122 三角形全等的判定讲义 教师版.docx

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122三角形全等的判定讲义教师版

.2三角形全等的判定

教学目标：

1、理解和掌握全等三角形判定方法1——“边边边”

2、理解和掌握全等三角形判定方法2——“边角边”．

3、理解和掌握全等三角形判定方法3——“角边角”，判定方法4——“角角边”；能运用它们判定两个三角形全等．

4、掌握判定直角三角形全等的一种特殊方法一“斜边、直角边”（即“HL”）

教学重难点：

判定全等的思路，及全等判定和性质的综合应用

知识点一：

“SSS”定理（重点）

判定定理1：

SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等．

例题．如图，EF=BC，DF=AC，DA=EB．求证：

∠F=∠C．

【分析】欲证明∠F=∠C，只要证明△ABC≌△DEF（SSS）即可；

【解答】证明：

∵DA=BE，

∴DE=AB，

在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF（SSS），

∴∠C=∠F．

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考基础题目．

变式1．已知：

如图，点A、D、C、B在同一条直线上，AD=BC，AE=BF，CE=DF，求证：

AE∥BF．

【分析】可证明△ACE≌△BDF，得出∠A=∠B，即可得出AE∥BF；

【解答】证明：

∵AD=BC，∴AC=BD，

在△ACE和△BDF中，

，

∴△ACE≌△BDF（SSS）

∴∠A=∠B，

∴AE∥BF；

【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质以及平行线的判定问题，关键是SSS证明△ACE≌△BDF．

变式2．如图，在△ABC中，AB=AC，D，E分别为两腰AB，AC的中点，F，G是BC边上的两点，且BF=CG，连结DG，EF，交点为H，求证：

HF=HG．

【分析】欲证明HF=HG，只要证明∠HGF=∠HFG．

【解答】证明：

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵D，E分别为两腰AB，AC的中点，

∴BD=CE，

∵BF=CG，

∴BG=CF，

∴△DBG≌△ECF，

∴∠DGB=∠EFC，

∴HF=HG．

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，准确寻找全等三角形解决问题，所以中考常考题型．

知识点二：

“SAS”定理（重点）

判定定理2：

SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．

例题．如图，点B，D，C，F在一条直线上，AB=EF，∠ABC=∠EFD，BD=CF．

证明：

AC=DE．

【分析】先求出BC=FD，再利用“边角边”证明△ABC和△EFD全等，然后根据全等三角形对应边相等证明即可．

【解答】证明：

∵BD=CF，

∴BD+CD=CF+CD，

即BC=FD，

在△ABC和△EFD中，

，

∴△ABC≌△EFD（SAS），

∴AC=DE．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，要注意条件BD=CF的应用．

变式1．如图，△ABC中，AB=AC，点E，F在边BC上，BE=CF，点D在AF的延长线上，AD=AC．

（1）求证：

△ABE≌△ACF；

（2）若∠BAE=30°，则∠ADC=　75　°．

【分析】

（1）要证明△ABE≌△ACF，由题意可得AB=AC，∠B=∠ACF，BE=CF，从而可以证明结论成立；

（2）根据

（1）中的结论和等腰三角形的性质可以求得∠ADC的度数．

【解答】

（1）证明：

∵AB=AC，

∴∠B=∠ACF，

在△ABE和△ACF中，

，

∴△ABE≌△ACF（SAS）；

（2）∵△ABE≌△ACF，∠BAE=30°，

∴∠BAE=∠CAF=30°，

∵AD=AC，

∴∠ADC=∠ACD，

∴∠ADC=

=75°，

故答案为：

75．

【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．

变式2．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB=AC，点E是BD上一点，且AE=AD，∠EAD=∠BAC．

