新版六年级数学奥数培训教材.doc
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第一讲新运算
一、知识要点
定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些算式的一种运算。
解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。
定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：
*、△、⊙等，这是与四则运算中的“＋、－、×、÷”不同的。
新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。
但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。
二、精讲精练
【例题1】假设a*b=（a+b）+（a-b），求13*5和13*（5*4）。
13*5=（13+5）+（13-5）=18+8=26
5*4=（5+4）+（5-4）=10
13*（5*4）=13*10=（13+10）+（13-10）=26
【思路导航】这题的新运算被定义为：
a*b等于a和b两数之和加上两数之差。
这里的“*”就代表一种新运算。
在定义新运算中同样规定了要先算小括号里的。
因此，在13*（5*4）中，就要先算小括号里的（5*4）。
练习1：
1.将新运算“*”定义为：
a*b=（a+b）×（a-b）.。
求27*9。
2.设a*b=a2+2b，那么求10*6和5*（2*8）。
3△（4△6）
＝3△【4×6－（4+6）÷2】
＝3△19
＝4×19－（3+19）÷2
＝76－11
＝65
3.设a*b=3a－b×1/2，求（25*12）*（10*5）。
【例题2】设p、q是两个数，规定：
p△q=4×q-（p+q）÷2。
求3△（4△6）。
【思路导航】根据定义先算4△6。
在这里“△”是新的运算符号。
练习2：
1．设p、q是两个数，规定p△q＝4×q－（p+q）÷2，求5△（6△4）。
2．设p、q是两个数，规定p△q＝p2+（p－q）×2。
求30△（5△3）。
3．设M、N是两个数，规定M*N＝M/N+N/M，求10*20－1/4。
【例题3】如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，4*2=4+44，那么7*4=________；210*2=________。
【思路导航】经过观察，可以发现本题的新运算“*”被定义为。
因此
7*4=7+77+777+7777=8638
210*2=210+210210=210420
练习3：
1．如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，……那么4*4=________。
2．规定，那么8*5=________。
3．如果2*1=1/2，3*2=1/33，4*3=1/444，那么（6*3）÷（2*6）=________。
A=（1/⑥－1/⑦）÷1/⑦
=（1/⑥－1/⑦）×⑦
=⑦/⑥－1
=（6×7×8）/（5×6×7）－1
=1又3/5－1
=3/5
【例题4】规定②=1×2×3，③=2×3×4，④=3×4×5，⑤=4×5×6，……如果1/⑥－1/⑦=1/⑦×A，那么，A是几？
【思路导航】这题的新运算被定义为：
@=（a－1）×a×（a＋1），据此，可以求出1/⑥－1/⑦=1/（5×6×7）－1/（6×7×8），这里的分母都比较大，不易直接求出结果。
根据1/⑥－1/⑦=1/⑦×A，可得出A=（1/⑥－1/⑦）÷1/⑦=（1/⑥－1/⑦）×⑦=⑦/⑥－1。
即
练习4：
1．规定：
②=1×2×3，③＝2×3×4，④＝3×4×5，⑤＝4×5×6，……如果1/⑧－1/⑨＝1/⑨×A，那么A=________。
2．规定：
③＝2×3×4，④＝3×4×5，⑤＝4×5×6，⑥＝5×6×7，……如果1/⑩+1/⑾＝1/⑾×□，那么□＝________。
3．如果1※2＝1+2，2※3＝2+3+4，……5※6＝5+6+7+8+9+10，那么x※3＝54中，x＝________。
4⊙1＝4×4-2×1+1/2×4×1＝16
x⊙16＝4x－2×16+1/2×x×16
＝12x－32
12x－32=34
12x=66
x＝5.5
