江苏省连云港市徐州市宿迁市届高三数学下学期第三次模拟考试试题.docx
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江苏省连云港市徐州市宿迁市届高三数学下学期第三次模拟考试试题
江苏省连云港市、徐州市、宿迁市2017届高三数学下学期第三次模拟考试试题
参考公式:
样本数据x1,x2,…,xn的方差s2=(xi-x)2,其中x=xi.
棱锥的体积V=Sh,其中S是棱锥的底面积,h是高.
一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,共计70分.
1.已知集合A={-1,1,2},B={0,1,2,7},则集合A∪B中元素的个数为________.
2.设a,b∈R,=a+bi(i为虚数单位),则b的值为________.
(第5题)
3.在平面直角坐标系xOy中,双曲线-=1的离心率是________.
4.现有三张识字卡片,分别写有“中”、“国”、“梦”这三个字.将这三张卡片随机排序,则能组成“中国梦”的概率是________.
5.如图是一个算法的流程图,则输出的k的值为________.
6.已知一组数据3,6,9,8,4,则该组数据的方差是________.
7.已知实数x,y满足则的取值范围是________.
8.若函数f(x)=2sin(2x+φ)的图象过点(0,),则函数f(x)在上的单调减区间是________.
9.在公比为q且各项均为正数的等比数列{an}中,Sn为{an}的前n项和.若a1=,且S5=S2+2,则q的值为________.
10.如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,已知AB=AA1=3,点P在棱CC1上,则三棱锥PABA1的体积为________.
(第10题)
(第11题)
11.如图,已知正方形ABCD的边长为2,BC平行于x轴,顶点A,B和C分别在函数y1=3logax,y2=2logax和y3=logax(a>1)的图象上,则实数a的值为________.
12.已知对于任意的x∈(-∞,1)∪(5,+∞),都有x2-2(a-2)x+a>0,则实数a的取值范围是________.
13.在平面直角坐标系xOy中,圆C:
(x+2)2+(y-m)2=3.若圆C存在以G为中点的弦AB,且AB=2GO,则实数m的取值范围是________.
14.已知△ABC三个内角A,B,C的对应边分别为a,b,c,且C=,c=2.当·取得最大值时,的值为________.
二、解答题:
本大题共6小题,共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤.
15.(本小题满分14分)
如图,在△ABC中,已知点D在边AB上,AD=3DB,cosA=,cos∠ACB=,BC=13.
(1)求cosB的值;
(2)求CD的长.
16.(本小题满分14分)
如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形,点E在棱PC上(异于点P,C),平面ABE与棱PD交于点F.
(1)求证:
AB∥EF;
(2)若平面PAD⊥平面ABCD,求证:
AF⊥EF.
17.(本小题满分14分)
如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:
+=1的左、右顶点分别为A,B,过右焦点F的直线l与椭圆C交于P,Q两点(点P在x轴上方).
(1)若QF=2FP,求直线l的方程;
(2)设直线AP,BQ的斜率分别为k1,k2.是否存在常数λ,使得k1=λk2?
若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.
18.(本小题满分16分)
某景区修建一栋复古建筑,其窗户设计如图所示.圆D的圆心与矩形ABCD对角线的交点重合,且圆与矩形上下两边相切(E为上切点),与左右两边相交(F,G为其中两个交点),图中阴影部分为不透光区域,其余部分为透光区域.已知圆的半径为1m,且≥.设∠EOF=θ,透光区域的面积为S.
(1)求S关于θ的函数关系式,并求出定义域.
(2)根据设计要求,透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好.当该比值最大时,求边AB的长度.
19.(本小题满分16分)
已知两个无穷数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,a1=1,S2=4,对任意的n∈N*,都有3Sn+1=2Sn+Sn+2+an.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若{bn}为等差数列,对任意的n∈N*,都有Sn>Tn.证明:
an>bn;
(3)若{bn}为等比数列,b1=a1,b2=a2,求满足=ak(k∈N*)的n值.
20.(本小题满分16分)
已知函数f(x)=+xlnx(m>0),g(x)=lnx-2.
(1)当m=1时,求函数f(x)的单调增区间;
(2)设函数h(x)=f(x)-xg(x)-,x>0.若函数y=h(h(x))的最小值是,求m的值;
(3)若函数f(x),g(x)的定义域都是,对于函数f(x)的图象上的任意一点A,在函数g(x)的图象上都存在一点B,使得OA⊥OB,其中e是自然对数的底数,0为坐标原点.求m的取值范围.
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2017届高三年级第三次模拟考试(三)·数学附加题 第页(共2页)
2017届高三年级第三次模拟考试(三)
数学附加题21.本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题,并作答.若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.(本小题满分10分)
如图,圆O的弦AB,MN交于点C,且A为弧MN的中点,点D在弧BM上.若∠ACN=3∠ADB,求∠ADB的度数.
B.(本小题满分10分)
已知矩阵A=,若A==,求矩阵A的特征值.
