概率论习题第三章答案Word下载.docx
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2F（a）-1;
1-P（|a）
1-2F（a）1。
设F，x）与
F2（x）都是分布函数，证明
F（x）=aF（x）+bF（x）
也是一个分布函数，并由此讨论，分布函数是否只有离散型和连续型这两种类型证：
因为f'
x）与f2（x）都是分布函数，于
F（x1）=aF1（x1）+bF2（x2）<
=aF1（x1）+bF2（x2）=F（x2）
又
F（x-0）=aF1（x1-0）+bF2（x2-0）
=aF1（x）+bF2（x）=F（x）所以，F（x）也是分布函数。
取a=b=1/2,又令
F1（x）=0x<
=0,1x>
0F2（x）=0x<
=0x0<
x<
=11x>
此时
0x0
（1x）/20x1
1x1
既然，与
F（x）对应的随机变量不是取有限个或可列个值，故
F（x）不是离散型的，而F（x）不
是连续函数，所以它也不是连续型的。
设随机变量的分布函数为
（1
x）e
F（x）
求相应的密度函数,
并求
P
（1）。
d[1
x）e]xe
x，所以相应的密度函数为
dx
xe
1）F
（1）1
e
设随机变量
的分布函数为
0x<
F（x）
Ax20
0x
求常数A及密度函数。
因为F（1-0）=F
（1）
，所以A=1,密度函数为
P（x）
2x0x<
0其他
随机变量
F（x）=A+Barctg（x）.
常数A与B及相应的密度函数。
因为
lim
r）
因而
所以
F（x）=
arctg
p（x）
（x）
x2）
已知崔机变量
x0<
p（x）=
2-x1<
其他
求相应的分布函数F（x）;
求P（
0.5）,p（
1.3）,
P（0.2
1.2）
ydy
12
1（2
y）dy
x>
1<
（1）p（x）
Ae
P（
0.5）
F（0.5）
8,
1.3）
1P（
1.3）1F（1.3）0.245,
P（0.2
1.2）F
（1.2）F（0.2）0.66
确定下列函数仲的常数
A使该函数成为一兀分布的密度函数。
hx
在半径为R,球心为O的球内任去一点P,求
OP的分布函数
（2）
Acos
一x一
Ax
x2
p（x）
2<
（1）_
凶dx
2A
exdx
2A1,
所以A-；
cos
xdx
2cosxdx
1,所以A1
T
8
29
2dx
Axdx
A
1,所以
A6。
6
在厶ABC中任取一点
P,P到AB的距离为，求
的分布函数
作厶ABC的高CD,设CD=h当0<
x<
h时，作EF//AB,椒EF与AB间距离为x。
当0<
h时
F（x）=P（vx）=S^FBA=1-汪=1-（U）2,
SABCSABCh
因此
43
一X3
F（x）=P（<
x）=——=上,所以
4R3R
X
F（x）=0xR
R
1xR
某城市每天用电量不超过一百万度
表示每天的耗电率（即用电量除以一百万度
）,它具
有分布密度为
12x（1x）0x1
若该城市每天的供电量仅有80万度,求供电量不够需要的概率是多少如每天供电量为又是怎样呢
P（0.8）0812x（1x）2dx0.0272,
P（0.9）0912x（1x）2dx0.0037.
90万度
因此,若该城市每天的供电量为80万度,供电量不够需要的概率为，若每天的供电量为
则供电量不够需要的概率为.
设随机变量服从（0,5）上的均匀分布，求方程
90万度,
4x24x20
有实根的概率.
当且仅当
（4）16
（2）0
（1）
成立时，方程4x24x
20有实根.不等式
（1）的解为:
2或1因此,该方程有实根的概率
513
P
（2）P
（1）P
（2）5~dx-.
55
设随机变量服从正态分布N（0,1）,求
（1）P（0.02
2.33）;
（2）P
1.85
0.04;
（3）2.80
1.21
（1）P（0.02
2.33）
（2.33）
（0.02）
0.4901
0.00800.4821;
⑵P（1.85
0.04）
（0.04）
（1.85）
（0.04）1（1.85）
0.5160（1097678）
（3）P（2.80
1.21）
（1.21）（2.80）1（1.21）1
（2.80）
（1.21）0.99740.88690.1105
设随机变量E服从正态分布N（108,9）,
（1）求P（<
；
（2）求常数a,使P（E<
a）=；
（3）求常数a,使P（IE-a|>
a）=。
（1）P（<
E<
=P（2.31083.2）
（3.2）（2.3）（3.2）1（2.3）
0.999313
0.989276
0.988589;
P
⑵
a108
3__
1.28,即a
2a
108
36
111.84;
2a108
0.99,查表得空
0.90,.所以
0.01,
2.33即a57.5
（1）P
250
P（-
300
35
1.43）
1.43
0.9236;
rx
300x
2Pa
xa
3535
10.9,1卩
0.95,所以
1.65,即
x57.75
3.17某种电池的寿命服从正态Na,2分布,其中a300（小时）,35（小时）
（1）求电池寿命在250小时以上的概率;
（2）求x,使寿命在ax与ax之间的概率不小于0.9
0,1分布的分布函数
3.18设
x为N
证明当x0有
2xe
x2
71
证:
2x
.2xe
e2dy
~2
xe^dy
2xe
—1
2?
