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第一讲：
巧算之一—多位数乘法的珠心算
【例题讲解】
例1:
76×7431×39
例2：
78×3843×63
例3：
702×7081708×1792
【课堂练习】
1.68×62
2.93
×97
3.27×874.79×39
5.42×626.603×607
7.292×2988.705×795
第二：
巧算之二—等差数列
【例解】
例1:
1+2+3+4+⋯⋯+49+50
例2：
有一个等差数列：
2、5、8、11⋯⋯101，个等差数列共有
多少
例3：
一等差数列，首=3，公差=2，数=10，它的末是多少
例4：
1+3+5+7+9+⋯+99
【堂】
1.6+7+8+9+⋯⋯+75
2.100+99+98+⋯⋯+61+60
3.已知等差数列11、16、21、26⋯⋯1001，个数列共有多少
4.求等差数列1、4、7、10⋯个等差数列的第30。
5.有一等差数列：
3、7、11、15⋯⋯个等差数列的第100是
多少
6.17＋19＋21＋⋯＋39
7.5＋8＋11＋14＋⋯＋50
8.3＋10＋17＋24＋⋯＋101
9.2+6+10+14+18+22
【后思考】
（2+4+6+⋯⋯+100）—（1+3+5+⋯⋯+99）
第三：
平均数
【例解】
例1:
前两次的数学平均成是6分，第三次后，三次的平均成是70分。
第三次得了多少分
例2:
五个数的平均数是139，把些数排成一排，左三个数的平均数是127，右三个数的平均数是148，那么，排在中的个数是多少
例3:
甲乙丙三个数，甲数和乙数的平均数是93，甲数和丙数的平均数是87，乙数和丙数的平均数是80。
甲乙丙三个数各是多
少
例4:
小强从甲地到乙地，先骑自行车行完全程的一半，每小时行12千米。
剩下的步行，每小时行4千米。
小强行完全程的平均速度是多少
【课堂练习】
1.小华参加了四次语文测验，平均成绩是68分，他想在下一次语文测验后，将五次的平均成绩提高到70分以上。
那么，在下次的测验中，他至少要得多少分以上
2.某五个数的平均数是70，若把其中一个数改为90，则这五个数的
平均数变为80.改动的这个数原来是多少
3.将四个数排成一排，如果去掉最大数，其余三个数的平均数是60；如果去掉最小数，其余三个数的平均数是80，那么，最大数与最小数相差多少
4.甲、乙、丙两人手中钱数的平均数是24元。
乙、丙两人手中钱数的平均数是25元，甲、丙两人手中钱数是29元。
三人中，手中钱最多的比最少的多多少元
5.育才小学体育队的女同学人数是男同学人数的一半，女同学的平
均体重是45千克，男同学的平均体重比女同学多体育队同学的平均体重是多少
6千克。
全体
6.甲、乙两地相距300米，3名同学把一桶水从甲地抬到乙地，抬水时轮换着由其中两人来抬，平均每人抬多少米
【课后思考】
有1000名大学生毕业参加公务员考试，录取了150人，录取者的平均成绩与未录取者的平均成绩相差38分，全体考生的平均成绩是55分。
已知录取分数线比录取者的平均成绩低分，那么录取分数线是多少
第四讲：
定义新运算
【例题讲解】
例1:
设A◇B表示A的5倍减去B的2倍。
求
（1）2◇3
（2）4◇3◇14
例2:
定义运算?
为a?
b=5×ab（ab），求11?
12。
例3:
设a,b表示两个不同的数,规定ab4a3b.求（43）2.
【课堂练习】
1.定义新的运算a?
babab.求（1?
2）?