C.(本小题满分10分)
在极坐标系中,已知点A,点B在直线l:
ρcosθ+ρsinθ=0(0≤θ≤2π)上.当线段AB最短时,求点B的极坐标.
D.(本小题满分10分)
已知a,b,c为正实数,且a3+b3+c3=a2b2c2.求证:
a+b+c≥3.
【必做题】第22题、第23题.每题10分,共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22.(本小题满分10分)
在平面直角坐标系xOy中,点F(1,0),直线x=-1与动直线y=n的交点为M,线段MF的中垂线与动直线y=n的交点为P.
(1)求动点P的轨迹E的方程;
(2)过动点M作曲线E的两条切线,切点分别为A,B,求证:
∠AMB的大小为定值.
23.(本小题满分10分)
已知集合U={1,2,…,n}{n∈N*,n≥2),对于集合U的两个非空子集A,B,若A∩B=∅,则称(A,B)为集合U的一组“互斥子集”.记集合U的所有“互斥子集”的组数为f(n)(视(A,B)与(B,A)为同一组“互斥子集”).
(1)写出f
(2),f(3),f(4)的值;
(2)求f(n).
2017届高三年级第三次模拟考试(三)(苏北三市)
数学参考答案
一、填空题
1.5 2.1 3. 4. 5.6 6.(或5.2) 7. 8.(,) 9. 10. 11. 12.(1,5](或1二、解答题15.(1)在△ABC中,cosA=,A∈(0,π),所以sinA===.(2分)同理可得,sin∠ACB=.(4分)所以cosB=cos=-cos(A+∠ACB)=sinAsin∠ACB-cosAcos∠ACB(6分)=×-×=.(8分)(2)在△ABC中,由正弦定理得,AB=sin∠ACB=×=20.(10分)又AD=3DB,所以BD=AB=5.(12分)在△BCD中,由余弦定理得,CD===9.(14分)16.(1)因为ABCD是矩形,所以AB∥CD.(2分)又因为AB⊄平面PDC,CD⊂平面PDC,所以AB∥平面PDC.(4分)又因为AB⊂平面ABEF,平面ABEF∩平面PDC=EF,所以AB∥EF.(6分)(2)因为ABCD是矩形,所以AB⊥AD.(8分)又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,AB⊂平面ABCD,所以AB⊥平面PAD.(10分)又AF⊂平面PAD,所以AB⊥AF.(12分)又由(1)知AB∥EF,所以AF⊥EF.(14分)17.(1)因为a2=4,b2=3,所以c==1,所以F的坐标为(1,0),(1分)设P(x1,y1),Q(x2,y2),直线l的方程为x=my+1,代入椭圆方程,得(4+3m2)y2+6my-9=0,则y1=,y2=.(4分)若QF=2PF,则+2×=0,解得m=,故直线l的方程为x-2y-=0.(6分)(2)由(1)知,y1+y2=,y1y2=,所以my1y2==(y1+y2),(8分)所以=·=(12分)==,故存在常数λ=,使得k1=k2.(14分)18.(1)过点O作OH⊥FG于点H,则∠OFH=∠EOF=θ,所以OH=OFsinθ=sinθ,FH=OFcosθ=cosθ.(2分)所以S=4S△OFH+4S扇形OEF=2sinθcosθ+4×=sin2θ+2θ,(6分)因为≥,所以sinθ≥,所以定义域为.(8分)(2)矩形窗面的面积为S矩形=AD·AB=2×2sinθ=4sinθ.则透光区域与矩形窗面的面积比值为=+.(10分)设f(θ)=+,≤θ<.则f′(θ)=-sinθ+===,(12分)因为≤θ<,所以sin2θ≤,所以sin2θ-θ<0,故f′(θ)<0,所以函数f(θ)在上单调减.所以当θ=时,f(θ)有最大值+,此时AB=2sinθ=1(m).(14分)答:(1)S关于θ的函数关系式为S=sin2θ+2θ,定义域为;(2)透光区域与矩形窗面的面积比值最大时,AB的长度为1m.(16分)19.(1)由3Sn+1=2Sn+Sn+2+an,得2(Sn+1-Sn)=Sn+2-Sn+1+an,即2an+1=an+2+an,所以an+2-an+1=an+1-an.(2分)由a1=1,S2=4,可知a2=3.所以数列{an}是以1为首项,2为公差的等差数列.故{an}的通项公式为an=2n-1.(4分)(2)证法一:设数列{bn}的公差为d,则Tn=nb1+d,由(1)知,Sn=n2.因为Sn>Tn,所以n2>nb1+d,即(2-d)n+d-2b1>0恒成立,所以即(6分)又由S1>T1,得b1<1,所以an-bn=2n-1-b1-(n-1)d=(2-d)n+d-1-b1≥(2-d)+d-1-b1=1-b1>0.所以an>bn,得证.(8分)证法二:设{bn}的公差为d,假设存在自然数n0≥2,使得an0≤bn0,则a1+(n0-1)×2≤b1+(n0-1)d,即a1-b1≤(n0-1)(d-2),因为a1>b1,所以d>2.