小升初奥数几何图形.docx

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小升初奥数几何图形

辅导讲义

教学内容

一、能力培养

几何图形是数学里非常重要的知识，它主要包括长度、面积、体积等方面，也是升学、分班考试必考的内容（比较侧重于阴影部分的面积）。

今天我们重点来研究这一板块的计算问题。

我们已经掌握了几种基本图形的面积计算方法，我们先来复习一下。

正方形面积=边长×边长=对角线2÷2

长方形面积=长×宽

平行四边形面积=底×高

三角形面积=底×高÷2

梯形面积=（上底+下底）×高÷2

圆面积=半径2×π。

由两个甚至更多的基本图形组合在一起，就构成了一个组合图形。

要计算组合图形的面积，就要根据图形的关系，灵活运用平移、旋转、分割、拼接、等积变形等方法。

下面我们来看看具体的题目。

如果你都会做，你就无敌了。

例1：

基本图形的面积计算。

1、下图的梯形中，阴影部分的面积是150平方厘米，求梯形的面积。

2、已知平行四边形的面积是48平方厘米，求阴影部分的面积。

例2：

正方形和三角形之间的组合图形。

1、甲、乙分别是边长为6厘米和4厘米的正方形，求阴影部分面积。

2、甲、乙分别是边长为4厘米和3厘米的正方形，求阴影部分面积。

3、甲、乙分别是边长为8厘米和5厘米的正方形，求阴影部分面积。

例3：

已知图形间的面积关系，求解长度。

1、已知甲三角形的面积比乙三角形的面积大6平方厘米，求CE的长。

2、四边形ABCD是长为10厘米，宽6厘米的长方形，三角形ADE的面积比三角形CEF的面积大10平方厘米。

求CF的长。

3、平行四边形ABCD中，BC=10厘米。

直角三角形BCE的直角边EC=8厘米。

已知阴影部分的面积比三角形EFG的面积大10平方厘米。

求CF的长。

例4：

等积变形。

1、已知小正方形的边长是4厘米，求阴影部分的面积。

2、已知大正方形的边长是6分米，求阴影部分的面积。

3、三角形ABC的面积是30平方厘米，D是BC中点，AE的长度是ED的2倍，求阴影部分的面积。

4、已知中间小三角形的面积是5平方厘米，把三角形的三条边都向外延长，使得延长线段的长度与原来小三角形的对应边长都相等，求大三角形ABC的面积。

5、如图，长方形ABCD，三角形ABG的面积是20，三角形CDQ的面积是35，求阴影部分面积。

6、在梯形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，已知AO:

CO=1:

2，S△AOD=30，求梯形ABCD的面积。

例5：

用“排空法、平移旋转法、二次求差法”解决有关圆的组合图形。

1、求阴影部分的面积。

2、已知正方形的边长为10厘米，以边长为直径作半圆，求阴影部分的面积。

3、在长方形ABCD中，AB=6厘米，BC=4厘米，分别以AB、BC为半径作扇形，求阴影部分面积。

4、大正方形和小正方形的边长分别为4厘米和3厘米，求阴影部分面积。

例6：

圆。

1、已知四分之一圆的半径是10cm，其中有一个最大的正方形，求阴影部分的面积。

2、已知圆中有一个最大的正方形，正方形中又有一个最大的圆，求大圆和小圆的面积比。

3、根据对应数据，求阴影部分面积。

4、已知阴影部分的面积是40平方厘米，求圆环的面积。

经过了以上问题的训练，你应该有很多收获。

自己总结一下，以后再遇到这种求阴影部分面积的坑人题目，应该能应付得来了。

但还有一类图形类题目仍未解决，那就是立体图形。

我们已经学过的立体图形有长方体、正方体、圆柱和圆锥，常见的问题是求算它们的表面积和体积，当然还有一些另类的题目。

接下来，我们看看各地毕业、升学考试中出现过的立体图形题目。

例7：

立体图形。

1、下图中，不能围成一个正方体的是（）。

2、如图，一个正方体放在一个长方体上面，正方体棱长2厘米，长方体的长、宽、高分别为5厘米、5厘米、2厘米，求这个组合图形的表面积和体积。

3、一张长方形铁皮按图剪裁，正好能做成一个圆柱体，求这个圆柱体的体积。

4、将下面的直角三角形以AB为轴旋转一周，求所形成的立体图形的体积。

5、在正方体中，削出一个体积最大的圆柱，已知圆柱的侧面积是628平方厘米。

求正方体的表面积。

6、一只小蚂蚁在正方体的顶点A处，它要沿着正方体的表面爬到顶点H处觅食。

（1）请画出它爬行的最短路线。

（一条即可）

（2）最短路线有（）条。

二、能力点评

学法升华

一、知识收获

以上问题，你觉得哪些较为简单，哪些比较困难？

二、方法总结

求阴影部分面积常用的方法有哪些？

三、技巧提炼

最短路径怎么画？

课后作业

一、看图求面积。

1、已知甲部分的面积比乙部分的面积大57cm2，BC=20cm，

求AB的长度。

2、求阴影部分的面积。

3、平行四边形中有两个完全相同的正六边形，每个正六边形的面积是8cm2，求平行四边形的面积。

4、已知圆环的面积是25.12平方厘米，求阴影部分的面积。

小升初奥数应用题（由易及难）及答案

一条路长100米,从头到尾每隔10米栽1棵梧桐树,共栽多少棵树?

路分成100÷10=10段,共栽树10+1=11棵。

12棵柳树排成一排,在每两棵柳树中间种3棵桃树,共种多少棵桃树?

3×（12-1）=33棵。

一根200厘米长的木条,要锯成10厘米长的小段,需要锯几次?

200÷10=20段,20-1=19次。

蚂蚁爬树枝,每上一节需要10秒钟,从第一节爬到第13节需要多少分钟?

从第一节到第13节需10×（13-1）=120秒,120÷60=2分。

在花圃的周围方式菊花,每隔1米放1盆花。

花圃周围共20米长。

需放多少盆菊花?

20÷1×1=20盆

从发电厂到闹市区一共有250根电线杆,每相邻两根电线杆之间是30米。

从发电厂到闹市区有多远?

30×（250-1）=7470米。

王老师把月收入的一半又20元留做生活费,又把剩余钱的一半又50元储蓄起来,这时还剩40元给孩子交学费书本费。

他这个月收入多少元?

[（40+50）×2+20]×2=400（元）答:

他这个月收入400元。

一个人沿着大提走了全长的一半后,又走了剩下的一半,还剩下1千米,问:

大提全长多少千米?

1×2×2=4千米

甲在加工一批零件,第一天加工了这堆零件的一半又10个,第二天又加工了剩下的一半又10个,还剩下25个没有加工。

问:

这批零件有多少个?

（25+10）×2=70个,（70+10）×2=160个。

综合算式:

【（25+10）×2+10】×2=160个

一条毛毛虫由幼虫长到成虫,每天长一倍,16天能长到16厘米。

问它几天可以长到4厘米?

16÷2÷2=4（厘米）,16-1-1=14（天）

一桶水,第一次倒出一半,然后倒回桶里30千克,第二次倒出桶中剩下水的一半,第三次倒出180千克,桶中还剩下80千克。

桶里原来有水多少千克?

180+80=260（千克）,260×2-30=490（千克）,490×2=980（千克）。

甲、乙两书架共有图书200本,甲书架的图书数比乙书架的3倍少16本。

甲、乙两书架上各有图书多少本?

乙:

（200+16）÷（3+1）=54（本）;甲:

54×3-16=146（本）。

小燕买一套衣服用去185元,问上衣和裤子各多少元?

裤子:

（185-5）÷（2+1）=60（元）;上衣:

60×2+5=125（元）。

甲、乙、丙三人年龄之和是94岁,且甲的2倍比丙多5岁,乙2倍比丙多19岁,问:

甲、乙、丙三人各多大?

