课时提升作业十六234.docx

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课时提升作业十六234

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课时提升作业（十六）

平面与平面垂直的性质

（25分钟　60分）

一、选择题（每小题5分,共25分）

1.平面α⊥平面β,直线a∥α,则　（　　）

A.a⊥β　　　　　　　　　B.a∥β

C.a与β相交D.以上都有可能

【解析】选D.因为a∥α,平面α⊥平面β,所以直线a与β垂直、相交、平行都有可能.

2.已知三个平面α,β,γ,若β⊥γ,且α与γ相交但不垂直,则　（　　）

A.存在a⊂α,a⊥γB.存在a⊂α,a∥γ

C.任意b⊂β,b⊥γD.任意b⊂β,b∥γ　

【解析】选B.因为三个平面α,β,γ,若β⊥γ,且α与γ相交但不垂直,则可知存在a⊂α,a∥γ.

3.已知直线m,n和平面α,β,若α⊥β,α∩β=m,n⊂α,要使n⊥β,则应增加的条件是　（　　）

A.m∥nB.n⊥m

C.n∥αD.n⊥α

【解析】选B.已知直线m,n和平面α,β,若α⊥β,α∩β=m,n⊂α,应增加的条件n⊥m,才能使得n⊥β.

4.已知平面α⊥平面β,α∩β=l,点A∈α,A􀱁l,直线AB∥l,直线AC⊥l,直线m∥α,m∥β,则下列四种位置关系中,不一定成立的是　（　　）

A.AB∥mB.AC⊥m

C.AB∥βD.AC⊥β

【解析】选D.如图,AB∥l∥m,AC⊥l,m∥l⇒AC⊥m,AB∥l⇒AB∥β.

5.（2015·郑州高一检测）已知平面α,β,γ,则下列命题中正确的是　（　　）

A.α⊥β,β⊥γ,则α∥γ

B.α∥β,β⊥γ,则α⊥γ

C.α∩β=a,β∩γ=b,α⊥β,β⊥γ,则a⊥b

D.α⊥β,α∩β=a,a⊥b,则b⊥α

【解析】选B.A中α,γ可以相交;C中如图:

a与b不一定垂直;D中b仅垂直于α的一条直线a,不能判定b⊥α.

二、填空题（每小题5分,共15分）

6.平面α⊥平面β,α∩β=l,n⊂β,n⊥l,直线m⊥α,则直线m与n的位置关系是　　　　.

【解析】因为α⊥β,α∩β=l,n⊂β,n⊥l,所以n⊥α.又m⊥α,所以m∥n.

答案:

平行

7.（2015·太原高一检测）已知平面α,β,γ,直线l,m满足:

α⊥γ,γ∩α=m,γ∩β=l,l⊥m,那么①m⊥β;②l⊥α;③β⊥γ;④α⊥β.由上述条件可推出的结论有　　　　.（请将你认为正确的结论的序号都填上）

【解析】因为γ∩β=l,所以l⊂γ,因为α⊥γ,γ∩α=m,l⊥m,

所以l⊥α,又l⊂β,所以α⊥β.由于β可以绕l转动,位置不定,所以m⊥β和β⊥γ不一定成立.即②④正确,①③错误.

答案:

②④

【误区警示】应用面面垂直定理时,注意三点

（1）两个平面垂直是前提条件.

（2）直线必须在其中一个平面内.

（3）直线必须垂直于它们的交线.

8.（2015·大同高一检测）如图,空间四边形ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,

∠BAD=90°,且AB=AD,则AD与平面BCD所成的角是　　　　.

【解析】过A作AO⊥BD于O点,

因为平面ABD⊥平面BCD,

所以AO⊥平面BCD,则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角.

因为∠BAD=90°,AB=AD,所以∠ADO=45°.

答案:

45°

三、解答题（每小题10分,共20分）

9.（2015·临沂高一检测）如图所示,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是矩形,侧面SDC⊥底面ABCD,求证:

平面SCD⊥平面SBC.

【证明】因为底面ABCD是矩形,所以BC⊥CD.

又平面SDC⊥平面ABCD,

平面SDC∩平面ABCD=CD,BC⊂平面ABCD,

所以BC⊥平面SCD.

又因为BC⊂平面SBC,

所以平面SCD⊥平面SBC.

【补偿训练】如图,α⊥β,α∩β=l,AB⊂α,AB⊥l,BC⊂β,DE⊂β,BC⊥DE.求证:

AC⊥DE.

【证明】因为α⊥β,α∩β=l,AB⊂α,AB⊥l,所以AB⊥β.

因为DE⊂β,所以AB⊥DE.

因为BC⊥DE,AB∩BC=B,

所以DE⊥平面ABC.

因为AC⊂平面ABC,所以AC⊥DE.

10.如图,已知平面α⊥平面β,在α与β的交线上取线段AB=4cm,AC,BD分别在平面α和平面β内,它们都垂直于交线AB,并且AC=3cm,BD=12cm,求CD的长.

【解析】连接BC.因为α⊥β,α∩β=AB,BD⊥AB,

所以BD⊥平面α.

因为BC⊂α,所以BD⊥BC,

在Rt△BAC中,

BC=

=

=5,

在Rt△DBC中,CD=

=

=13,

所以CD长为13cm.

【补偿训练】已知在四棱锥S-ABCD中,SD⊥平面ABCD,AB∥DC,AB=AD=1,SD=2,BC⊥BD,AD⊥AB,E为棱SB上的一点,平面EDC⊥平面SBC.

证明:

（1）DE⊥平面SBC.

（2）SE=2EB.