3
2.如果Ａ＊Ｂ＝Ａ×４＋Ｂ×２,Ａ～Ｂ＝Ａ×２＋Ｂ×４，求：
（３＊５）～（４＊３）
3.Ａ※Ｂ＝Ａ×Ｂ－Ａ＋Ｂ，
求：
（1）、１※３
（2）、３※（３※３）
4.P、Q表示两个数，P※Q＝（P＋Q）÷２
（1）、求20※30。
（2）、求3※（6※8）。
（3）、知道８※Ｂ＝７，求Ｂ。
5.如果：
３
２＝３×３，４
３＝４×４×４
求：
（1）、２
５
（2）、（９
３）÷（３
４）
6.如果２◆３＝２＋３＋４，５◆４＝５＋６＋７＋８
７◆６＝７＋８＋９＋１０＋１１＋１２
求：
（1）、８◆３
（2）、１◆１０
7.设x,y为两个不同的数,规定x□y（xy）4，求a□16=10中a的值。
8.定义新运算x⊕y=（x+1）÷y，求3⊕（2⊕4）的值。
第五讲：
差倍问题
【例题讲解】
例1:
学校买了一批图书，故事书的本数是科技书的2倍多60本，已知故事书比科技书多200本。
科技书和故事书各买了多少本
例2:
甲乙两人的存款相等，甲取出85元，乙存入15元后，乙的存
款是甲的3倍。
两人原有存款多少元
例3:
小周买一件衣服，把钱交给售货员，售货员告诉他还差135元，因为他把商品单价的个位的0丢了。
那么这件衣服的实际价钱是多少元
例4:
有两段长度相等的电线，安装电灯后，第一段用去了35米，第
二段用去了5米，结果第二段余下的电线刚好是第一段余下的
4倍。
两段电线原来各长多少米
【课堂练习】
1.某厂二月份比一月份多用电120度，三月份比二月份多用200度，三月份用电是一月份的、3倍。
求各月份用电的度数。
2.在今年的数学竞赛中，获二等奖的人数比一等奖的多10人，比三等奖的多6人，获二等奖的人数是一等奖的3倍。
今年数学竞赛获一、二、三等奖的各有多少人
3.小学做一道加法题，把其中一个加数个位上的0看漏了，结果算得100，而老师告诉小学正确结果应是307，那么，正确的两个加数各是多少
4.花店有同样多的百合花与玫瑰花，现在运来百合花20支，卖出玫
瑰花80支，这时百合花的支数就是玫瑰花的3倍，百合花原来有多少支
5.有两卷铁丝，一卷铁丝的长度正好是另一卷的3倍，从短卷上截下
20米，从长卷上截下80米，两卷铁丝剩下的长度正好相等。
两卷
铁丝截之前各有多少米
6.甲乙两个书柜放一样多的书，甲柜的书借出去120本，把买来的40
本新书放进乙柜，这时乙柜的书是甲柜剩下书的3倍。
原来每个书
柜各放多少本书
【课后思考】
小华和小文拿若干钱买排球，小华差元才能买一个，小文差元才能买一个，若两人的钱合起来买一个排球后还剩下元。
问排球的价格是多
少
第六讲：
和倍问题
【例题讲解】
例1:
林红、李强共有60本课外书，林红的课外书比李强的2倍多
6本，两人各有课外书多少本
例2:
姐姐有小人书40本，妹妹有小人书50本。
问：
姐姐给妹妹多少本小人书才能使妹妹的小人书是姐姐的2倍
例3:
在一个没有余数的除法里，被除数、除数及商的和是2004，已
知商是4，求被除数和除数。
例4:
甲、乙、丙三数的和是194，已知甲数比乙数的2倍多7，丙数比甲数的4倍少6.甲、乙、丙三数各是多少
【课堂练习】
1.某中学买来足球、排球、篮球共84个，买来的篮球是排球的2倍，买来的足球是篮球的2倍。
三类球各买来多少个
2.A、B、C三个数之和是900，数A是数B的3倍，是数C的6倍。
A、B、C三数各是多少
3.甲、乙两个油桶共存油200千克，如果把乙桶的油注入甲桶20
千克，这时甲桶存油正好是乙桶存油的3倍。
甲、乙两桶原来各存油多少千克
4.甲仓库存粮108吨，乙仓库存粮140吨，要使甲仓库的存粮数是乙仓库的3倍，那么必须从乙仓库内运出多少吨放入甲仓库
5.两个数的和是682，其中一个加数的个位上是0，若把0去掉，则与另一个加数相同，这两个数各是多少
6.被除数与除数的和是120，被除数除以除数商是6余8，求被除数和除数各是多少
【课后思考】
甲乙丙三所小学学生人数的总和为1999，已知甲校学生人数的2倍，乙校人数减2，丙校学生人数加4都是相等的。
问：