如果每个人的年龄都扩大到2倍,那么三人年龄的和是94×2=188。

如果甲再减少5岁,乙再减少19岁,那么三人的年龄的和是188-5-19=164（岁）,这时甲的年龄是丙的一半,即丙的年龄是甲的两倍。

同样,这时丙的年龄也是乙两倍。

所以这时甲、乙的年龄都是164÷（1+1+2）=41（岁）,即原来丙的年龄是41岁。

甲原来的年龄是（41+5）÷2=23（岁）,乙原来的年龄是（41+19）÷2=30（岁）。

小明、小华捉完鱼。

小明说:

“如果你把你捉的鱼给我1条,我的鱼就是你的2倍。

如果我给你1条,咱们就一样多了。

“请算出两个各捉了多少条鱼。

小明比小华多1×2=2（条）。

如果小华给小明1条鱼,那么小明比小华多2+1×2=4（条）,这时小华有鱼4÷（2-1）=4（条）。

原来小华有鱼4+1=5（条）,原来小明有鱼5+2=7（条）。

小芳去文具店买了13本语文书,8本算术书,共用去10元。

已知6本语文本的价钱与4本算术本的价钱相等。

问:

1本语文本、1本算术本各多少钱?

8÷4×6=12,即8本算术本与12本语文体价钱相等。

所以1本语文本值10×100÷（13+12）=40（分）,1本算术本值40×6÷4=60（分）,即1本语文本4角,1本算术本6角。

找规律,在括号内填入适当的数.75,3,74,3,73,3,（）,（）。

72,3。

找规律,在括号内填入适当的数.1,4,5,4,9,4,（）,（）。

奇数项构成数列1,5,9……,每一项比前一项多4;偶数项都是4,所以应填13,4

找规律,在括号内填入适当的数.3,2,6,2,12,2,（）,（）。

24,2。

找规律,在括号内填入适当的数.76,2,75,3,74,4,（）,（）。

将原数列拆分成两列,应填:

73,5。

找规律,在括号内填入适当的数.2,3,4,5,8,7,（）,（）。

将原数列拆分成两列,应填:

16,9。

找规律,在括号内填入适当的数.3,6,8,16,18,（）,（）。

6=3×2,16=8×2,即偶数项是它前面的奇数项的2倍;又8=6+2,18=16+2,即从第三项起,奇数项比它前面的偶数项多2.所以应填:

36,38。

找规律,在括号内填入适当的数.1,6,7,12,13,18,19,（）,（）。

将原数列拆分成两列,应填:

24,25。

找规律,在括号内填入适当的数.1,4,3,8,5,12,7,（）。

奇数项构成数列1,3,5,7,…,每一项比前一项多2;偶数项构成数列4,8,12,…,每一项比前一项多4,所以应填:

16。

找规律,在括号内填入适当的数.0,1,3,8,21,55,（）,（）。

144,377。

A、B、C、D四人在一场比赛中得了前4名。

已知D的名次不是最高,但它比B、C都高,而C的名次也不比B高。

问:

他们各是第几名?

D名次不是最高,但比B、C高,所以它是第2名,A是第1名。

C的名次不比B高,所以B是第3名,C是第4名。

一头象的重量等于4头牛的重量,一头牛的重量等于3匹小马的重量,一匹小马的重量等于3头小猪的重量。

问:

一头象的重量等于几头小猪的重量?

4×3×3=36,所以一头象的重量等于36头小猪的重量。

甲、乙、丙三人,一个人喜欢看足球,一个人喜欢看拳击,一个人喜欢看篮球。

已知甲不爱看篮球,丙既不喜欢看篮球又不喜欢看足球。

现有足球、拳击、篮球比赛的入场券各一张。

请根据他们的爱好,把票分给他们。

丙不喜欢看篮球与足球,应将拳击入场券给丙。

甲不喜欢看篮球,应将足球入场券给甲。

最后,应将篮球入场券给乙。

有一堆铁块和铜块,每块铁块重量完全一样,每块铜块的重量也完全一样。

3块铁快和5块铜块共重210克。

4块铁块和10块铜块共重380克。

问:

每一块铁块、每一块铜块各重多少?

