概率论第三章Word文档格式.docx
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$p_{ij}$
$x_2$
$p_{21}$
$p_{22}$
$p_{2j}$
$x_i$
$p_{i1}$
$p_{i2}$
实例：
$P（X=0,Y=1）=P（Y=1|X=0）\cdotP（X=0）$
第17讲二元离散型随机变量边际分布律与条件分布律
边际分布律
$$P（X+x_i）=P（X=x_i,\bigcup_{j=1}\infty（Y=y_i））=\sum_{j=1}\inftyp_{ij}=p_{i\cdot}$$
$$P（Y+y_i）=P_{\cdoty}$$
$P（X=x_i）$
$p_{1\cdot}$
$p_{2\cdot}$
$p_{i\cdot}$
$P（Y=y_j）$
$p_{\cdot1}$
$p_{\cdot2}$
$p_{\cdotj}$
1
已知条件分布律一定能求出边际分布律，但已知编辑分布律不一定能求出条件分布律
条件分布律
∙$$P（X=x_i）|Y=y_j）=\frac{p_{ij}}{p_{\cdotj}}\i=1,2,...$$
∙条件分布律不唯一
第18讲二元随机变量分布函数、边际分布函数及条件分布函数
∙联合分布函数
∙$$F（x,y）=P{（X\leqx）\cap（Y\leqy）}=P（X\leqx,Y\leqy）$$
∙边际分布函数
∙$$F_x（x）=F（x,+\infty）=\lim_{y\to\infty}F（x,y）$$
∙条件分布函数
∙若$P（Y=y）>
0$
∙$$F_{X|Y}（x|y）=P（X\leqx|Y=y）=\frac{P（X\leqx,Y=y）}{P（Y=y）}$$
∙对于连续型随机变量也可以用如上记法，但注意此时的$y\leqY\leq\epsilon$
第19讲二元连续型随机变量的联合概率密度
∙二元随机变量的联合概率密度
∙$$F（x,y）=\int_{-\infty}x\int_{-\infty}yf（u,v）dudv$$
∙其中$f（x,y）$为$（X,Y）$的概率密度
∙性质
∙$$P（（x,y）\inD）=\iint_{D}f（x,y）dxdy$$
∙$$\frac{\partial^2F（x,y）}{\partialx\partialy}=f（x,y）$$
∙提示
∙此处应具有求二重积分的能力
第20讲二元连续型随机变量的边际概率密度
∙二元连续型随机变量的边际概率密度
∙$$f_x（x）=\int_{-\infty}^{+\infty}f（x,y）dy$$
∙二元连续型随机变量的边际概率函数
∙$$F_x（x）=F（x,+\infty）=\int_{-\infty}x[\int_{-\infty}{+\infty}f（u,y）dy]du$$
第21讲二元连续型随机变量的条件概率密度
二元连续型随机变量的条件概率密度
∙$$f_{X|Y}（x|y）=\frac{f（x,y）}{f_Y（y）}$$
变式
∙$$f（x,y）=f_{X|Y}（x|y）\cdotf_Y（y）$$
汇总：
二元离散型与连续型随机变量分布比较
∙离散型
∙联合分布律
∙边际分布律
∙条件分布律
∙连续型
∙联合概率密度
∙边际概率密度
∙条件概率密度
第22讲二元均匀分布，二元正态分布
∙二元均匀分布
∙$$f（x,y）=1/A,（x,y）\inD$$
∙二元正态分布
∙$$\begin{align}&
f（x,y）=\frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}}\times\&
exp{\frac{-1}{2（1-\rho2）}[\frac{（x-\mu_1）2}{\sigma_12}-2\rho\frac{（x-\mu_1）（y-\mu_2）}{\sigma_1\sigma_2}+\frac{（y-\mu_2）2}{\sigma_2^2}]}\end{align}$$
∙$\sigma_1,\sigma_2>
0$，$-1<
\rho<
1$
∙记为$（X,Y）\simN（\mu_1,\mu_2,\sigma_12,\sigma_22,\rho）$
∙二元正态分布的边际概率密度
∙$$X\simN（\mu_1,\sigma_2^2）$$
∙即边际概率分布服从正态分布
∙二元正态分布的条件概率密度
