高中数学必修五章末检测二 数列解析版附后.docx
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高中数学必修五章末检测二数列解析版附后
2018-2019高中数学必修五章末检测
（二） 数列（解析版附后）
时间：
120分钟 满分：
150分
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．在等差数列{an}中，a3＝－6，a7＝a5＋4，则a1等于（ ）
A．－10 B．－2
C．2D．10
2．在等比数列{an}中，a4，a12是方程x2＋3x＋1＝0的两根，则a8等于（ ）
A．1B．－1
C．±1D．不能确定
3．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n，那么它的通项公式an＝（ ）
A．nB．2n
C．2n＋1D．n＋1
4．若数列{an}满足an＝qn（q>0，n∈N*），则以下命题正确的是（ ）
①{a2n}是等比数列；②
是等比数列；
③{lgan}是等差数列；④{lga
}是等差数列．
A．①③B．③④
C．②③④D．①②③④
5．已知数列2，x，y,3为等差数列，数列2，m，n,3为等比数列，则x＋y＋mn的值为（ ）
A．16B．11
C．－11D．±11
6．已知Sn＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋（－1）n＋1·n，则S6＋S10＋S15等于（ ）
A．－5B．－1
C．0D．6
7．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a7＝4a
，a2＝2，则a1＝（ ）
A．1B.
C．2D.
8．设等差数列{an}的公差d不为0，a1＝9d.若ak是a1与a2k的等比中项，则k等于（ ）
A．2B．4
C．6D．8
9．计算机的成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低
，现在价格为8100元的计算机，9年后的价格可降为（ ）
A．900元B．1800元
C．2400元D．3600元
10．一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边数n等于（ ）
A．12B．16
C．9D．16或9
11．设{an}是公差为－2的等差数列，若a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，则a3＋a6＋a9＋…＋a99的值为（ ）
A．－78B．－82
C．－148D．－182
12．定义：
称
为n个正数p1，p2，…，pn的“均倒数”，若数列{an}的前n项的“均倒数”为
，则数列{an}的通项公式为（ ）
A．2n－1B．4n－1
C．4n－3D．4n－5
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上）
13．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，a5＝－2，a8＝16，则S6等于________．
14．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则a9＝________.
15．在等差数列{an}中，Sn为它的前n项和，若a1>0，S16>0，S17<0，则当n＝________时，Sn最大．
16．已知函数f（x）＝xa的图象过点（4,2），令an＝
，n∈N*.记数列{an}的前n项和为Sn，则S2016＝________.
三、解答题（本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（12分）在等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81.
（1）求an；
（2）设bn＝log3an，求数列{bn}的前n项和Sn.
18．（12分）已知等差数列{an}，a6＝5，a3＋a8＝5.
（1）求{an}的通项公式an；
（2）若数列{bn}满足bn＝a2n－1，求{bn}的通项公式bn.
19．（12分）已知等差数列{an}满足a1＋a2＝10，a4－a3＝2.
（1）求{an}的通项公式；
（2）设等比数列{bn}满足b2＝a3，b3＝a7.问：
b6与数列{an}的第几项相等？
20．（12分）已知等差数列{an}满足：
a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.
（1）求an及Sn；
（2）令bn＝
（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn.
21．（13分）设数列{an}的前n项和为Sn，其中an≠0，a1为常数，且－a1，Sn，an＋1成等差数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn＝1－Sn，问：
是否存在a1，使数列{bn}为等比数列？
若存在，求出a1的值；若不存在，请说明理由．
22．（13分）求和：
x＋3x2＋5x3＋…＋（2n－1）xn（x≠0）．
2018-2019高中数学必修五章末检测
（二） 数列（解析版）
时间：
120分钟 满分：
150分
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．在等差数列{an}中，a3＝－6，a7＝a5＋4，则a1等于（ ）
A．－10 B．－2
C．2D．10
解析：
设公差为d，∴a7－a5＝2d＝4，∴d＝2，又a3＝a1＋2d，∴－6＝a1＋4，∴a1＝－10.
答案：
A
2．在等比数列{an}中，a4，a12是方程x2＋3x＋1＝0的两根，则a8等于（ ）
A．1B．－1
C．±1D．不能确定
解析：
由题意得，a4＋a12＝－3<0，a4·a12＝1>0，
∴a4<0，a12<0，∴a8<0，
又∵a
＝a4·a12＝1，∴a8＝－1.
