数学一 2Word文档下载推荐.docx

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1

习题十七解答

第一讲速算与巧算

（一）

一、凑十法：

同学们已经知道，下面的五组成对的数相加之和都等于10：

1+9=102+8=103+7=104+6=105+5=10

巧用这些结果，可以使计算又快又准。

例1计算1+2+3+4+5+6+7+8+9+10

对于这道题，当然可以从左往右逐步相加：

　　1+2=33+3=66+4=1010+5=15

　　15+6=2121+7=2828+8=3636+9=4545+10=55

这种逐步相加的方法，好处是可以得到每一步的结果，但缺点是麻烦、容易出错；

而且一步出错，以后步步都错。

若是利用凑十法，就能克服这种缺点。

二、凑整法

同学们还知道，有些数相加之和是整十、整百的数，如：

　　1+19=2011+9=302+18=2012+28=40

　　3+17=2013+37=504+16=2014+46=60

　　5+15=2015+55=706+14=2016+64=80

　　7+13=2017+73=908+12=2018+82=100

　　9+11=20

　　又如：

　　15+85=10014+86=10025+75=10024+76=100

　　35+65=10034+66=10045+55=10044+56=100等等

巧用这些结果，可以使那些较大的数相加又快又准。

像10、20、30、40、50、60、70、80、90、100等等这些整十、整百的数就是凑整的目标。

例2计算1+3+5+7+9+11+13+15+17+19

这是求1到19共10个单数之和，用凑整法做：

例3计算2+4+6+8+10+12+14+16+18+20

这是求2到20共10个双数之和，用凑整法做：

例4计算2+13+25+44+18+37+56+75

用凑整法：

三、用已知求未知

利用已经获得较简单的知识来解决面临的更复杂的难题这是人们认识事物的一般过程，凑十法、凑整法的实质就是这个道理，可见把这种认识规律用于计算方面，可使计算更快更准。

下面再举两个例子。

例5计算1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20

由例2和例3，已经知道从1开始的前10个单数之和以及从2开始的前10个双数之和，巧用这些结果计算这道题就容易了。

　　1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20

　　=（1+3+5+7+9+11+13+15+17+19）+（2+4+6+8+10+12+14+16+18+20）

　　=100+110（这步利用了例2和例3的结果）=210

例6计算5+6+7+8+9+10

可以利用前10个自然数之和等于55这一结果。

　　5+6+7+8+9+10

　　=（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）-（1+2+3+4）（熟练后，此步骤可省略）=55-10=45

四、改变运算顺序

在只有加减运算的算式中，有时改变加、减的运算顺序可使计算显得十分巧妙！

例7计算10-9+8-7+6-5+4-3+2-1

这题如果从左到右按顺序进行加减运算，是能够得出正确结果的。

但因为算式较长，多次加减又繁又慢且容易出错。

如果改变一下运算顺序，先减后加，就使运算显得非常“漂亮”。

下式括号中的算式表示先算，

　　10-9+8-7+6-5+4-3+2-1

　　=（10-9）+（8-7）+（6-5）+（4-3）+（2-1）=1+1+1+1+1=5

五、带着“+”、“-”号搬家

例8计算1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11

这题只有加减运算，而且1-2不够减。

我们可以采用带着加减号搬家的方法解决。

要注意每个数自己的符号就是这个数前面的那个“+”号或“-”号，搬家时要带着符号一起搬。

　　1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11

　　=1+3-2+5-4+7-6+9-8+11-10

　　=1+（3-2）+（5-4）+（7-6）+（9-8）+（11-10）[先减后加]