(6分)所以Tn-Sn=nb1+d-n2=n2+n,因为-1>0,所以存在N0∈N*,当n>N0时,Tn-Sn>0恒成立.这与“对任意的n∈N*,都有Sn>Tn”矛盾!所以an>bn,得证.(8分)(3)由(1)知,Sn=n2.因为{bn}为等比数列,且b1=1,b2=3,所以{bn}是以1为首项,3为公比的等比数列.所以bn=3n-1,Tn=.(10分)则===3-,因为n∈N*,所以6n2-2n+2>0,所以<3.(12分)而ak=2k-1,所以=1,即3n-1-n2+n-1=0(*).当n=1,2时,(*)式成立;(14分)当n≥2时,设f(n)=3n-1-n2+n-1,则f(n+1)-f(n)=3n-(n+1)2+n-(3n-1-n2+n-1)=2(3n-1-n)>0,所以0=f(2)故满足条件的n的值为1和2.(16分)20.(1)当m=1时,f(x)=+xlnx,f′(x)=-+lnx+1.(2分)因为f′(x)在(0,+∞)上单调增,且f′(1)=0,所以当x>1时,f′(x)>0;当0所以函数f(x)的单调增区间是(1,+∞).(4分)(2)h(x)=+2x-,则h′(x)=2-=,令h′(x)=0得x=,当0当x>时,h′(x)>0,函数h(x)在(,+∞)上单调增.所以min=h()=2-.(6分)①当(2-1)≥,即m≥时,函数y=h(h(x))的最小值h(2-)==,即17m-26+9=0,解得=1或=(舍),所以m=1;………8分)②当0<(2-1)<,即函数y=h(h(x))的最小值h=(2-1)=,解得=(舍).综上所述,m的值为1.(10分)(3)由题意知,kOA=+lnx,kOB=.考虑函数y=,因为y′=>0在上恒成立,所以函数y=在上单调增,故kOB∈.(12分)所以kOA∈,即≤+lnx≤e在上恒成立,即-x2lnx≤m≤x2(e-lnx)在上恒成立.设p(x)=-x2lnx,则p′(x)=-2xlnx≤0在上恒成立,所以p(x)在上单调减,所以m≥p(1)=.(14分)设q(x)=x2(e-lnx),则q′(x)=x(2e-1-2lnx)≥x(2e-1-2lne)>0在上恒成立,所以q(x)在上单调增,所以m≤q(1)=e.综上所述,m的取值范围为.(16分)附加题21.A.连结AN,DN.因为A为弧MN的中点,所以∠ANM=∠ADN.而∠NAB=∠NDB,所以∠ANM+∠NAB=∠ADN+∠NDB,即∠BCN=∠ADB.(5分)又因为∠ACN=3∠ADB,所以∠ACN+∠BCN=3∠ADB+∠ADB=180°,故∠ADB=45°.(10分)B.因为A===,所以解得所以A=.(5分)所以矩阵A的特征多项式为f(λ)==(λ-2)(λ-1)-6=λ2-3λ-4,令f(λ)=0,解得矩阵A的特征值为λ1=-1,λ2=4.(10分)C.以极点为原点,极轴为x轴正半轴,建立平面直角坐标系,则点A(2,)的直角坐标为(0,2),直线l的直角坐标方程为x+y=0.(4分)AB最短时,点B为直线x-y+2=0与直线l的交点,解得所以点B的直角坐标为(-1,1).(8分)所以点B的极坐标为(,π).(10分)D.因为a3+b3+c3=a2b2c2≥3,所以abc≥3,(5分)所以a+b+c≥3≥3,当且仅当a=b=c=时,取“=”.(10分)22.(1)因为直线y=n与x=-1垂直,所以MP为点P到直线x=-1的距离.连结PF,因为P为线段MF的中垂线与直线y=n的交点,所以MP=PF.所以点P的轨迹是抛物线.(2分)焦点为F(1,0),准线为x=-1.所以曲线E的方程为y2=4x.(5分)(2)由题意,过点M(-1,n)的切线斜率存在,设切线方程为y-n=k(x+1),联立得ky2-4y+4k+4n=0,所以Δ1=16-4k(4k+4n)=0,即k2+kn-1=0(*),(8分)因为Δ2=n2+4>0,所以方程(*)存在两个不等实根,设为k1k2,因为k1·k2=-1,所以∠AMB=90°,为定值.(10分)23.(1)f(2)=1,f(3)=6,(2分)f(4)=25.(4分)(2)解法一:设集合A中有k个元素,k=1,2,3,…,n-1.则与集合A互斥的非空子集有2n-k-1个.(6分)于是f(n)=C(2n-k-1)=[C-C-C=2n-2,所以f(n)==(3n-2n+1+1).(10分)解法二:任意一个元素只能在集合A,B,C=∁U(A∪B)之一中,则这n个元素在集合A,B,C中,共有3n种;(6分)其中A为空集的种数为2n,B为空集的种数为2n,所以A,B均为非空子集的种数为3n-2×2n+1,(8分)又(A,B)与(B,A)为同一组“互斥子集”,所以f(n)=(3n-2n+1+1).(10分)
二、解答题
15.