（1）求证：

∠ABD=∠ACD；

（2）若∠ACB=65°，求∠BDC的度数．

【分析】

（1）根据全等三角形的判定和性质证明即可；

（2）利用三角形的外角性质和三角形的内角和解答即可．

【解答】证明：

（1）∵∠BAC=∠EAD

∴∠BAC﹣∠EAC=∠EAD﹣∠EAC

即：

∠BAE=∠CAD

在△ABE和△ACD中

∴△ABE≌△ACD

∴∠ABD=∠ACD

（2）∵∠BOC是△ABO和△DCO的外角

∴∠BOC=∠ABD+∠BAC，∠BOC=∠ACD+∠BDC

∴∠ABD+∠BAC=∠ACD+∠BDC

∵∠ABD=∠ACD

∴∠BAC=∠BDC

∵∠ACB=65°，AB=AC

∴∠ABC=∠ACB=65°

∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣65°﹣65°=50°

∴∠BDC=∠BAC=50°．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的判定和性质是解题的关键，也是本题的难点．

知识点三：

“ASA”定理（重难点）

判定定理3：

ASA--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．

例题．如图，在△ABC和△ADE中，AB=AD，∠B=∠D，∠1=∠2．

求证：

BC=DE．

【分析】根据ASA证明△ADE≌△ABC；

【解答】证明：

（1）∵∠1=∠2，

∵∠DAC+∠1=∠2+∠DAC

∴∠BAC=∠DAE，

在△ABC和△ADE中，

，

∴△ADE≌△ABC（ASA）

∴BC=DE，

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：

判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等

变式1．如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于O．求证：

AD与BE互相平分．

【分析】连接BD，AE，判定△ABC≌△DEF（ASA），可得AB=DE，依据AB∥DE，即可得出四边形ABDE是平行四边形，进而得到AD与BE互相平分．

【解答】证明：

如图，连接BD，AE，

∵FB=CE，

∴BC=EF，

又∵AB∥ED，AC∥FD，

∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE，

在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF（ASA），

∴AB=DE，

又∵AB∥DE，

∴四边形ABDE是平行四边形，

∴AD与BE互相平分．

【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，解决问题的关键是依据全等三角形的对应边相等得出结论．

变式2．如图，已知：

AD是BC上的中线，BE∥CF．求证：

DF=DE．

【分析】根据平行线性质得出∠FCD=∠EBD，由BD=DC，∠CDF=∠BDE，根据ASA推出△CDF≌△BDE，即可得出结论．

【解答】证明：

CF∥BE，

∴∠FCD=∠EBD，

∵AD是BC上的中线，

∴BD=DC，

在△CDF和△BDE中，

，

∴△CDF≌△BDE（ASA），

∴DF=DE．

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点，解题时注意：

全等三角形的对应角相等，对应边相等．

知识点四：

“AAS”定理（重难点）

判定定理4：

AAS--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．

例题．如图，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB，求证：

AD=CF．

【分析】根据平行线性质求出∠A=∠FCE，根据AAS推出△ADE≌△CFE即可．

【解答】证明：

∵FC∥AB，

∴∠A=∠FCE，

在△ADE和△CFE中

∴△ADE≌△CFE（AAS），

∴AD=CF．

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定和平行线的性质的应用，注意：

全等三角形的对应边相等．

变式1．如图所示，已知BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE、CF相交于点，BD=CD，连接AD并延长，求证：

AD平分∠BAC．

【分析】利用“角角边”证明△BFD和△CED全等，根据全等三角形对应边相等可得DF=DE，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可．

【解答】证明：

∵CF⊥AB，BE⊥AC，

∴∠BFD=∠CED=90°，

在△BFD和△CED中，

，

∴△BFD≌△CED（AAS），

∴DF=DE，

又∵CF⊥AB，BE⊥AC，

∴AD平分∠BAC．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．

变式2．如图，四边形ABCD中，DC∥AB，BD⊥AD，∠A=45°，E，F分别是AB、CD上的点，且BE=DF，连接EF交BD于O．

（1）求证：

BO=DO；

（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG=1时，求AE的长．

【分析】

（1）通过证明△ODF与△OBE全等即可求得．

（2）由△ADB是等腰直角三角形，得出∠A=45°，因为EF⊥AB，得出∠G=45°，所以△ODG与△DFG都是等腰直角三角形，从而求得DG的长和EF=2，然后解答即可求得．