丄
!
x3
、2x
x2e£
y
ge£
y,所以
xx3
3。
19设二维随机变量
的联合分布函数为Fx,y,Fx,y表示下列概率d;
2Pab,y;
1Pa
b,c
3Pa,
y;
4
Px,;
5P
d
Fb,d
Fb,c
Fa,dFa,c;
b,
b,yPa,y
Fb
0,y
F
a,y;
3P
a,
yPa,y
Fa
4P
x,
Fx;
5P,0
3.20设二维随机变量（
）的联合函数为F（x,y）,用它表示（，）落在区域D（如
F图所示）内的概率:
y4
b5
64
63
62
ai
a2
a3
a4
P[（,）D]FGb）F（a5,bJF®
®
）F^bJ[F©
）F^Q）
F（a「b3）F（ai,bi）][F^b）F^b）FQb）FQb）
F（a5,b5）F（a5,bi）F（a4,b4）F®
）F©
）F®
）F（a2,bJ
F（a「b3）F（a「b5）.
21证明：
二元函数
F（x,y）
1,xy0
0,xy0
对每个变元单调非降、左连续，且F（-g,y）=F（x,-g）=0,F（-g，+g）=0,但是F（x,y）
并不是一个分布函数。
设"
0,
若x+y>
0,由于x+"
x+y>
0,所以F（x,y）=F（x+"
x,y）=1,
若x+y<
0,贝VF（x,y）=0.当x+"
x+y<
0时,F（x+zdx,y）=0,当x+zdx+y>
0时,F（x+"
x,y）=1。
F（x,y）<
F
（x+dx
y）。
可见,
F（x,y）对
x非降。
同理，
F（x,
y）
对y非降。
x+yw0时，
帧
F（xx,y）
F（x,y
F（x,y）,
xy
f0时，
iim
F（x,y）,所以F（x,y）对x,y左连续
F（-g,y）=
F（x,-g
）=0,F（+
g+
J
g）=0.
（4）P（0w2,02）F（2,2）F（2,0）F（0,2）F（0,0）1,所以F（x,y）不是个分布函数。
3.22设在"
ABC中，AB=I、BC=k,/B=90,在"
ABC中任取一点M,M到AB的距离为,/
MAB=,求（，）的联合分布函数。
y,N与AB的距离为
xk
设0<
k,arctgyarctg在ABC中作点N,使NABICl
x.作ND
P（x,
、Sandb
SABO
x（lxctgyl）
-kl
x（2lxctgy）
kl
至于0
xk,0y
arctg-时,
譽所以
0,x0或y
x（21xctgy）
丄x丄x
0
k,arctgxarctg-
哑,0xk
k,0
arctgf
2kxx2
k
k2
k,y
ltgy_门
xk,0k
arctg—
1,xk,yarctg
同理可得
F（x,y）
3.23二维随机变量（，）的密度函数为
p（x,y）
sin（xy）,0x,0y—
222
0,其它
求（，）的分布函数。
当0X2'
F（x,y）P（
y2时,
x,y）
xy11x
sin（ts）dsdt[cost
00220
cos（t
y）]dt
1、[sinxsinysin（xy）],所以2
0,（x0）（y0）
-[sinxsinysin（x
y）],0
2,
F（x,y）=（sinx1cosx）,0
x—
y
（1sinycosy）,x
1,x-,y
22.
y2
3.24设二维随机变量（
）的联合密度为
P（x,y）
ke
3x4y,x0,y0
其它
（1）求常数k；
（2）求相应的分布函数;
（3）求P（0
1,0
（1）ke3x4ydxdy
00
所以K=12；
（2）x>
0,y>
0时，
F（x,y）12e3t4sdtds
4e
3x
12‘
12
3t.xedt
4s.