(1)在△ABC中,cosA=,A∈(0,π),
所以sinA===.(2分)
同理可得,sin∠ACB=.(4分)
所以cosB=cos
=-cos(A+∠ACB)
=sinAsin∠ACB-cosAcos∠ACB(6分)
=×-×=.(8分)
(2)在△ABC中,由正弦定理得,AB=sin∠ACB=×=20.(10分)
又AD=3DB,所以BD=AB=5.(12分)
在△BCD中,由余弦定理得,
CD=
=
=9.(14分)
16.
(1)因为ABCD是矩形,所以AB∥CD.(2分)
又因为AB⊄平面PDC,CD⊂平面PDC,
所以AB∥平面PDC.(4分)
又因为AB⊂平面ABEF,
平面ABEF∩平面PDC=EF,
所以AB∥EF.(6分)
(2)因为ABCD是矩形,所以AB⊥AD.(8分)
又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,
AB⊂平面ABCD,所以AB⊥平面PAD.(10分)
又AF⊂平面PAD,所以AB⊥AF.(12分)
又由
(1)知AB∥EF,所以AF⊥EF.(14分)
17.
(1)因为a2=4,b2=3,所以c==1,
所以F的坐标为(1,0),(1分)
设P(x1,y1),Q(x2,y2),直线l的方程为x=my+1,
代入椭圆方程,得(4+3m2)y2+6my-9=0,
则y1=,
y2=.(4分)
若QF=2PF,则+2×=0,
解得m=,故直线l的方程为x-2y-=0.(6分)
(2)由
(1)知,y1+y2=,y1y2=,
所以my1y2==(y1+y2),(8分)
所以=·=(12分)
==,
故存在常数λ=,使得k1=k2.(14分)
18.
(1)过点O作OH⊥FG于点H,则∠OFH=∠EOF=θ,
所以OH=OFsinθ=sinθ,
FH=OFcosθ=cosθ.(2分)
所以S=4S△OFH+4S扇形OEF
=2sinθcosθ+4×
=sin2θ+2θ,(6分)
因为≥,所以sinθ≥,
所以定义域为.(8分)
(2)矩形窗面的面积为S矩形=AD·AB=2×2sinθ=4sinθ.
则透光区域与矩形窗面的面积比值为
=+.(10分)
设f(θ)=+,≤θ<.
则f′(θ)=-sinθ+
==
=,(12分)
因为≤θ<,所以sin2θ≤,
所以sin2θ-θ<0,故f′(θ)<0,
所以函数f(θ)在上单调减.
所以当θ=时,f(θ)有最大值+,此时AB=2sinθ=1(m).(14分)
答:
(1)S关于θ的函数关系式为S=sin2θ+2θ,定义域为;
(2)透光区域与矩形窗面的面积比值最大时,AB的长度为1m.(16分)
19.
(1)由3Sn+1=2Sn+Sn+2+an,得2(Sn+1-Sn)=Sn+2-Sn+1+an,
即2an+1=an+2+an,所以an+2-an+1=an+1-an.(2分)
由a1=1,S2=4,可知a2=3.
所以数列{an}是以1为首项,2为公差的等差数列.
故{an}的通项公式为an=2n-1.(4分)
(2)证法一:
设数列{bn}的公差为d,则Tn=nb1+d,
由
(1)知,Sn=n2.
因为Sn>Tn,所以n2>nb1+d,即(2-d)n+d-2b1>0恒成立,
所以即(6分)
又由S1>T1,得b1<1,
所以an-bn=2n-1-b1-(n-1)d=(2-d)n+d-1-b1
≥(2-d)+d-1-b1=1-b1>0.
所以an>bn,得证.(8分)
证法二:
设{bn}的公差为d,假设存在自然数n0≥2,使得an0≤bn0,
则a1+(n0-1)×2≤b1+(n0-1)d,即a1-b1≤(n0-1)(d-2),
因为a1>b1,所以d>2.(6分)
所以Tn-Sn=nb1+d-n2=n2+n,
因为-1>0,所以存在N0∈N*,当n>N0时,Tn-Sn>0恒成立.
这与“对任意的n∈N*,都有Sn>Tn”矛盾!
(3)由
(1)知,Sn=n2.因为{bn}为等比数列,且b1=1,b2=3,
所以{bn}是以1为首项,3为公比的等比数列.
所以bn=3n-1,Tn=.(10分)
则===3-,
因为n∈N*,所以6n2-2n+2>0,所以<3.(12分)
而ak=2k-1,所以=1,即3n-1-n2+n-1=0(*).
