直线与平面的位置关系.docx
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直线与平面的位置关系
直线与平面的相对位置
直线与平面的相对位置有平行、相交、垂直。
其中：
平行要解决的基本问题：
过点作直线平行于已知平面
通过投影判断直线与平面是否平行
相交要解决的基本问题：
求出交点，有遮挡关系时要判断可见性。
垂直要解决的基本问题：
过点作直线垂直于已知平面
通过投影判断直线与平面是否垂直
一、直线与平面平行
解决平行问题的几何依据是初等几何中关于直线与平面平行的几何条件：
若一直线平行于平面内任一直线。
则该直线与该平面相互平行。
如图所示，直线AB平行于平面内任一直线CD，则AB必与P平面平行。
反之，若一条直线与平面平行则在该平面内一定存在与该直线平行的直线。
举例1：
过A点作一水平线AB，与平面CDE平行。
分析解答：
（单击展开看说明）>>观看演示
平面的空间位置一经给定，该平面水平线的方向也随之而定。
虽然过A点的水平线有无数条，但与平面CDE平行的只有一条，它必与平面CDE内的水平线平行。
作图步骤：
（1）在平面内任作一水平线DF（d′f′，df）；
（2）过点A（a′,a）作直线AB//DF（a′b′//d′f′；ab//df）。
则直线AB即为所求。
举例2：
判定直线AB与平面CDE是否平行。
分析解答：
（单击展开看说明）>>观看演示
若直线AB与平面CDE平行,则在CDE平面内一定存在与AB直线平行的直线。
否则AB与平面CDE不平行。
作图判定：
（1）在平面内任作一直线DF，使df//ab,并求得d′f′；
（2）分析结果：
DF在平面内，但d′f′不//a′b′,
结论：
AB不//平面CDE
思考：
直线与特殊位置平面平行的投影特点（单击展开看说明）
直线与特殊位置平面平行，则直线的与平面有积聚性的同面投影必平行。
所以。
在投影图中，只要直线的与平面有积聚性的同面投影平行，则在空间直线与平面必平行。
举例2：
判定直线AB与正垂面是否平行。
分析解答：
（单击展开看说明）>>观看演示
正垂面P内所有直线（包括水平投影与ab平行的直线）的正面投影，都积聚在PV上。
由图中给出Aa′b′平行PV，故可以判定直线AB与正垂面P互相垂直。
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直线与平面的相对位置
二、直线与平面相交
相交要解决的基本问题：
求出交点，有遮挡关系时要判断可见性。
求交点的依据是交点的“公有性”。
如下图所示，K点是直线与平面的交点，它即在直线上，又在平面上。
求交点的方法：
1.利用积聚性投影求解；
2.用平面内的辅助线求解。
可见性判别方法：
1.根据相对位置直观判别
2.利用重影点间接判别
（一）用直线或平面的积聚性投影求交点
当直线或平面有积聚性投影时，交点的投影落必在直线或平面的积聚性投影上。
这就是交点的已知投影根据交点的已知投影，依据从属性求其未知投影
例5-3：
求直线AB与铅垂面P的交点K，并判定可见性。
分析解答：
（单击展开看说明）>>观看演示
因为交点K是直线AB与铅垂面P的公有点，铅垂面P的水平投影有积聚性，所以，在H投影面上，ab与面P的积聚性投影的交点k，即为K点的水平投影。
作图与可见性判别：
（单击展开看结果）
作图：
由k作OX轴的垂线，与a′b′相交，即得交点K的正面投影k′；
可见性判别：
（只需判别V面上的可见性）
由水平投影可知，铅垂面P以交点K为界，把直线分为平面前和平面后两部分（AK在前，KB在后）。
所以在V投影面上，a′k′可见，k′b′不可见。
例5-4：
求正垂线AB与平面CDE的交点，并判定投影的可见性。
分析解答：
（单击展开看结果）>>观看演示
由于交点是直线上的点，而直线的正面投影积聚为一点，则交点的正面投影k'与直线的积聚性投影重合，为已知。
又由于交点也是平面上的点，所以，可根据点在平面上的从属性作图，求交点的水平投影k。
作图：
（1）过直线的正面投影a′（b′）作直线d′f′；
（2）由d'f'求DF的水平投影df，df与ab的交点，即为K点的水平投影k。
可见性判别：
可见性判别：
（只需判别直线在H面上的可见性）
在H面上找一直线与平面的重影点，如CD与AB的重影点1,2（假设1属于CD，2属于AB）。
由1,2的正面投影可知，以交点K为界，AK在CD之上，所以在H投影面上，a′k′可见，而k′b′自然不可见。