答案：
B
3．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n，那么它的通项公式an＝（ ）
A．nB．2n
C．2n＋1D．n＋1
解析：
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－[（n－1）2＋（n－1）]＝2n，当n＝1时，a1＝S1＝2，也满足上式，故数列{an}的通项公式为an＝2n.
答案：
B
4．若数列{an}满足an＝qn（q>0，n∈N*），则以下命题正确的是（ ）
①{a2n}是等比数列；②
是等比数列；
③{lgan}是等差数列；④{lga
}是等差数列．
A．①③B．③④
C．②③④D．①②③④
解析：
因为an＝qn（q>0，n∈N*），所以{an}是等比数列，因此{a2n}，
是等比数列，{lgan}，{lga
}是等差数列．
答案：
D
5．已知数列2，x，y,3为等差数列，数列2，m，n,3为等比数列，则x＋y＋mn的值为（ ）
A．16B．11
C．－11D．±11
解析：
根据等差中项和等比中项知x＋y＝5，mn＝6，所以x＋y＋mn＝11，故选B.
答案：
B
6．已知Sn＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋（－1）n＋1·n，则S6＋S10＋S15等于（ ）
A．－5B．－1
C．0D．6
解析：
由题意可得S6＝－3，S10＝－5，S15＝－7＋15＝8，所以S6＋S10＋S15＝0.
答案：
C
7．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a7＝4a
，a2＝2，则a1＝（ ）
A．1B.
C．2D.
解析：
设{an}的公比为q，则有a1q2·a1q6＝4a
q6，解得q＝2（舍去q＝－2），所以由a2＝a1q＝2，得a1＝1.故选A.
答案：
A
8．设等差数列{an}的公差d不为0，a1＝9d.若ak是a1与a2k的等比中项，则k等于（ ）
A．2B．4
C．6D．8
解析：
∵a
＝a1a2k，∴（8＋k）2d2＝9d（8＋2k）d，∴k＝4（舍去k＝－2）．
答案：
B
9．计算机的成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低
，现在价格为8100元的计算机，9年后的价格可降为（ ）
A．900元B．1800元
C．2400元D．3600元
解析：
把每次降价后的价格看做一个等比数列，首项为a1，公比为1－
＝
，则a4＝8100×
2＝2400.
答案：
C
10．一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边数n等于（ ）
A．12B．16
C．9D．16或9
解析：
由题意得，120°n＋
n（n－1）×5°＝180°（n－2），化简整理，得n2－25n＋144＝0，
解得n＝9或n＝16.当n＝16时，最大角为120°＋（16－1）×5°＝195°>180°，不合题意．∴n≠16.故选C.
答案：
C
11．设{an}是公差为－2的等差数列，若a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，则a3＋a6＋a9＋…＋a99的值为（ ）
A．－78B．－82
C．－148D．－182
解析：
∵a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，d＝－2，∴a3＋a6＋a9＋…＋a99＝（a1＋2d）＋（a4＋2d）＋（a7＋2d）＋…＋（a97＋2d）＝（a1＋a4＋a7＋…＋a97）＋33×2d＝50＋33×（－4）＝－82.
答案：
B
12．定义：
称
为n个正数p1，p2，…，pn的“均倒数”，若数列{an}的前n项的“均倒数”为
，则数列{an}的通项公式为（ ）
A．2n－1B．4n－1
C．4n－3D．4n－5
解析：
设数列{an}的前n项和为Sn，由已知得
＝
＝
，∴Sn＝n（2n－1）＝2n2－n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－n－[2（n－1）2－（n－1）]＝4n－3，当n＝1时，a1＝S1＝2×12－1＝1适合上式，∴an＝4n－3.
答案：
C
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上）
13．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，a5＝－2，a8＝16，则S6等于________．
解析：
∵{an}为等比数列，∴a8＝a5q3，∴q3＝
＝－8，∴q＝－2.又a5＝a1q4，∴a1＝
＝－
，∴S6＝
＝
＝
.
答案：
14．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则a9＝________.
解析：
设等差数列公差为d，则S3＝3a1＋
×d＝3a1＋3d＝3，a1＋d＝1，①
又S6＝6a1＋
×d＝6a1＋15d＝24，即2a1＋5d＝8.②
联立①②两式得a1＝－1，d＝2，故a9＝a1＋8d＝－1＋8×2＝15.