【解答】

（1）证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴DC=AB，DC∥AB，

∴∠ODF=∠OBE，

在△ODF与△OBE中

，

∴△ODF≌△OBE（AAS）

∴BO=DO；

（2）∵BD⊥AD，

∴∠ADB=90°，

∵∠A=45°，

∴∠DBA=∠A=45°，

∵EF⊥AB，

∴∠G=∠A=45°，

∴△ODG是等腰直角三角形，

∵AB∥CD，EF⊥AB，

∴DF⊥OG，

∴OF=FG，△DFG是等腰直角三角形，

∵△ODF≌△OBE（AAS）

∴OE=OF，

∴GF=OF=OE=1，

即2FG=EF，

∵△DFG是等腰直角三角形，

∴DF=FG=1，

∴GE=OE+OF+FG=3，

∴AE=GE=3．

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行线的性质以及平行线分行段定理．

知识点五：

“HL”定理（重难点）

判定定理5：

HL--斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．

例题．如图所示，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．

求证：

Rt△ABE≌Rt△CBF．

【分析】在Rt△ABE和Rt△CBF中，由于AB=CB，AE=CF，利用HL可证Rt△ABE≌Rt△CBF．

【解答】证明：

在Rt△ABE和Rt△CBF中，

∵

，

∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）．

【点评】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握HL．

变式1．如图，AD⊥BC于D，AD=BD，AC=BE．

（1）请说明∠1=∠C；

（2）猜想并说明DE和DC有何特殊关系．

【分析】欲证∠1=∠C；DE和DC的关系，只需证明△DBE≌△DAC即可．

【解答】解：

（1）∵AD⊥BC于D，

∴∠BDE=∠ADC=90°．

∵AD=BD，AC=BE，

∴△BDE≌△ADC（HL）．

∴∠1=∠C．

（2）由

（1）知△BDE≌△ADC．

∴DE=DC．

【点评】本题考查了直角三角形全等的判定及性质；三角形全等的判定和性质是中考的热点，HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．

变式2．如图，AB=AC，∠BAC=90°，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，且BD＞CE．

求证：

BD=EC+ED．

【分析】由题中AB=AC，以及AB和AC所在三角形为直角三角形，可以判断出应证明△ABD≌△CAE．

【解答】证明：

∵∠BAC=90°，CE⊥AE，BD⊥AE，

∴∠ABD+∠BAD=90°，∠BAD+∠DAC=90°，∠ADB=∠AEC=90°．

∴∠ABD=∠DAC．

∵在△ABD和△CAE中

，

∴△ABD≌△CAE（AAS）．

∴BD=AE，EC=AD．

∵AE=AD+DE，

∴BD=EC+ED．

【点评】本题考查三角形全等的判定方法和性质，判定两个三角形全等的一般方法有：

SSS、SAS、ASA、AAS、HL．得到∠ABD=∠DAC是正确解答本题的关键．

拓展点一：

判定三角形全等的思路

方法指引：

全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．

例题．如图，已知：

∠B=∠DEF，BC=EF，现要证明△ABC≌△DEF，

若要以“SAS”为依据，还缺条件　AB=DE　；

若要以“ASA”为依据，还缺条件　∠ACB=∠DFE　；

若要以“AAS”为依据，还缺条件　∠A=∠D　，并说明理由．

【分析】由于已知一组对应角相等，一组对应边相等，若利用SAS证全等，那么所需的另一边应该是已知角的夹边相等；若利用ASA证全等，则所需的另一角是以已知边为边的另一个角相等；若利用AAS证全等，所需的另一角是已知边的对角相等．

