小升初几何图形部分(教师版)[1].doc

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小升初几何部分

1（05年101中学考题）

求下图中阴影部分的面积：

2（06年清华附中考题）

从一个长为8厘米，宽为7厘米，高为6厘米的长方体中截下一个最大的正方体，剩下的几何体的表面积是_________平方厘米.

3（06年三帆中学考试题）

有一个棱长为1米的立方体，沿长、宽、高分别切二刀、三刀、四刀后，成为60个小长方体（见左下图）.这60个小长方体的表面积总和是______平方米.

4（06年西城八中考题）

右上图中每个小圆的半径是1厘米，阴影部分的周长是_______厘米.（＝3.14）

5（05年首师附中考题）

一千个体积为1立方厘米的小正方体合在一起成为一个边长为10厘米的大正方体，大正方体表面涂油漆后再分开为原来的小正方体，这些小正方体至少有一面被油漆涂过的数目是多少个？

第二讲小升初专项训练几何篇（二】

1与圆和扇形有关的题型

【例1】（★★）如下图，等腰直角三角形ABC的腰为10厘米；以A为圆心，EF为圆弧，组成扇形AEF；阴影部分甲与乙的面积相等。

求扇形所在的圆面积。

【例2】（★★★）草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊（见左下图）。

问：

这只羊能够活动的范围有多大？

【例3】（★★）在右图中，两个四分之一圆弧的半径分别是2和4，求两个阴影部分的面积差。

【例4】（★★★）如图，ABCD是正方形，且FA=AD=DE=1，求阴影部分的面积。

（取π＝3）

【例5】（★★★）如下图，AB与CD是两条垂直的直径，圆O的半径为15厘米，

求不规则立体图形的表面积与体积

【例6】（★★）用棱长是1厘米的正方块拼成如下图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米？

【例7】（★★★）在边长为4厘米的正方体木块的每个面中心打一个边与正方体的边平行的洞．洞口是边长为1厘米的正方形，洞深1厘米（如下图）．

求挖洞后木块的表面积和体积．

【例8】（★★★）如图是一个边长为2厘米的正方体。

在正方体的上面的正中向下挖一个边长为1厘米的正方体小洞；接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为1/2厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相同，边长为1/4厘米。

那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？

3水位问题

【例9】（★★）一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），如下图．已知它的容积为26.4π立方厘米．当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米．瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米．问：

瓶内酒精的体积是多少立方厘米？

合多少升？

【例10】（★★）一个高为30厘米，底面为边长是10厘米的正方形的长方体水桶，其中装有容积的水，现在向桶中投入边长为2厘米2厘米3厘米的长方体石块，问需要投入多少块这种石块才能使水面恰与桶高相齐？

4计数问题

【例11】（★★★★）右图是由22个小正方体组成的立体图形，其中共有多少个大大小小的正方体？

由两个小正方体组成的长方体有多少个？

　　由两个小正方体组成的长方体，根据摆放的方向可分为下图所示的上下位、左右位、前后位三种，其中上下位有13个，左右位有13个，前后位有14个，共有13＋13＋14=40（个）。

【例12】有甲、乙、丙3种大小的正方体，棱长比是1：

2：

3。

如果用这三种正方体拼成尽量小的一个正方体，且每种都至少用一个，则最少需要这三种正方体共多少？

【解】：

设甲的棱长是1，则乙的棱长是2，丙的棱长是3。

一个甲种木块的体积是1*1*1=1；一个乙种木块的体积是2*2*2=8；一个丙种木块的体积是3*3*3=27。

3+2=5。

则这三种木块拼成的最小正方体的棱长是5。

体积是5*5*5=125。

需要丙种木块1块，乙种木块1+1*2+2*2=7块。

甲种木块的体积是27，乙种木块的体积是8*7=56。

125-27-56=42。

需要甲种木块42/1=42块。

1+7+42=50块。

5三维视图的问题

【例13】现有一个棱长为1cm的正方体，一个长宽为1cm高为2cm的长方体，三个长宽为1cm高为3cm的长方体。

下列图形是把这五个图形合并成某一立体图形时，从上面、前面、侧面所看到的图形。

试利用下面三个图形把合并成的立体图形（如例）的样子画出来，并求出其表面积。

　　例：

【解】：

立体图形的形状如下图所示。

（此题十分经典）

　　从上面和下面看到的形状面积都为9cm2，共18cm2；

　　从两个侧面看到的形状面积都为7cm2，共14cm2；

　　从前面和后面看到的形状面积都为6cm2，共12cm2；

　　隐藏着的面积有2cm2。

一共有18＋16＋12＋2＝48（cm2）。

6其他常考题型

【例14】（★★★）有两种不同形状的纸板，一种是正方形的，另一种是长方形的，正方形纸板的总数与长方形纸板的总数之比是1∶2.用这些纸板做成一些竖式和横式的无盖纸盒.正好将纸板用完.问在所做的纸盒中，竖式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是多少？