当n=1,2时,(*)式成立;(14分)
当n≥2时,设f(n)=3n-1-n2+n-1,
则f(n+1)-f(n)=3n-(n+1)2+n-(3n-1-n2+n-1)=2(3n-1-n)>0,
所以0=f
(2)故满足条件的n的值为1和2.(16分)20.(1)当m=1时,f(x)=+xlnx,f′(x)=-+lnx+1.(2分)因为f′(x)在(0,+∞)上单调增,且f′(1)=0,所以当x>1时,f′(x)>0;当0所以函数f(x)的单调增区间是(1,+∞).(4分)(2)h(x)=+2x-,则h′(x)=2-=,令h′(x)=0得x=,当0当x>时,h′(x)>0,函数h(x)在(,+∞)上单调增.所以min=h()=2-.(6分)①当(2-1)≥,即m≥时,函数y=h(h(x))的最小值h(2-)==,即17m-26+9=0,解得=1或=(舍),所以m=1;………8分)②当0<(2-1)<,即函数y=h(h(x))的最小值h=(2-1)=,解得=(舍).综上所述,m的值为1.(10分)(3)由题意知,kOA=+lnx,kOB=.考虑函数y=,因为y′=>0在上恒成立,所以函数y=在上单调增,故kOB∈.(12分)所以kOA∈,即≤+lnx≤e在上恒成立,即-x2lnx≤m≤x2(e-lnx)在上恒成立.设p(x)=-x2lnx,则p′(x)=-2xlnx≤0在上恒成立,所以p(x)在上单调减,所以m≥p(1)=.(14分)设q(x)=x2(e-lnx),则q′(x)=x(2e-1-2lnx)≥x(2e-1-2lne)>0在上恒成立,所以q(x)在上单调增,所以m≤q(1)=e.综上所述,m的取值范围为.(16分)附加题21.A.连结AN,DN.因为A为弧MN的中点,所以∠ANM=∠ADN.而∠NAB=∠NDB,所以∠ANM+∠NAB=∠ADN+∠NDB,即∠BCN=∠ADB.(5分)又因为∠ACN=3∠ADB,所以∠ACN+∠BCN=3∠ADB+∠ADB=180°,故∠ADB=45°.(10分)B.因为A===,所以解得所以A=.(5分)所以矩阵A的特征多项式为f(λ)==(λ-2)(λ-1)-6=λ2-3λ-4,令f(λ)=0,解得矩阵A的特征值为λ1=-1,λ2=4.(10分)C.以极点为原点,极轴为x轴正半轴,建立平面直角坐标系,则点A(2,)的直角坐标为(0,2),直线l的直角坐标方程为x+y=0.(4分)AB最短时,点B为直线x-y+2=0与直线l的交点,解得所以点B的直角坐标为(-1,1).(8分)所以点B的极坐标为(,π).(10分)D.因为a3+b3+c3=a2b2c2≥3,所以abc≥3,(5分)所以a+b+c≥3≥3,当且仅当a=b=c=时,取“=”.(10分)22.(1)因为直线y=n与x=-1垂直,所以MP为点P到直线x=-1的距离.连结PF,因为P为线段MF的中垂线与直线y=n的交点,所以MP=PF.所以点P的轨迹是抛物线.(2分)焦点为F(1,0),准线为x=-1.所以曲线E的方程为y2=4x.(5分)(2)由题意,过点M(-1,n)的切线斜率存在,设切线方程为y-n=k(x+1),联立得ky2-4y+4k+4n=0,所以Δ1=16-4k(4k+4n)=0,即k2+kn-1=0(*),(8分)因为Δ2=n2+4>0,所以方程(*)存在两个不等实根,设为k1k2,因为k1·k2=-1,所以∠AMB=90°,为定值.(10分)23.(1)f(2)=1,f(3)=6,(2分)f(4)=25.(4分)(2)解法一:设集合A中有k个元素,k=1,2,3,…,n-1.则与集合A互斥的非空子集有2n-k-1个.(6分)于是f(n)=C(2n-k-1)=[C-C-C=2n-2,所以f(n)==(3n-2n+1+1).(10分)解法二:任意一个元素只能在集合A,B,C=∁U(A∪B)之一中,则这n个元素在集合A,B,C中,共有3n种;(6分)其中A为空集的种数为2n,B为空集的种数为2n,所以A,B均为非空子集的种数为3n-2×2n+1,(8分)又(A,B)与(B,A)为同一组“互斥子集”,所以f(n)=(3n-2n+1+1).(10分)
故满足条件的n的值为1和2.(16分)
20.