4块铁块和10块铜块共重380克,所以2块铁块和5块铜块共重380÷2=190（克）。

而3块铁块和5块铜块共重210克,所以1块铁块重210-190=20（克）。

1铜块重（190-20×2）÷5=30（克）。

甲、乙、丙三人中有一人做了一件好事。

他们各自都说了一句话,而其中只有一句是真的。

甲说:

“是乙做的。

”乙说:

“不是我做的。

”丙说:

“也不是我做的。

”问:

到底是谁做的好事?

如果是甲做的好事,那么乙、丙的话都是真的,与只有一句是真的矛盾。

如果是乙做的好事,那么甲、丙的话都是真的,也产生矛盾。

好事是丙做的,这时甲、丙的话都是错的,只有乙的话是真的,所以好事是丙做的。

一张长8分米、宽3分米的长方形纸板,在四个角落上各截去一个边长为2分米的正方形,所剩下的部分的周长是多少?

答:

（8+3）×2=22（分米）

计算:

18+19+20+21+22+23

原式=（18+23）×6÷2=123

计算:

100+102+104+106+108+110+112+114

原式=（100+114）×8÷2=856

995+996+997+998+999

原式=（995+999）×5÷2=4985

（1999+1997+1995+…+13+11）-（12+14+16+…+1996+1998）

第一个括号内的项数为（1999-11）÷2+1=995,所以原式=（1999-1998）+（1997-1996）+…+（13-12）+11=1×994+11=1005

有7个数,它们的平均数是18。

去掉一个数后,剩下6个数的平均数是19;再去掉一个数后,剩下的5个数的平均数是20。

求去掉的两个数的乘积。

解:

7*18-6*19=126-114=12

6*19-5*20=114-100=14

去掉的两个数是12和14它们的乘积是12*14=168

有七个排成一列的数,它们的平均数是30,前三个数的平均数是28,后五个数的平均数是33。

求第三个数。

28×3+33×5-30×7=39。

有两组数,第一组9个数的和是63,第二组的平均数是11,两个组中所有数的平均数是8。

问:

第二组有多少个数?

设第二组有x个数,则63+11x=8×（9+x）,解得x=3

甲、乙两班进行越野行军比赛,甲班以4.5千米/时的速度走了路程的一半,又以5.5千米/时的速度走完了另一半;乙班在比赛过程中,一半时间以4.5千米/时的速度行进,另一半时间以5.5千米/时的速度行进。

问:

甲、乙两班谁将获胜?

快速行走的路程越长,所用时间越短。

甲班快、慢速行走的路程相同,乙班快速行走的路程比慢速行走的路程长,所以乙班获胜。

轮船从A城到B城需行3天,而从B城到A城需行4天。

从A城放一个无动力的木筏,它漂到B城需多少天?

轮船顺流用3天,逆流用4天,说明轮船在静水中行4-3=1（天）,等于水流3+4=7（天）,即船速是流速的7倍。

所以轮船顺流行3天的路程等于水流3+3×7=24（天）的路程,即木筏从A城漂到B城需24天。

小红和小强同时从家里出发相向而行。

小红每分走52米,小强每分走70米,二人在途中的A处相遇。

若小红提前4分出发,且速度不变,小强每分走90米,则两人仍在A处相遇。

小红和小强两人的家相距多少米?

解:

因为小红的速度不变,相遇地点不变,所以小红两次从出发到相遇的时间相同。

也就是说,小强第二次比第一次少走4分。

由（70×4）÷（90-70）=14（分）可知,小强第二次走了14分,

推知第一次走了18分,两人的家相距（52+70）×18=2196（米）。

小明和小军分别从甲、乙两地同时出发,相向而行。

若两人按原定速度前进,则4时相遇;若两人各自都比原定速度多1千米/时,则3时相遇。

甲、乙两地相距多少千米?