甲乙丙学校学生人数各是多少
第七讲：
和差问题
【例题讲解】
例1:
爷爷沿长和宽相差20米的长方形花坛跑3圈，共跑420米，问花坛的长和宽各是多少米
例2:
某厂三个车间共有工人108人，第一车间比第二家车间多11人，第三车间比第二车间少5人，三个车间各有工人多少人
例3:
小文和小学一共有存款104元，如果小文拿出2元钱给小学，两人的存款就相等了，小文和小学原来各有存款多少元
例4:
两筐苹果共99个，如果从甲筐中取出8个放到乙筐中，则甲筐中的苹果比乙筐还多3个，求两筐中原来各有多少个苹果
【课堂练习】
1.小明语文和数学的平均成绩是93分。
数学比语文高6分。
他这次语文和数学各得了多少分
2.已知△=12，你能根据下面两道算式，算出□和○各表示多少
吗
□+□+△+○=70
□+△+△+○=59
3.把100米长的绳子截成三段，要求第二段比第一段多段比第一段少10米，求三段绳子的长度各是多少米
5米，第三
4.甲乙两个消防队共有队员436人，如果从乙对抽调24人到甲队，这时甲乙两队的人数正好相等。
原来两消防队各有队员多少人
5.甲乙丙三人共同装订一种书刊690本。
已知甲装订的比乙、丙的和少10本，乙装订的比甲、丙的和少290本。
三人各装订多少本
6.两个仓库原有大米共15吨，甲仓库里新运进4吨，乙仓库里运出
2吨。
这时乙仓库比甲仓库大米还多1吨。
甲、乙两个仓库原来各有多少吨
【课后思考】
三种物体的平均重量是31千克，甲物体比乙、丙两物体之和轻1千克，乙物体比丙物体重量的2倍还重2千克。
三种物体各重多少千克
第八讲：
还原问题
【例题讲解】
例1:
俺院里有群鸡，加上七，乘七，减去七，除去七，其结果等于七。
求有多少鸡
例
2:
在做一道加法试题时，某同学把个位上的5看成9，把十位上的8看成3，结果“和”得123。
正确的答案是多少
例3:
甲乙丙三个组共有图书90本，如果乙组向甲组借来3本后，又送给丙组5本，结果三个所有图书刚好相等。
问：
甲乙丙三个组原来有图书多少本
例4:
某商场出售电脑，上午售出总数的一半多10台，下午售出剩下的一半多10台，还剩下50台，这个商场原来有电脑多少
台
【课堂练习】
1.小红的爷爷今年年龄缩小2倍后，加上7，再减去18之后，扩大4倍，恰好是100，小红的爷爷今年多少岁
2.一所小学，上学年毕业学生245人，本学年招收新生350人，转出学生15人，转入学生25人，现在共有学生1150人。
这所小学上学期共有学生多少人
3.在做一道加法试题时，某同学把个位上的7看成1，把十位上的
6看成9，结果“和”得123。
正确的答案是多少
4.甲乙丙三个人各有书若干本，如果甲给乙5本，乙给丙6本，丙
给甲7本，那么他们每人各有20本，原来三个人各有书多少本
5.某村修一条水渠，第一次修了它的一半又5米，第二次修了剩下
水渠的一半又4米，最后剩下6米没修完。
这条水渠共有多少米
6.一篮苹果连筐重122千克，卖出一半苹果后，再卖出剩下苹果的一半，这时连框筐重35千克，原来筐和苹果各重多少千克
【课后思考】
甲乙两篮各有苹果若干千克，如果从甲篮中拿出和乙篮同样多的苹果放入乙篮，再从乙篮中拿出和甲篮同样多的苹果放入甲篮，这时两篮
的苹果恰好都是16千克，问两篮苹果原来各有多少千克
第九讲：
年龄问题
【例题讲解】
例1:
小明今年9岁，父亲39岁，再过多少年父亲的年龄正好是小明年龄的2倍
例2:
父亲年龄是女儿的4倍，三年前父女年龄之和是49岁。
问：
父女两人现在各多少岁
例3:
今年小刚的爸爸比小刚大30岁，正好比小刚年龄的5倍少2岁。
爸爸今年多少岁
例4:
甲的年龄比乙年龄的3倍少4岁，甲7年前的年龄和乙9年后的年龄相等。
甲、乙两人现在各多少岁
【课堂练习】
1.兰兰今年10岁，奶奶比兰兰大60岁，再过多少年，奶奶的年龄是兰兰的5倍
2.今年爸爸的年龄比兰兰大30岁，2年后爸爸的年龄比兰兰年龄的
4倍少6岁。
爸爸今年多少岁
3.哥哥5年前的年龄与妹妹4年后的年龄相等，哥哥2年后的年龄与妹妹8年后的年龄和为97岁，请问二人今年各多少岁