答案：
15
15．在等差数列{an}中，Sn为它的前n项和，若a1>0，S16>0，S17<0，则当n＝________时，Sn最大．
解析：
∵
，
∴a8>0，而a1>0，
∴数列{an}是一个前8项均为正，从第9项起为负值的等差数列，从而n＝8时，Sn最大．
答案：
8
16．已知函数f（x）＝xa的图象过点（4,2），令an＝
，n∈N*.记数列{an}的前n项和为Sn，则S2016＝________.
解析：
由f（4）＝2可得4α＝2，解得α＝
，
则f（x）＝x
.
∴an＝
＝
＝
－
，
S2016＝a1＋a2＋a3＋…＋a2016
＝（
－
）＋（
－
）＋（
－
）＋…＋（
－
）
＝
－1.
答案：
－1
三、解答题（本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（12分）在等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81.
（1）求an；
（2）设bn＝log3an，求数列{bn}的前n项和Sn.
解析：
（1）设{an}的公比为q，
依题意得
解得
因此an＝3n－1.
（2）因为bn＝log3an＝n－1，且为等差数列，
所以数列{bn}的前n项和Sn＝
＝
.
18．（12分）已知等差数列{an}，a6＝5，a3＋a8＝5.
（1）求{an}的通项公式an；
（2）若数列{bn}满足bn＝a2n－1，求{bn}的通项公式bn.
解析：
（1）设{an}的首项是a1，公差为d，
依题意得
∴
∴an＝5n－25（n∈N*）．
（2）∵an＝5n－25，
∴bn＝a2n－1＝5（2n－1）－25＝10n－30，
∴bn＝10n－30（n∈N*）．
19．（12分）已知等差数列{an}满足a1＋a2＝10，a4－a3＝2.
（1）求{an}的通项公式；
（2）设等比数列{bn}满足b2＝a3，b3＝a7.问：
b6与数列{an}的第几项相等？
解析：
（1）设等差数列{an}的公差为d.
因为a4－a3＝2，所以d＝2.
又因为a1＋a2＝10，所以2a1＋d＝10，故a1＝4.
所以an＝4＋2（n－1）＝2n＋2（n∈N*）．
（2）设等比数列{bn}的公比为q.
因为b2＝a3＝8，b3＝a7＝16，
所以q＝2，b1＝4.
所以b6＝4×26－1＝128.
由128＝2n＋2，得n＝63.
所以b6与数列{an}的第63项相等．
20．（12分）已知等差数列{an}满足：
a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.
（1）求an及Sn；
（2）令bn＝
（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn.
解析：
（1）设等差数列{an}的公差为d，
由题意，得
，解得
.
∴an＝a1＋（n－1）d＝3＋2（n－1）＝2n＋1.
Sn＝na1＋
n（n－1）d＝3n＋
n（n－1）×2＝n2＋2n.
（2）由
（1）知an＝2n＋1，
∴bn＝
＝
＝
·
＝
，
∴Tn＝
＝
＝
.
21．（13分）设数列{an}的前n项和为Sn，其中an≠0，a1为常数，且－a1，Sn，an＋1成等差数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn＝1－Sn，问：
是否存在a1，使数列{bn}为等比数列？
若存在，求出a1的值；若不存在，请说明理由．
解析：
（1）依题意，得2Sn＝an＋1－a1，
当n≥2时，有
两式相减，得an＋1＝3an（n≥2）．
又因为a2＝2S1＋a1＝3a1，an≠0，
所以数列{an}是首项为a1，公比为3的等比数列．
因此，an＝a1·3n－1（n∈N*）．
（2）因为Sn＝
＝
a1·3n－
a1，
bn＝1－Sn＝1＋
a1－
a1·3n.
要使{bn}为等比数列，当且仅当1＋
a1＝0，即a1＝－2，
所以存在a1＝－2，使数列{bn}为等比数列．
22．（13分）求和：
x＋3x2＋5x3＋…＋（2n－1）xn（x≠0）．
解析：
设Sn＝x＋3x2＋5x3＋…＋（2n－1）xn，
∴xSn＝x2＋3x3＋5x4＋…＋（2n－3）xn＋（2n－1）xn＋1.
∴（1－x）Sn＝x＋2x2＋2x3＋…＋2xn－（2n－1）xn＋1
＝2（x＋x2＋x3＋…＋xn）－x－（2n－1）xn＋1
＝2
－x－（2n－1）xn＋1（x≠1），
当x≠1时，1－x≠0，
Sn＝
－
.
当x＝1时，Sn＝1＋3＋5＋…＋（2n－1）＝
＝n2.
所以Sn＝
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