【例题5】设a⊙b=4a－2b+1/2ab,求z⊙（4⊙1）＝34中的未知数x。
【思路导航】先求出小括号中的4⊙1=4×4-2×1+1/2×4×1＝16，再根据x⊙16＝4x－2×16+1/2×x×16=12x－32，然后解方程12x－32=34，求出x的值。
列算式为
练习5：
1．设a⊙b=3a－2b，已知x⊙（4⊙1）＝7求x。
2．对两个整数a和b定义新运算“△”：
a△b=，求6△4+9△8。
3．对任意两个整数x和y定于新运算，“*”：
x*y＝（其中m是一个确定的整数）。
如果1*2＝1，那么3*12＝________。
第二讲简便运算
（一）
一、知识要点
根据算式的结构和数的特征，灵活运用运算法则、定律、性质和某些公式，可以把一些较复杂的四则混合运算化繁为简，化难为易。
二、精讲精练
【例题1】计算4.75-9.63+（8.25-1.37）
【思路导航】先去掉小括号，使4.75和8.25相加凑整，再运用减法的性质：
a－b－c=a－（b＋c），使运算过程简便。
所以
原式＝4.75+8.25－9.63－1.37
＝13－（9.63+1.37）
＝13－11
＝2
练习1：
计算下面各题。
1．6.73－2又8/17+（3.27－1又9/17）
2.7又5/9－（3.8+1又5/9）－1又1/5
3.14.15－（7又7/8－6又17/20）－2.125
4.13又7/13－（4又1/4+3又7/13）－0.75
【例题2】计算333387又1/2×79+790×66661又1/4
【思路导航】可把分数化成小数后，利用积的变化规律和乘法分配律使计算简便。
所以：
原式＝333387.5×79+790×66661.25
＝33338.75×790+790×66661.25
＝（33338.75+66661.25）×790
＝100000×790
＝79000000
练习2：
计算下面各题：
1.3.5×1又1/4+125％+1又1/2÷4/5
2.975×0.25+9又3/4×76－9.75
3.9又2/5×425+4.25÷1/60
4.0.9999×0.7+0.1111×2.7
【例题3】计算：
36×1.09+1.2×67.3
【思路导航】此题表面看没有什么简便算法，仔细观察数的特征后可知：
36=1.2×30。
这样一转化，就可以运用乘法分配律了。
所以
原式＝1.2×30×1.09+1.2×67.3
＝1.2×（30×1.09+1.2×67.3）
＝1.2×（32.7+67.3）
＝1.2×100
＝120
练习3：
计算：
1.45×2.08+1.5×37.6
2.52×11.1+2.6×778
3.48×1.08+1.2×56.8
4.72×2.09－1.8×73.6
【例题4】计算：
3又3/5×25又2/5＋37.9×6又2/5
【思路导航】虽然3又3/5与6又2/5的和为10，但是与它们相乘的另一个因数不同，因此，我们不难想到把37.9分成25.4和12.5两部分。
当出现12.5×6.4时，我们又可以将6.4看成8×0.8，这样计算就简便多了。
所以
原式＝3又3/5×25又2/5＋（25.4+12.5）×6.4
＝3又3/5×25又2/5＋25.4×6.4＋12.5×6.4
＝（3.6+6.4）×25.4＋12.5×8×0.8
＝254＋80
＝334
练习4：
计算下面各题：
1．6.8×16.8＋19.3×3.2
2．139×137/138＋137×1/138
3．4.4×57.8＋45.3×5.6
【例题5】计算81.5×15.8＋81.5×51.8＋67.6×18.5
【思路导航】先分组提取公因数，再第二次提取公因数，使计算简便。
所以
原式＝81.5×（15.8＋51.8）＋67.6×18.5
＝81.5×67.6＋67.6×18.5
＝（81.5＋18.5）×67.6
＝100×67.6
＝6760
练习5：
1．53.5×35.3＋53.5×43.2＋78.5×46.5
2．235×12.1＋+235×42.2－135×54.3
3．3.75×735－3/8×5730＋16.2×62.5
第3讲简便运算
（二）
一、知识要点
计算过程中，我们先整体地分析算式的特点，然后进行一定的转化，创造条件运用乘法分配律来简算，这种思考方法在四则运算中用处很大。
二、精讲精练
【例题1】计算：
1234＋2341＋3412＋4123
【思路导航】整体观察全式，可以发现题中的4个四位数均由数1，2，3，4组成，且4个数字在每个数位上各出现一次，于是有