【解答】解：

AB=DE，∠ACB=∠DFE，∠A=∠D．

①若添加条件是AB=DE，利用SAS可证两个三角形全等；

②若添加条件是∠ACB=∠DFE，利用ASA可证两个三角形全等；

③若添加条件是∠A=∠D，利用AAS可证两个三角形全等；

故分别填AB=DE，∠ACB=∠DFE，∠A=∠D．

【点评】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．

变式1．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为BC中点，且AE=CF．求证：

△AED≌△CFD．

【分析】根据题目中的条件可以得到AD和CD的关系，∠EAD的度数，从而可以证明结论．

【解答】证明：

∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为BC中点，

∴AD=

=BD=CD，∠EAD=∠FCD=45°，

在△AED和△CFD中，

，

∴△AED≌△CFD（SAS）．

【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是明确题意，找出所证结论需要的条件．

变式2．已知：

如图，AC=EC，E、A、D在同一条直线上，∠1=∠2=∠3．试说明：

△ABC≌△EDC．

【分析】根据∠1=∠2可得∠ACB=∠ECD，再由∠1=∠3，对顶角∠4=∠5，根据三角形内角和可得∠B=∠D，然后再利用AAS判定△ABC≌△EDC．

【解答】证明：

∵∠1=∠2，

∴∠1+∠ACD=∠2+∠ACD，

∴∠ACB=∠ECD，

∵∠1=∠3，∠4=∠5，

∴∠B=∠D，

在△ABC和△CDE中，

，

∴△ABC≌△EDC（AAS）．

【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．

变式3．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是AB的中点，连接CD，过B作BE⊥CD交CD的延长线于点E，连接AE，过A作AF⊥AE交CD于点F．

（1）求证：

AE=AF；

（2）求证：

CD=2BE+DE．

【分析】

（1）通过证△AEB≌△AFC（SAS），得到AE=AF；

（2）如图，过点A作AG⊥EC，垂足为G，通过证△BED≌△AGD（AAS），得到ED=GD，BE=AG，易证CF=BE=AG=GF．因为CD=DG+GF+FC，所以CD=DE+BE+BE，故CD=2BE+DE．

【解答】证明：

（1）如图，∵∠BAC=90°，AF⊥AE，

∴∠EAB+∠BAF=∠BAF+∠FAC=90°，

∴∠EAB=∠FAC，

∵BE⊥CD，

∴∠BEC=90°，

∴∠EBD+∠EDB=∠ADC+∠ACD=90°，

∵∠EDB=∠ADC，

∴∠EBA=∠ACF，

∴在△AEB与△AFC中，

，

∴△AEB≌△AFC（ASA），

∴AE=AF；

（2）如图，过点A作AG⊥EC，垂足为G．

∵AG⊥EC，BE⊥CE，

∴∠BED=∠AGD=90°，

∵点D是AB的中点，

∴BD=AD．

∴在△BED与△AGD中，

，

∴△BED≌△AGD（AAS），

∴ED=GD，BE=AG，

∵AE=AF

∴∠AEF=∠AFE=45°

∴∠FAG=45°

∴∠GAF=∠GFA，

∴GA=GF，

∴CF=BE=AG=GF，

∵CD=DG+GF+FC，

∴CD=DE+BE+BE，

∴CD=2BE+DE．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．

拓展点二：

全等三角形性质与判断的综合应用

（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．

（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．

例题．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB=AC，点E是BD上一点，且AE=AD，∠EAD=∠BAC．

（1）求证：

∠ABD=∠ACD；

（2）若∠ACB=65°，求∠BDC的度数．

【分析】

（1）根据全等三角形的判定和性质证明即可；

（2）利用三角形的外角性质和三角形的内角和解答即可．

【解答】证明：

（1）∵∠BAC=∠EAD

∴∠BAC﹣∠EAC=∠EAD﹣∠EAC

即：

∠BAE=∠CAD

在△ABE和△ACD中

∴△ABE≌△ACD

∴∠ABD=∠ACD

（2）∵∠BOC是△ABO和△DCO的外角

∴∠BOC=∠ABD+∠BAC，∠BOC=∠ACD+∠BDC

∴∠ABD+∠BAC=∠ACD+∠BDC

∵∠ABD=∠ACD

∴∠BAC=∠BDC

∵∠ACB=65°，AB=AC

∴∠ABC=∠ACB=65°

∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣65°﹣65°=50°

∴∠BDC=∠BAC=50°．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的判定和性质是解题的关键，也是本题的难点．