　　=1+1+1+1+1+1=6

在这道题的运算中，把“+3”搬到“-2”的前面，把“+5”搬到了“-4”的前面，……把“+11”搬到了“-10”的前面，这就叫带着符号搬家。

巧妙利用这种搬法，可以使计算简便。

习题一

1．计算：

13+14+15+16+17+25

2．计算：

2+3+4+5+15+16+17+18+20

3．计算：

21+22+23+24+25+26+27+28+29

4．计算：

5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20

5．计算：

22-20+18-16+14-12+10-8+6-4+2-0

6．计算：

10-20+30-40+50-60+70-80+90

7．计算：

（2+4+6+8+10）-（1+3+5+7+9）

8．计算：

（2+4+6+…+20）-（1+3+5+…+19）

9．计算：

（2+4+6+…+100）-（1+3+5+…+99）

习题一解答

1．解：

见下图：

2．解：

3．解：

4．解：

　　5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20

　　=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20-（1+2+3+4）

　　=210-10（利用例5的结果）=200

5．解：

　　22-20+18-16+14-12+10-8+6-4+2-0

　　=（22-20）+（18-16）+（14-12）+（10-8）+（6-4）+（2-0）

　　=2+2+2+2+2+2=12

6．解：

　　10-20+30-40+50-60+70-80+90

　　=10+30-20+50-40+70-60+90-80

　　=10+（30-20）+（50-40）+（70-60）+（90-80）

　　=10+10+10+10+10=50

7．解：

　　（2+4+6+8+10）-（1+3+5+7+9）

　　=（2-1）+（4-3）+（6-5）+（8-7）+（10-9）

　　=1+1+1+1+1=5

8．解：

　　（2+4+6+…+20）-（1+3+5+…+19）

=10

9．解：

　　（2+4+6+…+100）-（1+3+5+…+99）

=50

第二讲速算与巧算

（二）

例1哥哥和妹妹分糖。

哥哥拿1块，妹妹拿2块；

哥哥拿3块，妹妹拿4块；

接着哥哥拿5块、7块、9块、11块、13块、15块，妹妹拿6块、8块、10块、12块、14块、16块。

你说谁拿得多，多几块？

方法1：

先算哥哥共拿了多少块？

再算妹妹共拿了多少块？

72-64=8（块）

方法2：

这样想：

先算每次妹妹比哥哥多拿几块，再算共多拿了多少块。

　　（2-1）+（4-3）+（6-5）+（8-7）+（10-9）+（12-11）+（14-13）+（16-15）

　　=1+1+1+1+1+1+1+1=8（块）

　　可以看出方法2要比方法1巧妙！

平时注意积累，记住一些有趣的和重要的运算结果，非常有助于速算。

比如，请同学记住几个自然数相加之和：

　　1+2=3

　　1+2+3=6

　　1+2+3+4=10

　　1+2+3+4+5=15

　　1+2+3+4+5+6=21

　　1+2+3+4+5+6+7=28

　　1+2+3+4+5+6+7+8=36

　　1+2+3+4+5+6+7+8+9=45

　　1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55

例2星期天，小明家来了9名小客人。

小明拿出一包糖，里面有54块。

小明说：

“咱们一共10个人，每人都要分到糖，但每人分到的糖块数不能一样多，谁会分？

”结果大家都无法分，你能帮他们分好吗？

按小明提的要求确实无法分。

因为要使得每个人都得到糖，糖块数人人不等，需要糖块数最少的分法是：

第一人分到1块，第二人分到2块，…第十人分到10块。

但是，这种分法共需要有

　　1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55（块）

而小明这包糖一共才54块，所以按这种方法无法分。

如果改变一下，有一人少得1块糖，比如说，应该得10块糖的小朋友只分到了9块，但是这样一来，他就和另一个先分得9块糖的那个小朋友一样多了，这又不符合小明提出“每人分到的糖块数不能一样多”的要求。