原式＝1×1111＋2×1111＋3×1111＋4×1111
＝（1＋2＋3＋4）×1111
＝10×1111
＝11110
练习1：
1．23456＋34562＋45623＋56234＋62345
2．45678＋56784＋67845＋78456＋84567
3．124.68＋324.68＋524.68＋724.68＋924.68
【例题2】计算：
2又4/5×23.4＋11.1×57.6＋6.54×28
【思路导航】我们可以先整体地分析算式的特点，然后进行一定的转化，创造条件运用乘法分配律来简算。
所以
原式＝2.8×23.4＋2.8×65.4＋11.1×8×7.2
＝2.8×（23.4＋65.4）＋88.8×7.2
＝2.8×88.8＋88.8×7.2
＝88.8×（2.8＋7.2）
＝88.8×10
＝888
练习2：
计算下面各题：
1．99999×77778＋33333×66666
2．34.5×76.5－345×6.42－123×1.45
3．77×13＋255×999＋510
【例题3】计算（1993×1994－1）/（1993＋1992×1994）
【思路导航】仔细观察分子、分母中各数的特点，就会发现分子中1993×1994可变形为1992＋1）×1994=1992×1994＋1994，同时发现1994－1=1993，这样就可以把原式转化成分子与分母相同，从而简化运算。
所以
原式＝【（1992＋1）×1994－1】/（1993＋1992×1994）
＝（1992×1994＋1994－1）/（1993＋1992×1994）
＝1
练习3：
计算下面各题：
1．（362＋548×361）/（362×548－186）
2．（1988＋1989×1987）/（1988×1989－1）
3．（204＋584×1991）/（1992×584―380）―1/143
【例题4】有一串数1，4，9，16，25，36…….它们是按一定的规律排列的，那么其中第2000个数与2001个数相差多少？
【思路导航】这串数中第2000个数是20002，而第2001个数是20012，它们相差：
20012－20002，即
20012－20002
＝2001×2000－20002＋2001
＝2000×（2001－2000）＋2001
＝2000＋2001
＝4001
练习4：
计算：
1．19912－199022．99992＋199993．999×274＋6274
【例题5】计算：
（9又2/7＋7又2/9）÷（5/7＋5/9）
【思路导航】在本题中，被除数提取公因数65，除数提取公因数5，再把1/7与1/9的和作为一个数来参与运算，会使计算简便得多。
原式＝（65/7＋65/9）÷（5/7＋5/9）
＝【65×（1/7＋1/9）】÷【5×（1/7＋1/9）】
＝65÷5
＝13
练习5：
计算下面各题：
1．（8/9＋1又3/7＋6/11）÷（3/11＋5/7＋4/9）
2．（3又7/11＋1又12/13）÷（1又5/11＋10/13）
3．（96又63/73＋36又24/25）÷（32又21/73＋12又8/25）
第4讲简便运算（三）
一、知识要点
在进行分数运算时，除了牢记运算定律、性质外，还要仔细审题，仔细观察运算符号和数字特点，合理地把参加运算的数拆开或者合并进行重新组合，使其变成符合运算定律的模式，以便于口算，从而简化运算。
二、精讲精练
【例题1】
计算：
（1）×37
（2）27×
（2）原式＝（26+1）×
＝26×+
＝15+
＝15
（1）原式＝（1－）×37
＝1×37－×37
＝37－
＝36
练习1
用简便方法计算下面各题：
1.×82.×1263.35×
4.73×5.×1999
【例题2】
计算：
73×
原式＝（72+）×
＝72×+×
＝9+
＝9
练习2
计算下面各题：
1.64×2.22×
3.×574.41×+51×
【例题3】
计算：
×27+×41
原式＝×9+×41
＝×（9+41）
＝×50
＝30
练习3
计算下面各题：
1.×39+×272.×35+×173.×5+×5+×10
【例题4】
计算：
×+×+×
原式＝×+×+×
＝（++）×
＝×
＝
练习4
计算下面各题：
1．×+×2.×+×+×
3．×79+50×+×4.×+×+×3
【例题5】
（2）原式＝1998÷
＝1998÷
＝1998×
＝
计算：
（1）166÷41
（2）1998÷1998
解：