(1)当m=1时,f(x)=+xlnx,
f′(x)=-+lnx+1.(2分)
因为f′(x)在(0,+∞)上单调增,且f′
(1)=0,
所以当x>1时,f′(x)>0;当0所以函数f(x)的单调增区间是(1,+∞).(4分)(2)h(x)=+2x-,则h′(x)=2-=,令h′(x)=0得x=,当0当x>时,h′(x)>0,函数h(x)在(,+∞)上单调增.所以min=h()=2-.(6分)①当(2-1)≥,即m≥时,函数y=h(h(x))的最小值h(2-)==,即17m-26+9=0,解得=1或=(舍),所以m=1;………8分)②当0<(2-1)<,即函数y=h(h(x))的最小值h=(2-1)=,解得=(舍).综上所述,m的值为1.(10分)(3)由题意知,kOA=+lnx,kOB=.考虑函数y=,因为y′=>0在上恒成立,所以函数y=在上单调增,故kOB∈.(12分)所以kOA∈,即≤+lnx≤e在上恒成立,即-x2lnx≤m≤x2(e-lnx)在上恒成立.设p(x)=-x2lnx,则p′(x)=-2xlnx≤0在上恒成立,所以p(x)在上单调减,所以m≥p(1)=.(14分)设q(x)=x2(e-lnx),则q′(x)=x(2e-1-2lnx)≥x(2e-1-2lne)>0在上恒成立,所以q(x)在上单调增,所以m≤q(1)=e.综上所述,m的取值范围为.(16分)附加题21.A.连结AN,DN.因为A为弧MN的中点,所以∠ANM=∠ADN.而∠NAB=∠NDB,所以∠ANM+∠NAB=∠ADN+∠NDB,即∠BCN=∠ADB.(5分)又因为∠ACN=3∠ADB,所以∠ACN+∠BCN=3∠ADB+∠ADB=180°,故∠ADB=45°.(10分)B.因为A===,所以解得所以A=.(5分)所以矩阵A的特征多项式为f(λ)==(λ-2)(λ-1)-6=λ2-3λ-4,令f(λ)=0,解得矩阵A的特征值为λ1=-1,λ2=4.(10分)C.以极点为原点,极轴为x轴正半轴,建立平面直角坐标系,则点A(2,)的直角坐标为(0,2),直线l的直角坐标方程为x+y=0.(4分)AB最短时,点B为直线x-y+2=0与直线l的交点,解得所以点B的直角坐标为(-1,1).(8分)所以点B的极坐标为(,π).(10分)D.因为a3+b3+c3=a2b2c2≥3,所以abc≥3,(5分)所以a+b+c≥3≥3,当且仅当a=b=c=时,取“=”.(10分)22.(1)因为直线y=n与x=-1垂直,所以MP为点P到直线x=-1的距离.连结PF,因为P为线段MF的中垂线与直线y=n的交点,所以MP=PF.所以点P的轨迹是抛物线.(2分)焦点为F(1,0),准线为x=-1.所以曲线E的方程为y2=4x.(5分)(2)由题意,过点M(-1,n)的切线斜率存在,设切线方程为y-n=k(x+1),联立得ky2-4y+4k+4n=0,所以Δ1=16-4k(4k+4n)=0,即k2+kn-1=0(*),(8分)因为Δ2=n2+4>0,所以方程(*)存在两个不等实根,设为k1k2,因为k1·k2=-1,所以∠AMB=90°,为定值.(10分)23.(1)f(2)=1,f(3)=6,(2分)f(4)=25.(4分)(2)解法一:设集合A中有k个元素,k=1,2,3,…,n-1.则与集合A互斥的非空子集有2n-k-1个.(6分)于是f(n)=C(2n-k-1)=[C-C-C=2n-2,所以f(n)==(3n-2n+1+1).(10分)解法二:任意一个元素只能在集合A,B,C=∁U(A∪B)之一中,则这n个元素在集合A,B,C中,共有3n种;(6分)其中A为空集的种数为2n,B为空集的种数为2n,所以A,B均为非空子集的种数为3n-2×2n+1,(8分)又(A,B)与(B,A)为同一组“互斥子集”,所以f(n)=(3n-2n+1+1).(10分)
所以函数f(x)的单调增区间是(1,+∞).(4分)
(2)h(x)=+2x-,则h′(x)=2-=,令h′(x)=0得x=,
当0当x>时,h′(x)>0,函数h(x)在(,+∞)上单调增.所以min=h()=2-.(6分)①当(2-1)≥,即m≥时,函数y=h(h(x))的最小值h(2-)==,即17m-26+9=0,解得=1或=(舍),所以m=1;………8分)②当0<(2-1)<,即函数y=h(h(x))的最小值h=(2-1)=,解得=(舍).综上所述,m的值为1.(10分)(3)由题意知,kOA=+lnx,kOB=.考虑函数y=,因为y′=>0在上恒成立,所以函数y=在上单调增,故kOB∈.(12分)所以kOA∈,即≤+lnx≤e在上恒成立,即-x2lnx≤m≤x2(e-lnx)在上恒成立.设p(x)=-x2lnx,则p′(x)=-2xlnx≤0在上恒成立,所以p(x)在上单调减,所以m≥p(1)=.(14分)设q(x)=x2(e-lnx),则q′(x)=x(2e-1-2lnx)≥x(2e-1-2lne)>0在上恒成立,所以q(x)在上单调增,所以m≤q(1)=e.综上所述,m的取值范围为.(16分)附加题21.A.连结AN,DN.因为A为弧MN的中点,所以∠ANM=∠ADN.而∠NAB=∠NDB,所以∠ANM+∠NAB=∠ADN+∠NDB,即∠BCN=∠ADB.(5分)又因为∠ACN=3∠ADB,所以∠ACN+∠BCN=3∠ADB+∠ADB=180°,故∠ADB=45°.(10分)B.因为A===,所以解得所以A=.(5分)所以矩阵A的特征多项式为f(λ)==(λ-2)(λ-1)-6=λ2-3λ-4,令f(λ)=0,解得矩阵A的特征值为λ1=-1,λ2=4.