4.兄弟二人的年龄相差5岁，兄3年后的年龄为弟4年前的3倍。
问：
兄、弟二人今年各多少岁
5.一家三口人，三个人的年龄和是72岁，妈妈和爸爸同岁，妈妈的年龄是孩子的4倍。
三人各是多少岁
6.一家三口人，三人年龄之和是74岁，妈妈比爸爸小2岁，妈妈的年龄是儿子年龄的4倍。
问：
三人各是多少岁
7.甲乙丙丁四人今年分别是24岁、20岁、15岁、13岁。
问：
多少年前甲、乙的年龄和是丙、丁年龄和的3倍
【课后思考】
今年兄弟二人年龄之和为55岁，哥哥某一年的岁数与弟弟今年的岁数相同，那一年哥哥的岁数恰好是弟弟岁数的2倍，请问哥哥今年多少岁
第十讲：
周期问题
【例题讲解】
例1:
2003年3月19日是星期三，8月1日是星期几
例2:
一列数按“4736294⋯⋯”排列，那么前40个数字之和是多
少
例3:
有249花，按5花，9黄花，13花的序流排列，最后一是什么色的花249花中，花、黄花、花各有多少
例4:
同学做早操，36个同学排成一列，每两个女生中是两个男生，如果第一个是女生，列伍共有多少男生
【堂】
1.1989年12月5日是星期二，那么1989的12月5日是星期几
2.今天是星期四，从明天开始第180天是星期几
3.2012年6月27日是星期三，那么2012年2月8号是星期几
4.有一列数95⋯⋯。
第59个数是多少59个数相加的和是多少
5.有同大小的珠、白珠、黑珠共160个，按4个珠，，3个白
珠，2个黑珠的顺序排列着。
黑珠共有几个第101个珠子是什么颜色
6.节日的校园内挂起了一盏盏小彩灯，彩灯的排列顺序为红、红、黄、黄、黄、绿，第73盏灯是什么颜色的小明数了数一共挂了100盏灯，每种颜色各几盏
7.一个圆形花辅周围长30米，沿周围每隔3米插一面红旗，每两面红旗中间插两面黄旗。
花辅周围共插了多少面黄旗
第十一讲：
行程问题
【例题讲解】
例1:
妈妈去相距1500米的菜市场买菜，以每分钟100米的速度行了
若干分钟后发现忘记带钱，立刻返回家去取。
她今天买菜共行了2500米。
她行了多少分钟后发现忘记带钱了
例2:
甲乙两辆卡车同时从某地出发，运送一批货物到相距160千米
的工地。
甲车比乙车早到1小时，当甲车到达时，乙车还距离工地32千米，甲车行驶全程用了多长时间
例3:
龟兔赛跑，全程2000米，乌龟每分钟爬25米，兔子每分钟跑320米，结果兔子在途中睡了一觉，等乌龟跑到终点时，醒了的兔子才跑到离终点400米的地方。
兔子在途中睡了多长时间
例4:
A、B两站相距400千米，甲、乙两车同时从两站相对开出，甲车每小时行35千米，乙车每小时45千米。
一只鸽子以每小时50千米的速度和甲车同时出发，向乙车飞去，遇到乙车又折向甲车飞去，遇到甲车又往回飞向乙车，这样一直飞下去。
鸽子飞了多少千米两车才相遇
【课堂练习】
1.解放军执行任务，共要行走48千米，前4小时在平路上行走，平均每小时行6千米；后来要爬山，平均每小时行4千米。
到达目的地共需要多少小时
2.甲、乙两城市之间的铁路长1339千米。
两列火车同时从两个城市对开，一列每小时行48千米，另一列每小时行55千米。
经过几小时两列车相距721千米
3.小明从家步行去相距2500米的学校，走了一会发现未带数学书，立刻以原速度沿原路返回家中去取，然后又以原速度去学校。
已知今天平时多走了1000米，且比平时晚到10分钟，则小明今天到学校共用了多长时间
4.甲、乙两地相距900千米，一列客车和一列货车同时由甲地开往乙地，客车比货车早到5小时，当客车到达乙地时货车行了600
千米。
问，客车每小时行多少千米
5.甲、乙两车同时从A地出发去相距600千米的B地取货，甲车每小时行75千米，乙车每小时行60千米，中途甲车因发生故障修车用了一段时间，结果乙车到达B地时甲车距B地还有150千米。
甲车在途中修车用了小时
6.甲、乙两人从相距1800米的两地同时出发，相向而行，甲每分钟走80米，乙每分钟走100米。