（注意：

“按小明提的要求无法分”就是此题的答案。

在数学上“无解”也叫问题的答案。

）

例3时钟1点钟敲1下，2点钟敲2下，3点钟敲3下，……照这样敲下去，从1点到12点，这12个小时时钟共敲了几下？

这是一道美国小学奥林匹克试题，要求在3分钟内就要得出答案。

凑十法

如果能记住从1到10前十个自然数之和是55，计算会更快。

　　（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）+11+12

　　=55+11+12=78（下）

习题二

1．三个小朋友分5块糖。

要求每人都分到糖，但每人分到的糖块数不能一样多，你能分吗？

2．①把16只小鸡分别装进5个笼子里，每个笼子里都要有鸡，而且每个笼子里的鸡的只数也不能相同，如何分装？

②按同样要求，把15只小鸡装进5个笼子能办得到吗？

③按同样要求，把14只小鸡分装到5个笼子能办得到吗？

3．①把100块糖分给10个小朋友。

要求每人都分到单数块糖，而且每人分到糖块数都不一样，如何分？

②把99块糖按同样要求分给10个小朋友，你能分吗？

4．从1到20这20个数中，所有的双数之和与所有的单数之和的差是多少？

5．小方家的钟除了几点钟敲几下外，每半点钟也敲一下。

比如说，0点半敲1下，1点钟敲1下，1点半敲1下，2点敲2下，2点半敲1下，……照这样敲下去，从夜里0点开始，计到白天中午12点钟，在这12个小时之内时钟共敲了多少下？

习题二解答

1．答案是不能分。

所需糖块数最少的一种分法是：

第1个人分1块，第2个人分2块，第3个人分3块，这样三个人共需要有1+2+3=6（块），但总的糖块数只有5块，不够分。

如果第3个人也分得2块，这样糖是够分了，但是这样就有2个人分得糖块数一样多了，又不符合分糖的要求了。

2．①5只笼子装16只小鸡的装法是1，2，3，4，6。

　　1+2+3+4+6=16（只）

②5只笼子装15只小鸡的装法是1，2，3，4，5。

　　1+2+3+4+5=15（只）

③5只笼子装14只小鸡，要求每笼都有鸡，而且笼笼鸡数不等，无法分装。

3．①记住1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100立即可知100块糖按要求分给10个人的分法是：

各人所得糖块数分别为1，3，5，7，9，11，13，15，17，19。

②99块糖按要求分给10个小朋友无法分。

　　单数之和：

1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100

　　双数之和：

2+4+6+8+10+12+14+16+18+20=110

　　差：

110-100=10

改变运算顺序

　　（2+4+6+8+10+12+14+16+18+20）-（1+3+5+7+9+11+13+15+17+19）

=（2-1）+（4-3）+（6-5）+（8-7）+（10-9）+（12-11）+（14-13）+（16-15）+（18-17）+（20-19）

　　=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=10

先记录时钟敲的整点数和半点数如下：

　列算式求和，并改变运算顺序：

　　1+1+1+2+1+3+1+4十1+5+1+6+1+7+1+8+1+9+1+10+1+11+1+12

　　=（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12）+（1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1）

　　=78+12=90（下）

第三讲数数与计数

（一）

例1请你数一数，下图中共有多少个“×

”?