(10分)C.以极点为原点,极轴为x轴正半轴,建立平面直角坐标系,则点A(2,)的直角坐标为(0,2),直线l的直角坐标方程为x+y=0.(4分)AB最短时,点B为直线x-y+2=0与直线l的交点,解得所以点B的直角坐标为(-1,1).(8分)所以点B的极坐标为(,π).(10分)D.因为a3+b3+c3=a2b2c2≥3,所以abc≥3,(5分)所以a+b+c≥3≥3,当且仅当a=b=c=时,取“=”.(10分)22.(1)因为直线y=n与x=-1垂直,所以MP为点P到直线x=-1的距离.连结PF,因为P为线段MF的中垂线与直线y=n的交点,所以MP=PF.所以点P的轨迹是抛物线.(2分)焦点为F(1,0),准线为x=-1.所以曲线E的方程为y2=4x.(5分)(2)由题意,过点M(-1,n)的切线斜率存在,设切线方程为y-n=k(x+1),联立得ky2-4y+4k+4n=0,所以Δ1=16-4k(4k+4n)=0,即k2+kn-1=0(*),(8分)因为Δ2=n2+4>0,所以方程(*)存在两个不等实根,设为k1k2,因为k1·k2=-1,所以∠AMB=90°,为定值.(10分)23.(1)f(2)=1,f(3)=6,(2分)f(4)=25.(4分)(2)解法一:设集合A中有k个元素,k=1,2,3,…,n-1.则与集合A互斥的非空子集有2n-k-1个.(6分)于是f(n)=C(2n-k-1)=[C-C-C=2n-2,所以f(n)==(3n-2n+1+1).(10分)解法二:任意一个元素只能在集合A,B,C=∁U(A∪B)之一中,则这n个元素在集合A,B,C中,共有3n种;(6分)其中A为空集的种数为2n,B为空集的种数为2n,所以A,B均为非空子集的种数为3n-2×2n+1,(8分)又(A,B)与(B,A)为同一组“互斥子集”,所以f(n)=(3n-2n+1+1).(10分)
当x>时,h′(x)>0,函数h(x)在(,+∞)上单调增.
所以min=h()=2-.(6分)
①当(2-1)≥,即m≥时,
函数y=h(h(x))的最小值h(2-)=
=,
即17m-26+9=0,解得=1或=(舍),所以m=1;………8分)
②当0<(2-1)<,即函数y=h(h(x))的最小值h=(2-1)=,解得=(舍).综上所述,m的值为1.(10分)(3)由题意知,kOA=+lnx,kOB=.考虑函数y=,因为y′=>0在上恒成立,所以函数y=在上单调增,故kOB∈.(12分)所以kOA∈,即≤+lnx≤e在上恒成立,即-x2lnx≤m≤x2(e-lnx)在上恒成立.设p(x)=-x2lnx,则p′(x)=-2xlnx≤0在上恒成立,所以p(x)在上单调减,所以m≥p(1)=.(14分)设q(x)=x2(e-lnx),则q′(x)=x(2e-1-2lnx)≥x(2e-1-2lne)>0在上恒成立,所以q(x)在上单调增,所以m≤q(1)=e.综上所述,m的取值范围为.(16分)附加题21.A.连结AN,DN.因为A为弧MN的中点,所以∠ANM=∠ADN.而∠NAB=∠NDB,所以∠ANM+∠NAB=∠ADN+∠NDB,即∠BCN=∠ADB.(5分)又因为∠ACN=3∠ADB,所以∠ACN+∠BCN=3∠ADB+∠ADB=180°,故∠ADB=45°.(10分)B.因为A===,所以解得所以A=.(5分)所以矩阵A的特征多项式为f(λ)==(λ-2)(λ-1)-6=λ2-3λ-4,令f(λ)=0,解得矩阵A的特征值为λ1=-1,λ2=4.(10分)C.以极点为原点,极轴为x轴正半轴,建立平面直角坐标系,则点A(2,)的直角坐标为(0,2),直线l的直角坐标方程为x+y=0.(4分)AB最短时,点B为直线x-y+2=0与直线l的交点,解得所以点B的直角坐标为(-1,1).(8分)所以点B的极坐标为(,π).(10分)D.因为a3+b3+c3=a2b2c2≥3,所以abc≥3,(5分)所以a+b+c≥3≥3,当且仅当a=b=c=时,取“=”.(10分)22.(1)因为直线y=n与x=-1垂直,所以MP为点P到直线x=-1的距离.连结PF,因为P为线段MF的中垂线与直线y=n的交点,所以MP=PF.所以点P的轨迹是抛物线.(2分)焦点为F(1,0),准线为x=-1.所以曲线E的方程为y2=4x.(5分)(2)由题意,过点M(-1,n)的切线斜率存在,设切线方程为y-n=k(x+1),联立得ky2-4y+4k+4n=0,所以Δ1=16-4k(4k+4n)=0,即k2+kn-1=0(*),(8分)因为Δ2=n2+4>0,所以方程(*)存在两个不等实根,设为k1k2,因为k1·k2=-1,所以∠AMB=90°,为定值.(10分)23.(1)f(2)=1,f(3)=6,(2分)f(4)=25.(4分)(2)解法一:设集合A中有k个元素,k=1,2,3,…,n-1.则与集合A互斥的非空子集有2n-k-1个.(6分)于是f(n)=C(2n-k-1)=[C-C-C=2n-2,所以f(n)==(3n-2n+1+1).(10分)解法二:任意一个元素只能在集合A,B,C=∁U(A∪B)之一中,则这n个元素在集合A,B,C中,共有3n种;(6分)其中A为空集的种数为2n,B为空集的种数为2n,所以A,B均为非空子集的种数为3n-2×2n+1,(8分)又(A,B)与(B,A)为同一组“互斥子集”,所以f(n)=(3n-2n+1+1).(10分)
函数y=h(h(x))的最小值h=(2-1)=,
解得=(舍).