一只小狗以每分钟280米的速度和甲同时出发，向乙跑出，遇到乙又返回向甲跑去，遇到甲又往
回跑向乙，这样一直跑到甲、乙两人相遇。
小狗一共跑了多少米
【课后思考】
客货两辆汽车分别从甲、乙两地相对开出。
客车每小时行50千米，
货车每小时行65千米，当货车行到两地中点点，与客车还相距75千
米，求甲、乙两地的距离。
第十二讲：
流水问题
【例题讲解】
例1:
一只船在静水中每小时行8千米，逆水行4小时航行24千米，求水流速度
例
2:
甲乙两港间的水路长208千米，一只船从甲港开往乙港，顺水
8小时到达，从乙港返回甲港，逆水13小时到达。
求船在静
水的速度
例3:
甲、乙两船的静水速度分别是每小时27千米、24千米，今在
相距204千米的河两岸同时相向而行，几小时可以相遇
【课堂练习】
1.一只每小时航行13千米的客船在一条河中航行，这条河的水速为每小时7千米，这只客船顺水航行140千米需要多少小时
2.一客轮流水航行240千米需要6小时，水流速度是每小时4千米。
这一客轮逆水行240千米需要用几小时
3.甲乙两个港口相距77千米，船速为每小时9千米，水流速度为每小时2千米，求由甲港到乙港顺水航行需要几小时由乙港到甲港需几小时
4.一条船顺水而行，5小时行60千米，逆水航行这段水路，10小时才能到达，求船速与水流速度
5.A、B两城市相距9000千米，一架飞机往返两城市一次需
11小
时，顺风飞行比逆风飞行少用1小时，那么，风速为每小时多少千米
6.甲乙两码头相距744千米，汽船从乙码头逆水行驶8小时到达甲
码头，又知汽船在静水中每小时行21千米，求汽船顺流开回乙码头需几小时
7.甲河是乙河的支流，甲河水流速度为每小时3千米，乙河水流速度为每小时2千米，一艘船沿乙河逆水航行6小时，行了84千米到达甲河，在甲河还要顺水航行133千米，这艘船一共航行多少小时
【课后思考】
一轮船第一次顺流航行60千米，逆行30千米，共用4小时；第二
次用同样多的时间顺行30千米，逆行45千米。
求轮船的静水速度和
水速。
第十三讲：
鸡兔同笼问题与假设法
【例题讲解】
例1:
鸡兔同笼,共有头100个,足316只,鸡兔各有多少只
例2:
学校买回4个篮球和5个排球一共用185元，一个篮球比一个
排球贵8元，篮球的单价是多少元
例3:
鸡兔共200只,鸡的脚比兔的脚少56只,则鸡有几只,兔有几只
【课堂练习】
1.鸡兔同笼，数头共有90个，数脚共有252条。
笼子里共有多少
只鸡
2.有钢笔和铅笔共27盒,共计300支.钢笔每盒10支,铅笔每盒12
支,则钢笔和铅笔各有几盒
3.班主任张老师带五年级
（2）班50名同学栽树,张老师一人栽5棵,男生一人栽3棵,女生一人栽2棵,总共栽树120棵,问几名男生，
几名女生
4.有一批水果，用大筐80只可装运完，用小筐120只也可装运完。
已知每只大筐比每只小筐多装运20千克，那么这批水果有多少千
克
5.松鼠妈妈采松子,晴天每天采20个,雨天每天可采12个,它一连采了112个,平均每天采14个,这几天中有几天是雨天
6.伍元钞票和贰元钞票的总张数是200张，已知伍元钞票总值比贰元钞票的总值多160元。
两种钞票各有多少张
7.小明总共买苹果和橘子20斤，已知苹果每斤元，橘子每斤3元，苹果比橘子多花了元。
苹果和橘子各买了多少斤
【课后思考】
鸡、兔共有脚100只，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共有脚92只。
问：
鸡、兔各几只
第十四讲：
盈亏问题与比较法
（1）
【例题讲解】
例1:
小朋友分糖果，若每人分3粒则剩11粒；若每人分5粒则剩3
粒。
问：
有多少个小朋友多少粒糖果
例2:
小朋友分糖果，若每人分3粒则剩11粒；若每人分5粒则剩3粒。
问：
有多少个小朋友多少粒糖果
例3:
学校买来一批图书。
若每人发9本，则少25本；若每人发6本，则少7本。
问：
有多少个学生买了多少本图书
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