典的流行使2003年到北京旅游的人数锐

减，出现奇异值，不具有一般性。

如图17所示。

CaseNumber

图171997年1月一2002年12月到北京海外旅游人数曲线图

Autocorrelations:

SARS

Auto-Stand.

Lag

Corr.

Err.-1

-.75

-.5-.25

0

.25.5.75

1

Box-Ljung

Prob.

1

.587

.115

***********

25.892

.000

2

.358

.115

******

35.657

.000

3

.166

.114

'k'k'k

37.775

.000

4

.074

.113

*

38.205

.000

5

.068

.112

*

38.573

.000

6

.183

.111

41.281

.000

7

.034

.110

*

41.377

.000

8

.011

.110

*

41.387

.000

9

.095

.109

**

42.154

.000

10

.253

.108

****

47.641

.000

11

.427

.107

'k'k'k*****

63.578

.000

12

.660

.106

'k'k'k*********

102.277

.000

13

.386

.105

'k'k'k****

115.737

.000

14

.179

.104

118.679

.000

15

.038

.103

*

118.814

.000

16

-.022

.103

*

118.860

.000

Autocorrelations:

SARS

PlotSymbols:

Autocorrelations*TwoStandardErrorLimits.

图1897年1月到02年12月到北京海外旅游人数自相关图

图18显示滞后一期和滞后两期的自相关函数分别为

0.5874和0.35818，超过了两倍标准差，显著不为零，以后

的自相关函数均显著为零，直到滞后期为周期的长度12时，

自相关函数出现了峰值，为0.66015，这是季节性时间序列

的十分典型的特征，该序列从自相关函数看长期趋势并不十

分显著。

而且可能建立MA模型会产生过多的参数，于是可

能适应的AR模型。

根据偏相关系数，如图19所示

PartialAutocorrelations:

SARS

Pr-Aut-Stand.

LagCorr.

Err.-1-.75-.5-.25

0.25.5.75

***********

*****

1.587.118

2.020.118

3-.080.118

4.003.118

5.064.118

6.197.118

7-.255.118

8.036.118

9.223.118

10

.248

.118

*****

11

.239

.118

*****

12

.391

.118

13

-.305

.118

*****

14

-.165

.118

'k'k'k

15

-.044

.118

*

16

-.029

.118

*

PlotSymbols:

Autocorrelations*

TwoStandardErrorLimits.

图1997年1月到02年12月到北京海外旅游人数偏自相关

偏自相关函数图19显示滞后期为1,7,12和13的偏

自相关函数分别为0.5874、-0.2555、0.39145和-0.30474，

显著不为零，该时间序列的偏自相关函数显示该时间序列可能适应的模型（1僅）（1小12必at和

我们模拟模型为（11B）（112B12）Xtat

表2模型（11B）（112B12）Xtat的参数估计表

参数

参数估计

标准差

t值

P值

1

0.495942

0.0948010

5.231403

0.0000

10.00597

12

0.767214

0.0766756

3

0.0000

10.40042

22.739866

2.1864361

6

0.0000

Standarderror3.1740588

Loglikelihood

-189.48646

AIC

384.97291

SBC

391.80291

表2显示，该模型为

Xt22.7398661矿

t（10.495942B）（10.767214B12）

进一步对模型的适应性进行检验，回归系数均显著外，残差的自相关函数均落在两倍标准差内，可以认为残差序列是白噪声序列，如图20所示。

Auto-Stand.

Lag

Corr.

Err.-1

-.75

-.5-.25

0

1

-.048

.115

*

2

.039

.115

.25.5.751Box-LjungProb.

.175.676

.292.864

3

.040

.114

*

.416

.937

4

.05