【解】：

由于纸盒无盖，所以一个竖式纸盒有一个正方形和4个长方形，一个横式纸盒有2个正方形和3个长方形，那么一个竖式纸盒和两个横式纸盒共有5个正方形和10个长方形，这时所用的正方形纸板与长方形纸板的比恰是1∶2，也就是说按照每做一个竖式纸盒，再做两个横式纸盒的比例做纸盒，就可以把两种不同形状的纸板用完.因此，在所做的纸盒中，竖式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是1∶2.

【例15】左下图是一个正方体，四边形APQC表示用平面截正方体的截面。

请在右下方的展开图中画出四边形APQC的四条边。

【解】：

把空间图形表面的线条画在平面展开图上，只要抓住四边形APQC四个顶点所在的位置这个关键，再进一步确定四边形的四条边所在的平面就可容易地画出。

（1）考虑到展开图上有六个顶点没有标出，可想象将展开图折成立体形，并在顶点上标出对应的符号，见左下图。

（2）根据四边形所在立体图形上的位置，确定其顶点所在的点和棱，以及四条边所在的平面：

　　顶点：

A—A，C—C，P在EF边上，Q在GF边上。

边AC在ABCD面上，AP在ABFE面上，QC在BCGF面上，PQ在EFGH面上。

　　（3）将上面确定的位置标在展开图上，并在对应平面上连线。

需要注意的是，立体图上的A，C点在展开图上有三个，B，D点在展开图上有二个，所以在标点连线时必须注意连线所在的平面。

连好线的图形如右上图

小结

本讲主要接触到以下几种典型题型：

1）与圆和扇形有关的题型。

参见例1，2，3，4，5

2）求不规则立体图形的表面积与体积。

参见例6，7，8

3）水位问题。

参见例9，10

4）计数问题。

参见例11，12

5）三维视图的问题。

参见例13

6）其他常考题型。

参见例14，15

【课外知识】

剪正方体

此题旨在培养同学们的空间想象力和动手能力

将一个正方体（图1）剪开可以展成一些不同的平面图形（图2）。

图1正方体

（1）    

（2）    （3）   （4）

                           图2正方体的平面展开图

其中的图2的

（1），

（2）都是“带状图”，好像是一条完整的削下来的苹果皮。

仔细观察

（1），

（2）两个图可以发现，图中的每个小正方形都有两个边与其它的正方形“共用”，除了两头的两个正方形以外。

再观察图（3）和图（4），由于这两个图中每个都有一个正方形（粉色）有两条以上的边（图（3）有3条，图（4）有4条）与周围的正方形“共用”。

所以图（3）和图（4）都不是“带状图”。

问题1：

运用你的空间想象力或者动手将图2的四个图折成正方体。

问题2：

除了图

（1）和图

（2）以外还有两个正方体的平面展开图也是“带状图”，你能找出来吗？

答案：

作业题

（注：

作业题--例题类型对照表，供参考）

题1，2，3，4—类型1；题5—类型4；题6，7—类型2；题8—类型6

1、（★★）如下图，求阴影部分的面积，其中OABC是正方形.

解：

10.26　　

＝9×3.14-18＝10.26。

2、（★★★）如下图所示，求阴影面积，图中是一个正六边形，面积为1040平方厘米，空白部分是6个半径为10厘米的小扇形。

解：

412平方厘米

所要求的阴影面积是用正六边形的面积减去六个小扇形面积正六边

可求得，需要知道半径和扇形弧的度数，由已知正六边形每边所对圆心角为60°，那么∠AOC＝120°，又知四边形ABCD是平行四边形，所以∠ABC＝120°，这样就得求出扇形的面积。

＝1040—628＝4１2（平方厘米）

3、（★★★）如右图，将直径AB为3的半圆绕A逆时针旋转60°，此时AB到达AC的位置，求阴影部分的面积（取π=3）.