每时多走1千米,两人3时共多走6千米,这6千米相当于两人按原定速度1时走的距离。

所以甲、乙两地相距6×4=24（千米）

甲、乙两人沿400米环形跑道练习跑步,两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。

相遇后甲比原来速度增加2米/秒,乙比原来速度减少2米/秒,结果都用24秒同时回到原地。

求甲原来的速度。

因为相遇前后甲、乙两人的速度和不变,相遇后两人合跑一圈用24秒,所以相遇前两人合跑一圈也用24秒,即24秒时两人相遇。

设甲原来每秒跑x米,则相遇后每秒跑（x+2）米。

因为甲在相遇前后各跑了24秒,共跑400米,所以有24x+24（x+2）=400,解得x=7又1/3米。

甲、乙两车分别沿公路从A,B两站同时相向而行,已知甲车的速度是乙车的1.5倍,甲、乙两车到达途中C站的时刻分别为5:

00和16:

00,两车相遇是什么时刻?

9∶24。

解:

甲车到达C站时,乙车还需16-5=11（时）才能到达C站。

乙车行11时的路程,两车相遇需11÷（1+1.5）=4.4（时）=4时24分,所以相遇时刻是9∶24。

一列快车和一列慢车相向而行,快车的车长是280米,慢车的车长是385米。

坐在快车上的人看见慢车驶过的时间是11秒,那么坐在慢车上的人看见快车驶过的时间是多少秒?

解:

快车上的人看见慢车的速度与慢车上的人看见快车的速度相同,所以两车的车长比等于两车经过对方的时间比,故所求时间为11

甲、乙二人练习跑步,若甲让乙先跑10米,则甲跑5秒可追上乙;若乙比甲先跑2秒,则甲跑4秒能追上乙。

问:

两人每秒各跑多少米?

甲乙速度差为10/5=2；速度比为（4+2）:

4=6:

4；所以甲每秒跑6米,乙每秒跑4米。

在一条马路上,小明骑车与小光同向而行,小明骑车速度是小光速度的3倍,每隔10分有一辆公共汽车超过小光,每隔20分有一辆公共汽车超过小明。

已知公共汽车从始发站每次间隔同样的时间发一辆车,问:

相邻两车间隔几分?

解:

设车速为a,小光的速度为b,则小明骑车的速度为3b。

根据追及问题"追及时间×速度差=追及距离",可列方程10（a-b）=20（a-3b）,

解得a=5b,即车速是小光速度的5倍。

小光走10分相当于车行2分,由每隔10分有一辆车超过小光知,每隔8分发一辆车。

一只野兔逃出80步后猎狗才追它,野兔跑8步的路程猎狗只需跑3步,猎狗跑4步的时间兔子能跑9步。

猎狗至少要跑多少步才能追上野兔?

狗跑12步的路程等于兔跑32步的路程,狗跑12步的时间等于兔跑27步的时间。

所以兔每跑27步,狗追上5步（兔步）,狗要追上80步（兔步）需跑[27×（80÷5）+80]÷8×3=192（步）。

甲、乙两人在铁路旁边以同样的速度沿铁路方向相向而行,恰好有一列火车开来,整个火车经过甲身边用了18秒,2分后又用15秒从乙身边开过。

问:

（1）火车速度是甲的速度的几倍?

（2）火车经过乙身边后,甲、乙二人还需要多少时间才能相遇?

（1）设火车速度为a米/秒,行人速度为b米/秒,则由火车的是行人速度的11倍;

（2）从车尾经过甲到车尾经过乙,火车走了135秒,此段路程一人走需1350×11=1485（秒）,因为甲已经走了135秒,所以剩下的路程两人走还需（1485-135）÷2=675（秒）。

完成一件工作,需要甲干5天、乙干6天,或者甲干7天、乙干2天。

问:

甲、乙单独干这件工作各需多少天?

解:

甲需要（7*3-5）/2=8（天）

乙需要（6*7-2*5）/2=16（天）

小松读一本书,已读与未读的页数之比是3∶4,后来又读了33页,已读与未读的页数之比变为5∶3。

这本书共有多少页?

解:

开始读了3/7后来总共读了5/8

33/（5/8-3/7）=33/（11/56）=56*3=168页

一件工作甲做6时、乙做12时可完成,甲做8时、乙做6时也可以完成。

如果甲做3时后由乙接着做,那么还需多少时间才能完成?