（1）原式＝（164+2）÷41
＝164÷41+÷41
＝4+
＝4
练习5
计算下面各题：
1.54÷172.238÷2383.163÷41
第5讲简便运算（四）
一、知识要点
前面我们介绍了运用定律和性质以及数的特点进行巧算和简算的一些方法，下面再向同学们介绍怎样用拆分法（也叫裂项法、拆项法）进行分数的简便运算。
运用拆分法解题主要是使拆开后的一些分数互相抵消，达到简化运算的目的。
一般地，形如的分数可以拆成－；形如的分数可以拆成×（－），形如的分数可以拆成+等等。
同学们可以结合例题思考其中的规律。
二、精讲精练
【例题1】
计算：
+++…..+
原式＝（1－）+（－）+（－）+…..+（－）
＝1－+－+－+…..+－
＝1－
＝
练习1
计算下面各题：
1.+++…..+
2.++++
3.+++++
4.1－+++
【例题2】
计算：
+++…..+
原式＝（+++…..+）×
＝【（－）+（－）+（－）…..+（－）】×
＝【－】×
＝
练习2
计算下面各题：
1.+++…..+2.+++…..+
3.+++…..+4.++++
【例题3】
计算：
1－+－+－
原式＝1－（+）+（+）－（+）+（+）－（+）
＝1－－++－－++－－
＝1－
＝
练习3
计算下面各题：
1.1+－+－
2.1－+－+
3.++++
4.6×－×6+×6
【例题4】
计算：
+++++
原式＝（++++++）－
＝1－
＝
练习4
计算下面各题：
1.+++………+
2.++++
3.9.6+99.6+999.6+9999.6+99999.6
【例题5】
计算：
（1+++）×（+++）－（1++++）×（++）
设1+++＝a++＝b
原式＝a×（b+）－（a+）×b
＝ab+a－ab－b
＝（a－b）
＝
练习5
1.（+++）×（+++）－（++++）×（++）
2.（+++）×（+++）－（++++）×（++）
3.（1+++）×（+++）－（1++++）×（++）
第6讲转化单位“1”
（一）
一、知识要点
把不同的数量当作单位“1”，得到的分率可以在一定的条件下转化。
如果甲是乙的a/b，乙是丙的c/d，则甲是丙的ac/bd；如果甲是乙的a/b，则乙是甲的b/a；如果甲的a/b等于乙的c/d，则甲是乙的c/d÷a/b＝bc/ad，乙是甲的a/b÷a/b＝ad/bc。
二、精讲精练
【例题1】乙数是甲数的2/3，丙数是乙数的4/5，丙数是甲数的几分之几？
2/3×4/5＝8/15
练习1：
1．乙数是甲数的3/4，丙数是乙数的3/5，丙数是甲数的几分之几？
2．一根管子，第一次截去全长的1/4，第二次截去余下的1/2，两次共截去全长的几分之几？
3．一个旅客从甲城坐火车到乙城，火车行了全程的一半时旅客睡着了。
他醒来时，发现剩下的路程是他睡着前所行路程的1/4。
想一想，剩下的路程是全程的几分之几？
他睡着时火车行了全程的几分之几？
【例题2】修一条8000米的水渠，第一周修了全长的1/4，第二周修的相当于第一周的4/5，第二周修了多少米？
解一：
8000×1/4×4/5＝1600（米）
解二：
8000×（1/4×4/5）＝1600（米）
答：
第二周修了1600米。
练习2：
用两种方法解答下面各题：
1．一堆黄沙30吨，第一次用去总数的1/5，第二次用去的是第一次的1又1/4倍，第二次用去黄沙多少吨？
2．大象可活80年，马的寿命是大象的1/2，长颈鹿的寿命是马的7/8，长颈鹿可活多少年？
3．仓库里有化肥30吨，第一次取出总数的1/5，第二次取出余下的1/3，第二次取出多少吨？
【例题3】晶晶三天看完一本书，第一天看了全书的1/4，第二天看了余下的2/5，第二天比第一天多看了15页，这本书共有多少页？
解：
15÷【（1－1/4）×2/5－1/4】＝300（页）
答：
这本书有300页。
练习3：
1．有一批货物，第一天运了这批货物的1/4，第二天运的是第一天的3/5，还剩90吨没有运。
这批货物有多少吨？
2．修路队在一条公路上施工。
第一天修了这条公路的1/4，第二天修了余下的2/3，已知这两天共修路1200米，这条公路全长多少米？
3．加工一批零件，甲先加工了这批零件的2/5，接着乙加工了余下的4/9。
已知乙加工的个数比甲少200个，这批零件共有多少个？
【例题4】男生人数是女生人数的4/5，女生人数是男生人数的几分之几？
解：
把女生人数看作单位“1”。
1÷4/5＝5/4
把男生人数看作单位“1”。
5÷4＝5/4