解：

整个阴影部分被线段CD分为Ⅰ和Ⅱ两部分，以AB为直径的半圆被弦AD分成两部分，设其中AD右侧的部分面积为S，由于弓形AD是两个半圆的公共部分，去掉AD弓形后，两个半圆的剩余部分面积相等.即Ⅱ=S，由于：

　　Ⅰ+S=60°圆心角扇形ABC面积

4、（★★★）如下图，两个半径相等的圆相交，两圆的圆心相距正好等于半径，AB弦约等于17厘米，半径为10厘米，求阴影部分的面积。

解：

阴影部分由两个相等的弓形组成，我们只需要求出一个弓形面积，然后二倍就是要求的阴影面积了.由已知若分别连结AO1，AO2，BO1，BO2，O1O2，如图所示，就可以得到两个等边三角形（各边长等于半径），则∠AO2O1＝∠BO2O1＝60°，即∠AO2B＝120°。

这样就可以求出以O2为圆心的扇形AO1BO2的面积，然后再减去三角形AO2B的面积，就得到弓形面积，三角形AO2B的面积就是二分之一底乘高，底是弦AB，高是O1O2的一半。

5、（★★）2100个边长为1米的正方体堆成一个实心的长方体.它的高是10米，长、宽都是大于10（米）的整数，问长方体长宽之和是几米？

解：

长方体体积是2100立方米，高为10米，所以底面积为210平方米.

210=1×210=2×105=3×70＝5×42=6×35＝7×30=10×21=14×15.可见，长为15米，宽为14米，长宽之和是15+14=29米.

6、（★★）有一个正方体，边长是5.如果它的左上方截去一个边长分别是5、3、2的长方体（如下图），求它的表面积减少的百分比是多少？

解：

原立方体的表面积=5×5×6=150.减少的表面积是两块3×2长方形

7、（★★）如下图，在棱长为3的正方体中由上到下，由左到右，由前到后，有三个底面积是1的正方形高为3的长方体的洞，求所得形体的表面积是多少？

解：

没打洞之前正方体表面积共6×3×3=54，打洞后，表面积减少6又增加6×4（洞的表面积）.即所得形体的表面积是54-6＋24=72.

8、（★★★）现有一张长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮，请你用它做一只深是5厘米的长方体无盖铁皮盒（焊接处及铁皮厚度不计，容积越大越好），你做出铁皮盒容积是多少立方厘米？

解：

如图，可有如下三种情况比较后可知：

焊上

（1）30×10×5=1500立方厘米

（2）35×10×5=1750立方厘米

（3）20×20×5=2000立方厘米

最后一个容积最大。

小升初图形问题练习题

1、右图是一个直角等腰三角形,直角边长2厘米,图中阴影部分面积是

2

平方厘米.

2.三角形ABC是直角三角形,阴影部分①的面积比阴影部分②的面积小28平方厘米.AB长40厘米,BC长厘米.

C

②

①

A

B

3、ABC是等腰直角三角形.D是半圆周的中点,BC是半圆的直径,已知:

AB=BC=10,那么阴影部分的面积是多少?

（圆周率）

A

10

D

C

B

4.右图中的正方形的边长是2厘米,以圆弧为分界线的甲、乙两部分的面积差（大减小）是平方厘米.（取3.14）

2

甲

乙

5、已知正方形的边长为10，求图中阴影部分的面积是（）平方厘米。

（2002年）

6、下图中大长方形分别被分成面积为12㎝2，36㎝2，24㎝2，48㎝2，则图中阴影部分的面积（）㎝2

7、如图，△AEF与△BED的面积和是2平方厘米，AE=ED,BD=2DC,则△ABC的面积是（）平方厘米。

8、如图，梯形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，△AOB与△BOC的面积分别是25cm2和35cm2,梯形的面积是（）

9、如下图，正方形ABCD边长为lO厘米，BO长8厘米。

AE=____厘米。

10.E是平行四边形ABCD的CD边上的一点，BD、AE相交于点F，已知三角形AFD的面积是6，三角形DEF的面积是4，求四边形BCEF的面积为多少？

11、如图，有四个长方形的面积分别是1平方厘米、2平方厘米、3平方厘米和4平方厘米，组合成一个大的长方形，求图中阴影部分的面积。

12、如图，在面积为1的三角形ABC中，DC=3BD,F是AD的中点，延长CF交AB边于E,求三角形AEF和三角形CDF的面积之和。

13、如图，BD是梯形ABCD的一条对角线，线段AE与梯形的一条腰DC平行，AE与BD相交于O点.已知三角形BOE的面积比三角形AOD的面积大4平方米，并且EC=BC. 求梯形ABCD的面积.

14、如图，已知CD＝5，DE＝7，EF＝6，直线AB将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG的面积是____________

15、求下右图阴影部分的面积。

（单元：

厘米）

16、如图，已知F是平行四边形ABCD的边DC中点，若三角形EFC，ABE，AFD的面积分别为3平方厘米，4平方厘米，5平方厘米，平行四边形ABCD的面积是整数。

则三角形AEF的面积是多少平方厘米?

17、如下图,在长方形ABCD中,AD=3厘米,AE=AB.求阴影部分的面积.

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