综上所述,m的值为1.(10分)
(3)由题意知,kOA=+lnx,kOB=.
考虑函数y=,因为y′=>0在上恒成立,
所以函数y=在上单调增,故kOB∈.(12分)
所以kOA∈,即≤+lnx≤e在上恒成立,
即-x2lnx≤m≤x2(e-lnx)在上恒成立.
设p(x)=-x2lnx,则p′(x)=-2xlnx≤0在上恒成立,
所以p(x)在上单调减,所以m≥p
(1)=.(14分)
设q(x)=x2(e-lnx),
则q′(x)=x(2e-1-2lnx)≥x(2e-1-2lne)>0在上恒成立,
所以q(x)在上单调增,所以m≤q
(1)=e.
综上所述,m的取值范围为.(16分)
附加题
21.A.连结AN,DN.
因为A为弧MN的中点,
所以∠ANM=∠ADN.
而∠NAB=∠NDB,
所以∠ANM+∠NAB=∠ADN+∠NDB,
即∠BCN=∠ADB.(5分)
又因为∠ACN=3∠ADB,
所以∠ACN+∠BCN=3∠ADB+∠ADB=180°,
故∠ADB=45°.(10分)
B.因为A===,
所以解得
所以A=.(5分)
所以矩阵A的特征多项式为f(λ)==(λ-2)(λ-1)-6=λ2-3λ-4,
令f(λ)=0,解得矩阵A的特征值为λ1=-1,λ2=4.(10分)
C.以极点为原点,极轴为x轴正半轴,建立平面直角坐标系,
则点A(2,)的直角坐标为(0,2),直线l的直角坐标方程为x+y=0.(4分)
AB最短时,点B为直线x-y+2=0与直线l的交点,
解得所以点B的直角坐标为(-1,1).(8分)
所以点B的极坐标为(,π).(10分)
D.因为a3+b3+c3=a2b2c2≥3,
所以abc≥3,(5分)
所以a+b+c≥3≥3,
当且仅当a=b=c=时,取“=”.(10分)
22.
(1)因为直线y=n与x=-1垂直,所以MP为点P到直线x=-1的距离.
连结PF,因为P为线段MF的中垂线与直线y=n的交点,所以MP=PF.
所以点P的轨迹是抛物线.(2分)
焦点为F(1,0),准线为x=-1.
所以曲线E的方程为y2=4x.(5分)
(2)由题意,过点M(-1,n)的切线斜率存在,设切线方程为y-n=k(x+1),
联立得ky2-4y+4k+4n=0,
所以Δ1=16-4k(4k+4n)=0,即k2+kn-1=0(*),(8分)
因为Δ2=n2+4>0,所以方程(*)存在两个不等实根,设为k1k2,
因为k1·k2=-1,所以∠AMB=90°,为定值.(10分)
23.
(1)f
(2)=1,f(3)=6,(2分)
f(4)=25.(4分)
(2)解法一:
设集合A中有k个元素,k=1,2,3,…,n-1.
则与集合A互斥的非空子集有2n-k-1个.(6分)
于是f(n)=C(2n-k-1)=[C-C-C=2n-2,
所以f(n)==(3n-2n+1+1).(10分)
解法二:
任意一个元素只能在集合A,B,C=∁U(A∪B)之一中,
则这n个元素在集合A,B,C中,共有3n种;(6分)
其中A为空集的种数为2n,B为空集的种数为2n,
所以A,B均为非空子集的种数为3n-2×2n+1,(8分)
又(A,B)与(B,A)为同一组“互斥子集”,
所以f(n)=(3n-2n+1+1).(10分)
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