八年级(上)培优专题九：因式分解的常用方法.doc
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专题九因式分解的常用方法
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。
因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下：
一、提公因式法.
如多项式
其中m叫做这个多项式各项的公因式，m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．
二、运用公式法.
运用公式法，即用
三、分组分解法.
（一）分组后能直接提公因式
例1、分解因式：
分析：
从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
解：
原式=
=每组之间还有公因式！
=
思考：
此题还可以怎样分组？
此类型分组的关键：
分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提。
例2、分解因式：
解法一：
第一、二项为一组；解法二：
第一、四项为一组；
第三、四项为一组。
第二、三项为一组。
解：
原式=原式=
==
==
练习：
分解因式1、2、
（二）分组后能直接运用公式
例3、分解因式：
分析：
若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。
解：
原式=
=
=
例4、分解因式：
解：
原式=
=
=
注意这两个例题的区别！
练习：
分解因式3、4、
综合练习：
（1）
（2）
（3）（4）
（5）（6）
（7）（8）
（9）（10）
（11）（12）
四、十字相乘法.
（一）二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式——进行分解。
特点：
（1）二次项系数是1；
（2）常数项是两个数的乘积；
（3）一次项系数是常数项的两因数的和。
例5、分解因式：
分析：
将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=（-2）×（-3）=1×6=（-1）×（-6），从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。
12
解：
=13
=1×2+1×3=5
用此方法进行分解的关键：
将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例6、分解因式：
解：
原式=1-1
=1-6
（-1）+（-6）=-7
练习5、分解因式
（1）
（2）（3）
练习6、分解因式
（1）
（2）（3）
（二）二次项系数不为1的二次三项式——
条件：
（1）
（2）
（3）
分解结果：
=
例7、分解因式：
分析：
1-2
3-5
（-6）+（-5）=-11
解：
=
练习7、分解因式：
（1）
（2）
（3）（4）
（三）二次项系数为1的齐次多项式
例8、分解因式：
分析：
将看成常数，把原多项式看成关于的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
18b
1-16b
8b+（-16b）=-8b
解：
=
=
练习8、分解因式
（1）
（2）（3）
（四）二次项系数不为1的齐次多项式
例9、例10、
1-2y把看作一个整体1-1
2-3y1-2
（-3y）+（-4y）=-7y（-1）+（-2）=-3
解：
原式=解：
原式=
练习9、分解因式：
（1）
（2）
综合练习10、
（1）
（2）
（3）（4）
（5）（6）
（7）（8）
（9）（10）
思考：
分解因式：
3
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