解:

甲做2小时的等于乙做6小时的,所以乙单独做需要

6*3+12=30（小时）甲单独做需要10小时

因此乙还需要（1-3/10）/（1/30）=21天才可以完成。

有一批待加工的零件,甲单独做需4天,乙单独做需5天,如果两人合作,那么完成任务时甲比乙多做了20个零件。

这批零件共有多少个?

甲和乙的工作时间比为4:

5,所以工作效率比是5:

4

工作量的比也5:

4,把甲做的看作5份,乙做的看作4份

那么甲比乙多1份,就是20个。

因此9份就是180个

所以这批零件共180个

挖一条水渠,甲、乙两队合挖要6天完成。

甲队先挖3天,乙队接着

解:

根据条件,甲挖6天乙挖2天可挖这条水渠的3/5

所以乙挖4天能挖2/5

因此乙1天能挖1/10,即乙单独挖需要10天。

甲单独挖需要1/（1/6-1/10）=15天。

有一批工人完成某项工程,如果能增加8个人,则10天就能完成;如果能增加3个人,就要20天才能完成。

现在只能增加2个人,那么完成这项工程需要多少天?

解:

将1人1天完成的工作量称为1份。

调来3人与调来8人相比,10天少完成（8-3）×10=50（份）。

这50份还需调来3人干10天,所以原来有工人50÷10-3=2（人）,全部工程有（2+8）×10=100（份）。

调来2人需100÷（2+2）=25（天）。

观察下列各串数的规律,在括号中填入适当的数

2,5,11,23,47,（）,……

解:

括号内填95

规律:

数列里地每一项都等于它前面一项的2倍减1

在下面的数表中,上、下两行都是等差数列。

上、下对应的两个数字中,大数减小数的差最小是几?

解:

1000-1=999

997-995=992

每次减少7,999/7=12（5）

所以下面减上面最小是5

1333-1=13321332/7=190

（2）

所以上面减下面最小是2

因此这个差最小是2。

如果四位数6□□8能被73整除,那么商是多少?

解:

估计这个商的十位应该是8,看个位可以知道是6

因此这个商是86。

求各位数字都是7,并能被63整除的最小自然数。

解:

63=7*9

所以至少要9个7才行（因为各位数字之和必须是9的倍数）

将9009分解质因数

9009=3*3*7*11*13

能否用1,2,3,,5,6六个数码组成一个没有重复数字,且能被11整除的六位数?

为什么?

解:

不能。

因为1+2+3++5+6=21,如果能组成被11整除的六位数,那么奇数位的数字和与偶数位的数字和一个为16,一个为5,而最小的三个数字之和1+2+3=6>5,所以不可能组成。

有一个自然数,它的最小的两个约数之和是,最大的两个约数之和是100,求这个自然数。

解:

最小的两个约数是1和3,最大的两个约数一个是这个自然数本身,另一个是这个自然数除以3的商。

最大的约数与第二大

100以内约数个数最多的自然数有五个,它们分别是几?

解:

如果恰有一个质因数,那么约数最多的是26=6,有7个约数;

如果恰有两个不同质因数,那么约数最多的是23×32=72和25×3=96,各有12个约数;

如果恰有三个不同质因数,那么约数最多的是22×3×5=60,22×3×7=8和2×32×5=90,各有12个约数。

所以100以内约数最多的自然数是60,72,8,90和96。

写出三个小于20的自然数,使它们的最大公约数是1,但两两均不互质。

解:

6,10,15

有336个苹果、252个桔子、210个梨,用这些果品最多可分成多少份同样的礼物?

在每份礼物中,三样水果各多少?

解:

2份;每份有苹果8个,桔子6个,梨5个。

三个连续自然数的最小公倍数是168,求这三个数。

解:

6,7,8。

提示:

相邻两个自然数必互质,其最小公倍数就等于这两个数的乘积。

而相邻三个自然数,若其中只有一个偶数,则其最小公倍数等于这三个数的乘积;若其中有两个偶数,则其最小公倍数等于这三个数乘积的一半。