eds
2）。
=（1e3x）（1e4y），所以
（1e3x）（1e4y）,x
0,y0
（3）P（0
2）
=F（1,2）-F（0,2）-F（1,0）-F（0,0）
6e
3.25设二维随机变量（，）有密度函数
P（x,y）
222~
（16x）（25y）
求常数A及（，）的分布函数。
p（x,y）dxdy
4A
2（16x2）（25y2
dxdy
dy
2o16x2o25y2
—1，所以A=20;
20
（16t2）（25s2）
dt
16t2
yds
25s2
arctg寸
252
3.26设二维随机变量（
）的密度函数为
F（x,y）p（t,s）dtds
dtds
4xy,0x1,0y1
PS0,其它
11
求
（1）P（02，；
1）；
（2）P（）;
（3）P（）；
（4）P（）。
（1）P（0—,—1）
24
21
4xydxdy
01
4
4xdxydy
■4
15
64；
（2）P（
Y
0；
（3）P（
P（
3.27设二维随机变量
或利用
设（
p（x,y）=
P[（
4xydydx
2（x
x8）dx
¥
，。
x10y
1）。
1）
p（x,y）dxdy
xy1
（x2
少ydx
1（6x3
06
）dx
65
72
1）求•
的密度函数为
0x1,0
0,其他
中至少有一个小于
丄的概率。
2）（尹-P（
=1-iip（x,y）dxdy
1215
=1-11dxdy=.
2228
一台机器制造直径为的轴，另一台机器制造内径为的轴套，设（，）的密度函数为
2500,0.49x0.51,0.51y0.53
如果轴套的内径比轴的直径大于，但是不大于，则两者就能很好地配合成套。
现在随机地选
择轴和轴套，问两者能很好配合的概率是多少
f（x,y）dxdy
0.004yx0.036
（0.02）（0.04）?
2500a96。
3.30一个电子器件包含两个主要元件，分别以
和表示这两个元件的寿命（以小时计），
设（，）的分布函数为
0.01x0.01y0.01（xy）
1eee,x0-y0
0.09
P[（120）
（
120）]
P（120）
p（
120）
120,120）
F（1200,
）F（
120
0）
F（1200,120
1.2
1.
1.22.4
（1e）
（1e
）（1
2e
e）
求两个元件的寿命都超过120的概率。
P（120,120）
2.4
3.31设p（x）,p（x）都是一维分布的密度函数，为使
P（x,y）pi（x）?
p2（y）h（x,y）
为一个二维分布的密度函数，问其中的h（x,y）必须且只需满足什么条件
若p（x,y）为二维分布的密度函数，则
p（x,y）0,
p（x,y）dxdy1。
P（x,y）0,
因此，为使p（x,y）成为二维分布的密度函数,
h（x,y）必需且只需满足条件
（1）和
（2）。
3.32设二维随机变量（
）具有下述密度函数,
求边际分布。
（i）
p（x,y）
2ey1厂，xx
0其他
i,y1
1e扣2
y2）
x
0,y0
所以条件
（1）h（x,y）pi（x）?
p（y）;
（2）h（x,y）dxdy0得到满足。
反之，若条件
（1）,
（2）满足，则
p（x,y）dxdy1,p（x,y）为二维分布的密度函数。
0.其他
k11
（kJ（k2）
（y
\k21
x）2
ey,0xy
p（x）
2ey1
1丁
3,（x
1）；
0,（x
1）.
（y）
1二3
y1
（y1）;
0,（y1）.
e2
.2
-D
012（x2y2）
p（x）-edy
x0时，
11（x2y2）
P（x）0—edy
所以，p（x）
1e2同理,
Q2
P（y）
、2
2y~2
（3）p（x）
xk1
（kJh）
x（y
k21y.
x）edy
（kJ
xk11
e,（x
0）；
P（x）0,（x0）.
x）k21dx
k1
ey,（y
）；
P（y）0,（y0）.
3.33设二维随机变量在边长为a的正方形内服从均匀分布，该正方形之对角线为坐标轴,求边际分布密度。
所以,
同理,
x0时,
p（y）
—,（x,y）Ga
0,（x,y）G
xa21
xa2a2dy
x）,
a2x1
xa2玄2dy
了（.2x）,
右（：
x）,（x；
）;
y）,（y-2）；
o,（y
证明：
若随机变量
只取一个值a,则与任意的随即变量
独立。
0,xa;
1.xa.
设的分布函数、（，
的联合分布函数分别为
（y）、F（x,
当xa时，F（x,y）
=P（x,y）0
（x）F（y）.
当x>
a时，F（x,y）=P（x,y）P（
y）F（x）
所以，对任意实数x,y,都有F（x,y）=F
（x）F（y）.故
f（y）.
与相互独立。
由于P（x）P（x,x）P（x）P（x）
[F（x）]2,F（x）
0或1。
由于F（
）0,F（）1,F（x）非降、
左连续，所以存
在常数
c,使得
0,xa;
=c）=1。
设二维随机变量（
P（x,y）1/
others
冋，是否独立是否不相关
jr?
2J1x2
p1（x）1x2dy/,（|x|1）;
p1（x）,（|x|1）.
同理，p
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