练习4：
1．停车场里有小汽车的辆数是大汽车的3/4，大汽车的辆数是小汽车的几分之几？
2．如果山羊的只数是绵羊的6/7，那么绵羊的只数是山羊的几分之几？
3．如果花布的单价是白布的1又3/5倍，则白布的单价是花布的几分之几？
【例题5】甲数的1/3等于乙数的1/4，甲数是乙数的几分之几，乙数是甲数的几倍？
解：
1/4÷1/3＝3/41/3÷1/4＝1又1/3
答：
甲数是乙数的3/4，乙数是甲数的1又1/3。
练习5：
1．甲数的3/4于乙数的2/5，甲数是乙数的几分之几？
乙数是甲数的几分之几？
2．甲数的1又2/3倍等于乙数的5/6，甲数是乙数的几分之几？
乙数是甲乙两数和的几分之几？
3．甲数是丙数的3/4，乙数是丙数的2/5，甲数是乙数的几分之几？
乙数是甲数的几分之几？
（想一想：
这题与第一题有什么不同？
）
第7讲转化单位“1”
（二）
一、知识要点
我们必须重视转化训练。
通过转化训练，既可理解数量关系的实质，又可拓展我们的解题思路，提高我们的思维能力。
二、精讲精练
【例题1】甲数是乙数的2/3，乙数是丙数的3/4，甲、乙、丙的和是216，甲、乙、丙各是多少？
解法一：
把丙数看所单位“1”那么甲数就是丙数的3/4×2/3＝1/2，
丙：
216÷（1+3/4+3/4×2/3）＝96乙：
96×3/4＝72甲：
72×2/3＝48
解法二：
可将“乙数是丙数的3/4”转化成“丙数是乙数的4/3”，把乙数看作单位“1”。
乙：
216÷（2/3+1+4/3）＝72甲：
72×2/3＝48丙：
72÷3/4＝96
解法三：
将条件“甲数是乙数的2/3”转化为“乙数是甲数的3/2”，再将条件“乙数是丙数的3/4”转化为“丙数是乙数的4/3”，以甲数为单位“1”。
甲：
216÷（1+3/2+3/2×4/3）＝48乙：
48×3/2＝72丙：
72×4/3＝96
答：
甲数是48，乙数是72，丙数是96。
练习1：
下面各题怎样计算简便就怎样计算：
1．甲数是乙数的5/6，乙数是丙数的3/4，甲、乙、丙三个数的和是152，甲、乙、丙三个数各是多少？
2．橘子的千克数是苹果的2/3，香蕉的千克数是橘子的1/2，香蕉和苹果共有220千克，橘子有多少千克？
3．某中学的初中部三个年级中，初一的学生数是初二学生数的9/10，初二的学生数是初三学生数的1又1/4倍，这个学校里初三的学生数占初中部学生数的几分之几？
【例题2】红、黄、蓝气球共有62只，其中红气球的3/5等于黄气球的2/3，蓝气球有24只，红气球和黄气球各有多少只？
解法一：
将条件“红气球的3/5等于黄气球的2/3”转化为“黄气球的只数是红气球的（3/5÷2/3）＝9/10”。
先求红气球的只数，再求出黄气球的只数。
红气球：
（62－24）÷（1+3/5÷2/3）＝20（只）黄气球：
62－24－20＝18（只）
解法二：
将条件“红气球的3/5等于黄气球的2/3”转化为“红气球的只数是黄气球的（2/3÷3/5）＝10/9”。
先求黄气球的只数，再求出红气球的只数。
黄气球：
（62－24）÷（1+2/3÷3/5）＝18（只）红气球：
62－24－18＝20（只）
答：
红气球有20只，黄气球有18只。
练习2：
1．甲数的2/3等于乙数的5/6，甲、乙两数的和是162，甲、乙两数各是多少？
2．今年8月份，甲所得的奖金比乙少200元，甲得的奖金的2/3正好是乙得奖金的4/7，甲、乙两人各得奖金多少元？
3．商店运来香蕉、苹果和梨子共900千克，香蕉重量的1/4等于苹果重量的1/3，梨子的重量是200千克。
香蕉和苹果各多少千克？
【例题3】已知甲校学生数是乙校学生数的2/5，甲校的女生数是甲校学生数的3/10，乙校的男生数是乙校学生数的21/50，那么两校女生总数占两校学生总数的几分之几？
解法一：
把乙校学生数看作单位“1”。
【2/5×3/10+（1－21/50）】÷（1+2/5）＝1/2
解法二：
把甲校学生数看作单位“1”。
（5/2－5/2×2150+3/10）÷（1+5/2）＝1/2
答：
甲、乙两校女生总数占两校学生总数的1/2。
练习3：
1．在一座城市中，中学生数是居民的1/5，大学生是中学生数的1/4，那么占大学生总数的2/5的理工科大学生是居民数的几分之几？
2．某人在一次选举中，需3/4的选票才能当选，计算2/3的选票后，他得到的选票已达
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