①分层数

②先按“实心”三角形计算，再减去“空白”三角形中“×

”的个数

　　（1+3+5+7+9+11+13+15+17）-（5+3+1）

例2下图所示的“塔”由4层没有缝隙的小立方块垒成，求塔中共有多少小立方块？

从顶层开始数，各层小立方块数是：

　第一层：

1块；

第二层：

3块；

　第三层：

6块；

第四层：

10块；

　总块数1+3+6+10=20（块）。

　从上往下数，第一层：

　第二层：

第一层的1块加第二层“看得见”的2块等于第二层的块数：

1+2=3块；

第二层的3块加第三层“看得见”的3块等于第三层的块数：

3+3=6块；

　第四层：

第三层的6块加第四层“看得见”的4块等于第四层的块数：

6+4=10块。

　总块数1+3+6+10=20（块）

例3右图是由小立方体码放起来的，其中有一些小立方体被压住看不见。

请你数一数共有多少小立方体？

从右往左数，并且编号

　　第一排：

第二排：

7块；

第三排：

5块；

　　第四排：

9块；

第五排：

16块；

　　总数：

1+7+5+9+16=38（块）。

例4数一数下面的立体图形的面数、棱数和顶点数各是多少？

面数：

4棱数：

6顶点数：

4面数：

5棱数：

8顶点数：

5

习题三

1．请你数一数，下图中共有多少×

？

2．如下图所示，一单层砖墙下雨时塌了一处，请你数一数，需要多少块砖才能把墙补好？

3．如右图所示是一个由小立方体构成的塔，请你数一数并计算出共有多少块。

4．如右图所示是由小立方体构成的“宝塔”，请你数一数共多少块？

5．右图所示是由小立方体堆起来的，请你数一数，共有多少小立方体？

6．数一数，下面的立体图形的面数、棱数和顶点数各是多少？

习题三解答

从最上边的一行往下数

假设“×

”填满整个长方形的图形，应该共有“×

”：

20×

8=160（个）。

“空白”三角形处应有“×

2+4+6+8=20（个）。

“空白”长方形处应有“×

”:

5×

4=20（个）。

实际上“×

”的总数是：

160-20-20=120（个）。

从下往上数，墙洞所缺少的砖块数是：

1+2+2+1+2+2=10（块）。

从上往下数，注意：

不要漏掉那些看不见的小立方体。

第一层：

第二层：

4块；

第三层：

第四层：

总数：

1+4+9+16=30（块）。

从上往下数

　　第一层：

25块；

1+9+25=35（块）。

由前往后数，并进行编号

8块；

5+6+8=19（块）。

图

（1）是六棱柱；

面数8，棱数18，顶点数12。

图

（2）是由两个四面体组成；

面数6，棱数9，顶点数5。

图（3）是五棱柱；

面数7，棱数15，顶点数10。

图（4）是由两个四棱锥和一个四棱柱组成；

面数12，棱数20，顶点数10。

第四讲数数与计数

（二）

数数与计数时，注意不应漏掉，不应重复。

如果漏掉了，要加上；

如果重复了，要减掉。

例1小朋友排队，小红前面4个人，后面3个人，问这队共有几个人？

这队的总人数要数上小红，所以是4+3+1=8（人）。

例2排好队，来报数，正着报数我报七，倒着报数我报九，一共多少小朋友？

见下图

正着报数“我”报了一次，倒着报数“我”又报了一次，所以把两次报数加起来时，“我被加了两次。

因此算这队的总人数时，应从两次报数之和减1。

　　7+9-1=15（人）。

也可以这样想：

正着报数报到我为止，倒着报数时，我就不报了，只报到我的后面相邻的那个人他应该报8，所以全队总人数是：

　　7+（9-1）=15（人）。

例3少先队员排成队去参观科技馆。

从排头数起刘平是第20个；

从排尾数起，张英是第23个。

已知刘平的前一个是张英。

问这队少先队员共有多少人？

画示意图，用点代表少先队员。

由图可见，从排头数起时，把张英和刘平数了一次。

由排尾数起时，又把刘平和张英数了一次，可见把他两人多数了一次，所以点总人数时，应减去多数的那一次才对。

　　20+23-2=41（人）。

例445个小朋友排成一队去春游。

从排头往后数，小刚是第19个；

从排尾往前数，小莉是第12个，问小刚和小莉中间有几个人？

画示意图。

用点“·

”代表人

由图可见，小刚和小莉中间的人数是：

45-（19+12）=14（人）。

例5一班同学做花，做红花的有38人，做黄花的有39人，没有做花的有3人。

如果全班55人，那么既做红花又做黄花的有多少人？

画图如下：

由图可见，做花的人：

55-3=52（人）。

图中阴影部分表示两色花都做的人：

38+39-52=25（人）。

习题四

1．学生排成一队，在小进的前面有6人，后面有8人，问这队共有多少人？

2．12辆汽车组成一列车队向前行进。

从前面数起，红色的小轿车是第7辆。

问从后面数它是第几辆？

3．游泳池里男生都戴蓝帽，女生都戴红帽。

池中一个男生小强边看边数，他看见蓝帽4个，红帽5个。

问池中男女生共多少人？

4．说稀奇、道稀奇，鸭子队里有只鸡。

正着数它第六，倒着数它第七。

请你帮助算一算，小鸭一共有几只？

5．一个小组的小学生共有5人，已知他们都做了语文作业或数学作业。

又知做完语文作业的有3人，做完数学作业的有4人。

问语文和数学作业都做完的有几人？

6．在100名学生中统计，有65人会骑自行车，有73人会游泳，有10人既不会骑自行车又不会游泳。

问既会骑自行车又会游泳的人有多少？

7．某班有学生45人，订阅《中国少年报》的有29人，订阅《小朋友》的有28人，其中两种都订阅的有16人，问两种刊物都没有订阅的人有多少？

习题四解答

1．解

由图可知：

总人数是6+8+1=15人。

数一数；

先画示意图如下，用●代表红色小轿车，用○代表其他车。

从后面往前数一数，红色小轿车是第6辆。

算一算；

这队车共有12辆，从前面往后数，红色小轿车是第7辆，所以红色小轿车前面有7-1=6辆车，因此从后面往前数，红色小轿车是第12-6=6辆。

画示意图如下：

因为男生小强边看边数时，没有看见自己的蓝帽，他把自己漏数了。

所以算总人数时，要把他加上，即4+5+1=10（人）。

画示意图，用○代表小鸭，用●代表小鸡。

由图可见，正数算上了小鸡，倒数也算上了小鸡。

这样两数之和6+7=13中，把小鸡计算了两次。

所以求小鸭的数目时就要减去两个小鸡。

6+7-2=11（只）。

两种作业都做完的人既算在了做完语文作业的3人中，又算在了做完数学作业的4人中，因此这部分人被多算了一次，（如图中阴影部分所示）所以两种作业都做完的人数是：

　　3+4-5=2（人）。

会骑车或是会游泳的总人数是100-10=90（人）。

两种都会的人数是65+73-90=48（人）。

（图中阴影部分所示）

因为至少订1份刊物的人：

28+29-16=41（人）。

两种刊物都没有订的人：

45-41=4（人）。

第五讲数数与计数（三）

例1小朋友，张开手，五个手指人人有。

手指之间几个“空”，请你仔细瞅一瞅？

（注）“瞅一瞅”就是“看一看”的意思。

见右图看一看、数一数可知：

5个手指间有4个“空”。

“空”又叫“间隔”，也就是，人的一只手有5个手指4个间隔。

例2小朋友在一段马路的一边种树。

每隔1米种一棵，共种了11棵，问这段马路有多长？

由图可见，这段马路的11棵树之间有10个“空”，也就是10个间隔。

每个间隔长1米，10个间隔长10米。

也就是说这段马路长10米。

像这类问题一般叫做“植树问题”。

可以得出一个公式：

当两头都种树时：

例3把一根粗细一样的木头锯成5段，需要4分钟。

①如果把这根木头锯成10段，需要几分钟？

②如果把这根木头锯成100段，需要几分钟？

画出示意图：

由图可见，把木头锯成5段，只需锯4次。

所以锯一次需1分钟。

　　①同样道理，把这根木头锯成10段，只需锯9次，所以需9分钟。

　　②同理，把这根木头锯成100段，只需锯99次，所以需99分钟。

例4鼓楼的钟打点报时，5点钟打5下需要4秒钟。

问中午12点时打12下需要几秒钟？

钟打一下用一个点代表，打5下画5个点。

由图可见，钟打5下中间有4个时间间隔，4个间隔是4秒钟，每个间隔就是1秒钟。

由此推理钟打12下时有12-1=11个时间间隔，故用11秒钟。

习题五

1．一队男生8人。

老师要求在2名男生中间插进1名女生，问可插进多少女生？

2．小冬用12张纸订成一个本子。

从头数起，每隔3纸夹进一片树叶，问这个本子内共放进多少片树叶？

3．在一条20米长的小路两旁种小松树，如果每隔5米种一棵，而且两头都种树，问这段小路上共种多少棵？

4．一根钢管长6米，每分钟锯下1米，几分钟锯完？

5．一根木头锯成4段，要付锯工费1元。

如果要把这根木头锯成13段，要付锯工费多少元？

6．小明与爸爸一同上楼。

小明上得快、爸爸上得慢，小明上2层，爸爸上1层。

问小明上到五楼时，爸爸上到几楼？

7．沿着跑道插着1