知识讲解导数的计算基础1文档格式.doc

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5．指数函数的导数：

，．

6．对数函数的导数：

有时也把记作：

以上常见函数的求导公式不需要证明，只需记住公式即可．

知识点二：

函数的和、差、积、商的导数

运算法则：

（1）和差的导数：

（2）积的导数：

（3）商的导数：

（）

1.上述法则也可以简记为：

（ⅰ）和（或差）的导数：

，

推广：

．

（ⅱ）积的导数：

特别地：

（c为常数）．

（ⅲ）商的导数：

两函数商的求导法则的特例

，

当时，．

这是一个函数倒数的求导法则．

2．两函数积与商求导公式的说明

（1）类比：

，（v≠0），注意差异，加以区分．

（2）注意：

且（v≠0）．

3．求导运算的技巧

在求导数中，有些函数虽然表面形式上为函数的商或积，但在求导前利用代数或三角恒等变形可将函数先化简（可能化去了商或积），然后进行求导，可避免使用积、商的求导法则，减少运算量．

知识点三：

复合函数的求导法则

1．复合函数的概念

对于函数，令，则是中间变量u的函数，是自变量x的函数，则函数是自变量x的复合函数．

要点诠释：

常把称为“内层”，称为“外层”。

2．复合函数的导数

设函数在点x处可导，，函数在点x的对应点u处也可导，则复合函数在点x处可导，并且，或写作．

3．掌握复合函数的求导方法

（1）分层：

将复合函数分出内层、外层。

（2）各层求导：

对内层，外层分别求导。

得到

（3）求积并回代：

求出两导数的积：

，然后将，即可得到

的导数。

1.整个过程可简记为分层——求导——回代，熟练以后，可以省略中间过程。

若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量。

2.选择中间变量是复合函数求导的关键。

求导时需要记住中间变量，逐层求导，不遗漏。

求导后，要把中间变量转换成自变量的函数。

【典型例题】

类型一：

求简单初等函数的导数

例1.求下列函数的导数：

（1）

（2）（3）（4）（5）

【解析】

（1）（x3）′=3x3－1=3x2；

（2）（）′=（x－2）′=－2x－2－1=－2x－3

（3）

（4）；

（5）；

【点评】

（1）用导数的定义求导是求导数的基本方法，但运算较繁。

利用常用函数的导数公式，可以简化求导过程，降低运算难度。

（2）准确记忆公式。

（3）根式、分式求导时，先将根式、分式转化为幂的形式。

举一反三：

【变式】求下列函数的导数：

（1）y=

（2）y=（3）y=2x3―3x2+5x＋4（4）；

【答案】

（1）y′=（）′=（x－3）′=－3x－3－1=－3x－4

（2

（3）

（4）∵，∴.

类型二：

求函数的和、差、积、商的导数

例2.求下列函数导数：

（1）y＝3x2＋xcosx；

（2）y＝；

（3）y＝lgx－ex；

（4）y=tanx.

【解析】

（1）y′＝6x＋cosx－xsinx.

（2）y′＝.（3）y′＝（lgx）′－（ex）′＝－ex.

（4）=tanx+.

（1）熟记基本初等函数的导数公式和灵活运用导数的四则运算法则，是求导函数的前提。

（2）先化简再求导，是化难为易，化繁为简的基本原则和策略。

【变式1】函数在处的导数等于（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】D

法一：

∴.

法二：

∵

∴

【变式2】求下列各函数的导函数

（1）y=（x+1）（x+2）（x+3）。

（2）y=x2sinx;

（3）y=

（1）∵y=（x2+3x+2）（x+3）=x3+6x2+11x+6，∴y＇=3x2+12x+11。

（2）y′=（x2）′sinx＋x2（sinx）′=2xsinx＋x2cosx

=

【变式3】求下列函数的导数.

（1）y＝（2x2－5x＋1）ex；

（2）；

（3）y＝

（1）y′＝（2x2－5x＋1）′ex＋（2x2－5x＋1）（ex）′

＝（4x－5）ex＋（2x2－5x＋1）ex

＝（2x2－x－4）ex

（2），

（3）y′＝[（sinx－xcosx）′（cosx＋xsinx）－（sinx－xcosx）·

（cosx＋xsinx）′]

＝[（cosx－cosx＋xsinx）（cosx＋xsinx）－（sinx－xcosx）（xcosx）]

＝＝

类型三：

求复合函数的导数

例3求下列函数的导数：

（1）；

（2）；

（3）；

（1）设μ=1-3x，，则

　　。

（2）设，y=cosμ，则

　　。

（3）设

把一部分量或式子暂时当作一个整体，这个整体就是中间变量。

求导数时需要记住中间变量，注意逐层求导，不能遗漏。

求导数后，要把中间变量转换成自变量的函数。

【变式】求下列函数导数.

（1）；

（2）；

（3）.

（1），

∴

（2），.

（3），，

例4求下列函数导数.

（1）；

（2）；

（3）

（1）令,,

（2）

　　。

（3）设，μ=sinv，，则

　　在熟练掌握复合函数求导以后，可省略中间步骤：

（1）复合函数求导数的步骤是：

①分清复合关系，适当选定中间变量，正确分解复合关系（简称分解复合关系）；

②分层求导，弄清每一步中哪个变量对哪个变量求导数（简称分层求导）；

③将中间变量代回为自变量的函数。

简记为分解——求导——回代，当省加重中间步骤后，就没有回代这一步了，

即分解（复合关系）——求导（导数相乘）。

（2）同一个问题可有多种不同的求导方法，若能化简的式子，则先化简，再求导。

【变式1】求y＝sin4x＋cos4x的导数．

解法一y＝sin4x＋cos4x＝（sin2x＋cos2x）2－2sin2cos2x＝1－sin22x

＝1－（1－cos4x）＝＋cos4x．y′＝－sin4x．

解法二y′＝（sin4x）′＋（cos4x）′＝4sin3x（sinx）′＋4cos3x（cosx）′

＝4sin3xcosx＋4cos3x（－sinx）＝4sinxcosx（sin2x－cos2x）

＝－2sin2xcos2x＝－sin4x

【变式2】求下列函数导数：

（1）；

（2）．求函数的导数（）。

【答案】

（1）设u=1－2x2，则。

。

（2）．方法一：

。

方法二：

∵，∴

。

类型四：

利用导数求函数式中的参数

例5

（1），若，则a的值为（）

A．B．C．D．

（2）设函数，若是奇函数，

则=________。

【解析】

（1）∵，

∴，∴，故选A。

（2）由于，

∴，

若是奇函数，则，即，

所以。

又因为，所以。

【点评】求函数的导数的基本方法是利用函数的和、差、积、商的导数运算法则以及复合函数的导数运算法则，转化为常见函数的导数问题，再利用求导公式来求解即可。

【变式1】

已知函数过点（1，5），其导函数的图象

如图3-2-1所示，求的解析式。

【答案】∵，

由，，，得

，解得，

∴函数的解析式为。

【变式2】已知是关于的多项式函数，

（1）若，求；

（2）若且，解不等式.

【解析】显然是一个常数，所以

所以，即

所以

∵，∴可设

∵∴

由，解得

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