∙$$Y|X\simN（\mu_2+\rho\frac{\sigma_2}{\sigma_1}（x-\mu_1）,（1-\rho2）\sigma_22）$$
∙即条件概率分布服从正态分布
第23讲随机变量的独立性
∙随机变量的独立性
∙$$F（x,y）=F_X（x）F_Y（y）$$
∙离散型随机变量的独立性
∙$$P（X=x_i,Y=y_j）=P（X=x_i）P（Y=y_j）$$
∙连续型随机变量的独立性
∙$$f（x,y）=f_X（x）f_Y（y）$$
∙$n$元随机变量的分布
∙分布函数
∙分布律
∙概率密度函数
∙边际分布
∙向量的独立性
∙$$F（x_1,x_2,...,x_m,y_1,y_2,...,y_n）=F_1（x_1,x_2,...,x_m）F_2（y_1,y_2,...y_n）$$
∙若两向量独立
1.$X_i$与$Y_j$相互独立
2.若$g（x_1,x_2,...,x_m）$与$h（y_1,y_2,...y_n）$是连续函数，则$g（X_1,X_2,...,X_m）$与$h（Y_1,Y_2,...Y_n）$相互独立
∙直观理解
∙性质1表明，若$X_i$与$Y_j$相互独立，则$X_1$与$Y_1$相互独立，$X_1$与$X_2$相互独立
∙性质2表明，若$X_i$与$Y_j$相互独立，则$X_1+X_2$与$Y_1\timesY_2$相互独立
第24讲二元随机变量函数的分布
∙二元随机变量函数的分布（如$Z=X<
Y$的分布）
∙用分布律，分析各种情况
∙先求$F（x）$，再求导得到
第25讲$Z=X+Y$的分布
∙$$F_z（z）=P（Z\leqz）=\iint_{x+y\leqz}f（x,y）dxdy$$
∙$$f_Z（z）=\int_{-\infty}^{+\infty}f（z-y,y）dy$$
∙卷积公式
∙当$X$与$Y$相互独立时
∙$$f_Z（z）=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X（z-y）f_Y（y）dy$$
∙拓展：
知乎问题：
如何通俗易懂地解释卷积？
∙关于正态分布的结论
∙若$X$与$Y$相互独立，$X\simN（\mu_1,\sigma_1^2）,Y\simN（\mu_2,\sigma_2^2）$，则
∙$$（Z=X+Y）\simN（\mu_1+\mu_2,\sigma_12+\sigma_22）$$
∙更一般的，若$X_i$服从线性分布，则其线性组合
∙$c_0+c_1X_1+c_2X_2+...+c_nX_n\simN（\mu,\sigma^2）$
∙其中
∙$$\mu=c_0+c_1\mu_1+...+c_n\mu_n,\\sigma2=c_12\sigma_12+c_22\sigma_22+...+c_n2\sigma_n^2$$
∙$\Gamma$分布GammaDistribution（非重点，可略过）
∙若$X_1,X_2,...,X_n$独立且服从$B（1,p）$则
∙$$X_1+X_2+...+X_n\simB（n,p）$$
∙若$X$与$Y$相互独立，$X\simB（n_1,p）,Y\simB（n_2,p）$则
∙$$X+Y\simB（n_1+n_2,p）$$
∙若$X$与$Y$相互独立，$X\sim\pi（\lambda_1）,Y\sim\pi（\lambda_1+\lambda_2）$则
∙$$X+Y\sim\pi（\lambda_1+\lambda_2）$$
第26讲$max（X,Y）$和$min（X,Y）$的分布
∙若$X$与$Y$相互独立
∙$$\begin{split}F_{max}（z）&
=P（M\leqz）\&
=P（X\leqz,Y\leqz）\&
=P（X\leqz）P（Y\leqz）\end{split}$$
∙$$f_{max}（z）=f_X（z）f_Y（z）$$
∙同理
∙$$f_{min}（z）=1-（1-f_X（z））（1-f_Y（z））$$
∙$n$个相互独立的随机变量同理
∙若$X_n$相互独立且分布相同
∙$$f_{max}（z）=n[F（z）]^{n-1}f（z）$$
∙$$f_{min}（z）=n[1-F（z）]^{n-1}f（z）$$
∙提示：
该小节在第七章第二节“估计量的评价，无偏差性”中有重要应用
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