【证明】

（1）如图,因为SD⊥平面ABCD,

故BC⊥SD,又BC⊥BD,

所以BC⊥平面BDS,所以BC⊥DE.

作BK⊥EC,K为垂足,由平面EDC⊥平面SBC,平面EDC∩平面SBC=EC,故BK⊥平面EDC.

又DE⊂平面EDC,所以BK⊥DE.

又因为BK⊂平面SBC,BC⊂平面SBC,BK∩BC=B,

所以DE⊥平面SBC.

（2）由

（1）知DE⊥SB,DB=

=

所以SB=

=

=

.

在直角三角形SDB中,

由等积法知SD·DB=SB·DE,

所以DE=

=

.

EB=

=

SE=SB-EB=

.

所以SE=2EB.

（20分钟　40分）

一、选择题（每小题5分,共10分）

1.如图所示,平面α⊥平面β,A∈α,B∈β,AB与两平面α,β所成的角分别为

和

.过A,B分别作两平面交线的垂线,垂足分别为A′、B′,则AB∶A′B′等于　

（　　）

A.2∶1　　　B.3∶1　　　C.3∶2　　　D.4∶3

【解析】选A.如图,由已知得AA′⊥β,∠ABA′=

BB′⊥α,∠BAB′=

设AB=a,则BA′=

a,BB′=

a,在Rt△BA′B′中,A′B′=

a,所以

=

.

2.（2015·聊城高一检测）如图所示,三棱锥P-ABC的底面在平面α上,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,点P,A,B是定点,则动点C运动形成的图形是　（　　）

A.一条线段

B.一条直线

C.一个圆

D.一个圆,但要去掉两个点

【解析】选D.因为平面PAC⊥平面PBC,AC⊥PC,AC⊂平面PAC,且平面PAC∩平面PBC=PC,所以AC⊥平面PBC.

又因为BC⊂平面PBC,所以AC⊥BC,所以∠ACB=90°,所以动点C运动形成的图形是以AB为直径的圆,除去A和B两点.

二、填空题（每小题5分,共10分）

3.（2015·安庆高一检测）α,β是两个不同的平面,m,n是平面α及β之外的两条不同的直线,给出四个论断:

①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α.

以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题:

　　　　　　　　　.

【解析】利用面面垂直的判定,可知①③④⇒②为真;利用面面垂直的性质,可知②③④⇒①为真.所以应填“若①③④则②”,或“若②③④则①”.

答案:

若①③④则②（或若②③④则①）

4.（2015·合肥高一检测）如图,平行四边形ABCD中,AB⊥BD,沿BD将△ABD折起,使平面ABD⊥平面BCD,连接AC,则在四面体ABCD的四个面中,互相垂直的平面的对数为　　　　.

【解析】因为平面ABD⊥平面BCD,

平面ABD∩平面BCD=BD,AB⊥BD,

所以AB⊥平面BCD.

所以平面ABC⊥平面BCD,

因为AB⊥BD,AB∥CD,所以CD⊥BD.

又因为平面ABD⊥平面BCD,

所以CD⊥平面ABD,

所以平面ACD⊥平面ABD,共3对.

答案:

3

【延伸拓展】在垂直的判定定理和性质定理中,有很多限制条件,如“相交直线”“线在面内”“平面经过一直线”等.这些条件一方面有很强的约束性,另一方面又为证明指出了方向.在利用定理时,既要注意定理的严谨性,又要注意推理的规律性.

三、解答题（每小题10分,共20分）

5.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA⊥PD,底面ABCD是直角梯形,其中BC∥AD,∠BAD=90°,AD=3BC,O是AD上一点.

（1）若CD∥平面PBO,试指出点O的位置.

（2）求证:

平面PAB⊥平面PCD.

【解析】

（1）因为CD∥平面PBO,CD⊂平面ABCD,

且平面ABCD∩平面PBO=BO,

所以BO∥CD.

又BC∥AD,所以四边形BCDO为平行四边形.

则BC=DO,而AD=3BC,

所以AD=3OD,即点O是靠近点D的线段AD上的一个三等分点.

（2）因为侧面PAD⊥底面ABCD,侧面PAD∩底面ABCD=AD,AB⊂底面ABCD,且AB⊥AD,

所以AB⊥平面PAD.

又PD⊂平面PAD,所以AB⊥PD.

又PA⊥PD,且PA⊂平面PAB,AB⊂平面PAB,AB∩PA=A,所以PD⊥平面PAB.

又PD⊂平面PCD,所以平面PAB⊥平面PCD.

6.如图,已知V是△ABC所在平面外一点,VB⊥平面ABC,平面VAB⊥平面VAC,求证:

△ABC是直角三角形.

【证明】过B作BD⊥VA于D,

因为平面VAB⊥平面VAC,所以BD⊥平面VAC,

所以BD⊥AC,又因为VB⊥平面ABC,所以VB⊥AC,

VB∩BD=B,

所以AC⊥平面VAB,所以AC⊥BA,

即△ABC是直角三角形.

【拓展延伸】垂直关系的知识总结

线面垂直的关键,定义来证最常见;

判定定理也常用,它的意义要记清;

平面之内两直线,两线交于一个点;

面外还有一条线,垂直两线是条件.

面面垂直要证好,原有图中去寻找;

若是这样还不好,辅助线面是个宝.

先作交线的垂线,面面转为线和面;

再证一步线和线,面面垂直即可见.

借助辅助线和面,加的时候不能乱;

以某性质为基础,不能主观凭臆断.

判断线和面垂直,线垂面中两交线.

两线垂直同一面,相互平行共伸展.

两面垂直同一线,一面平行另一面.

要让面和面垂直,面过另面一垂线.

面面垂直成直角,线面垂直记心间.

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