思考：
当直线与平面二者都处于一般位置时，交点无已知投影，如何求交点？
通过平面的辅助线求解
（二）辅助线法求交点
原理：
如果直线AB与平面P相交于K，那么在平面P内过K的所有直线都与直线AB相交。
这些直线中必有其投影与直线AB同面投影重合的直线，它们与直线AB位于同一垂直面内，如右图中，平面P内过交点K的直线MN，它的水平投影与AB的水平投影重合，即MN与AB位于同一铅垂面内，因此它们一定相交。
由于MN是平面P内的直线，所以MN与AB的交点K，就是直线AB与平面P的交点。
同理，平面P内与AB的正面投影重合的直线，它们与AB的交点是直线AB与平面P的交点。
由此可见，如果直线与平面相交，则平面内一条其投影与已知直线同面投影重合的直线，必与已知直线相交，其交点就是已知直线与平面的交点。
作图步骤：
1.在平面内作一辅助线，使其一个投影与已知直线的同面投影重合；
2.求辅助线与已知直线的交点，该交点即为直线与平面的交点。
举例：
求直线AB与△CDE平面的交点，并判别可见性。
分析解答：
（单击展开看结果）>>观看演示
作图：
（1）过直线的正面投影a′（b′）作直线d′f′；
（2）由d′f′求DF的水平投影df，df与ab的交点，即为K点的水平投影k。
可见性判别：
（单击展开看结果）
在H面上找一直线与平面的重影点，如CD与AB的重影点1,2（假设1属于CD，2属于AB）。
由1,2的正面投影可知，以交点K为界，AK在CD之上，所以在H投影面上，a′k′可见，而k′b′自然不可见。
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直线与平面的相对位置
三、直线与平面垂直
解决直线与平面垂直问题的基本依据是初等几何中相关几何条件：
若一直线垂直于平面内任意两条相交直线。
则该直线与该平面相互垂直。
如下图所示，直线AB垂直于平面内两条相交直线CD和EF，则AB必垂直于平面P。
反之，若一条直线与平面垂直，则在该平面内任意直线都与该直线垂直。
因两相交直线可以决定一平面。
为了作图方便，在解决直线与平面垂直问题时，一般借助平面内的水平线和正平线求解。
根据直角投影定理，与平面垂直的直线，其水平投影与平面内的水平线的水平投影垂直；其正面投影与平面内的正平线的正面投影垂直；如下图所示：
AD和CE为平面ABC内的水平线和正平线，因MN垂直平面ABC，所以MN的水平投影垂直于水平线的水平投影（即mn⊥ad）；MN的正面投影垂直于正平线的正面投影（即m′n′⊥c′e′）。
（一）用直线或平面的积聚性投影求交点
当直线或平面有积聚性投影时，交点的投影必落在直线或平面的积聚性投影上。
这就是交点的已知投影。
根据交点的已知投影，依据从属性求其未知投影。
举例1：
过点M作直线MN垂直于△ABC，并求垂足。
分析解答：
（单击展开看结果）>>观看演示
1.过点M作直线MN⊥△ABC：
在△ABC内任作一水平线CE和一条正平线AD；过m、m′分别作mn⊥ad；m⊥c′e′。
则直线MN（mn，m′n′）即为所求，见下图（a）。
2.求垂足：
利用辅助线法求MN与△ABCDE交点K，见图（b）。
3.判别可见性：
直线在H投影上的可见性，利用重影点I、II点判别；直线在V投影上的可见性，利用重影点III、IV点判别；结果见图（c）。
举例2：
过点A作平面与直线MN垂直
分析解答：
>>观看演示
分析：
由直线与平面垂直的几何条件可知，只要过A点作两相交直线与MN垂直，则这两条所决定的平面与直线MN垂直。
举例3：
判定下图所示直线是否与平面P垂直。
分析解答：
（单击展开看结果）>>观看演示
分析：
如果AB⊥P，则AB的水平投影ab，必垂直于平面P内水平线的水平投影；同时AB的正面投影a′b′必垂直于平面P内正平线的正面投影。
作图判定：
在平面P内任作一水平线CD（cd、c′d′），从其水平投影可以看出ab与cd并不垂直，由此可判定直线AB与平面P不垂直。
思考：
特殊位置平面与直线垂直的投影图有何特点？
（单击展开看结果）
相互垂直的直线与平面，当直线或平面之一为特殊位置时，另一几何要素也一定为特殊位置。
即：
与投影面垂直面垂直的直线一定是该投影面的平行线。
如：
正垂面与正平线垂直；铅垂面与水平线垂直。
与投影面平行面垂直的直线一定是该投影面的垂直线。
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