变式1．如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC．

（1）证明：

BC=DE；

（2）若AC=12，CE经过点D，求四边形ABCD的面积．

【分析】

（1）求出∠BAC=∠EAD，根据SAS推出△ABC≌△ADE，利用全等三角形的性质证明即可；

（2）由△ABC≌△ADE，推出四边形ABCD的面积=三角形ACE的面积，即可得出答案；

【解答】

（1）解：

∵∠BAD=∠CAE=90°，

∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD，

∴∠BAC=∠EAD．

在△ABC和△ADE中，

∴△ABC≌△ADE（SAS）．

∴BC=DE

（2）∵△ABC≌△ADE，

∴S△ABC=S△ADE，

∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=S△ADE+S△ACD=S△ACE=

×122=72．

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，并利用割补法求四边形ABCD的面积是解此题的关键，难度适中．

变式2．已知：

如图1所示，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN经过点A，BD⊥MN于点D，CE⊥MN于点E．

（1）试判断线段DE、BD、CE之间的数量关系，并说明理由；

（2）当直线MN运动到如图2所示位置时，其余条件不变，判断线段DE、BD、CE之间的数量关系．

【分析】

（1）由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根据AAS可证明△ADC≌△CEB（AAS），依据全等三角形的性质可得到AD=CE，CD=BE，然后由ED=DC+CE可得到问题的答案；

（2）与

（1）证法类似可证出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，最后由CE=CD+DE可得到问题的答案．

【解答】解：

（1）DE=BD+CE，理由如下：

∵BD⊥MN，CE⊥MN，

∴∠BDA=∠AEC=90°，

∴∠BAD+∠ABD=90°，

又∵∠BAC=90°，

∴∠BAD+∠CAE=90°，

∴∠ABD=∠CAE，

在△BAD和△ACE中

∴△BAD≌△ACE（AAS），

∴BD=AE，AD=CE，

又DE=AE+AD，

∴DE=BD+CE；

（2）DE=CE﹣BD，

同

（1）可得△BAD≌△ACE，

故BD=AE，AD=CE，

又DE=AD﹣AE，

∴DE=CE﹣BD．

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键．

拓展点三：

全等三角形的计数问题

例题．如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，CD、BE分别是∠ACB，∠ABC的平分线，CD、BE相交于F点，连接DE，则图中全等的三角形有多少组（　　）

A．3B．4C．5D．6

【分析】首先根据已知条件，看能得出哪些边和角相等，然后再根据全等三角形的判定方法来判断有多少对全等三角形．

【解答】解：

∵AB=AC，∠A=36°，

∴∠ABC=∠ACB=72°；

∵CD、BE分别平分∠ABC、∠ACB，

∴∠ABE=∠ACD=∠EBC=∠DCB=36°；

又∵AB=AC，∠A=∠A；

∴△ABE≌△ACD；（ASA）①

∴BE=CD；

又∵BC=BC，∠DCB=∠EBC=36°，

∴△DBC≌△ECB；（SAS）②

∵DE∥BC，

∴∠EDF=∠DEF=36°，

又∵∠DBE=∠ECD=36°，DE=DE，

∴△DEB≌△EDC；（AAS）③

由②得：

DB=EC，∠BDC=∠CEB；

又∵∠DFB=∠EFC，

∴△BFD≌△CFE．（AAS）④

∵△ABC中，∠A=36°，AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=

=72°，

∵BE是∠ABC的平分线，CD是∠ACB的平分线，

∴∠EBC=∠DBE=36°，

∵∠ACB=72°，

∴BE=BC，

∵BC∥DE，

∴∠DEB=∠EBC=36°，

∴△BCF≌△BED，

同理可得，△BCF≌△DCE．

所以本题的全等三角形共6组；

故选：

D．

【点评】此题主要考查的是全等三角形的判定方法．做题时根据已知条件，结合全等的判定方法逐一验证，由易到难，不重不漏．

变式1．如图，在△ABC中，AB=AC，高BD，CE交于点O，AO交BC于点F，则图中共有全等三角形（　　）

A．7对B．6对C．5对D．4对

【分析】在△ABC中，AB=AC则三角形是等腰三角形，做题时要从已知条件开始结合图形利用全等的判定方法由易到难逐个寻找．

【解答】解：

∵AB=AC，BD，CE分别是三角形的高，

∴∠AEC=∠ADB=90°，

∴∠ABD=∠ACE，

∴Rt△ABD≌Rt△ACE，

∴CE=BD，

又AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

又∠ABD=∠ACE，