专题14 整式的乘法与因式分解章末重难点题型举一反三人教版解析版Word文档下载推荐.docx

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32＝33

【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别化简得出答案．

A、（3×

103）2＝9×

106，故此选项错误；

B、36×

32＝38，正确；

C、（

34＝1，故此选项错误；

D、36÷

32＝34，故此选项错误；

【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

【变式1-3】

（2020春•叶集区期末）下列计算正确的是（　　）

A．（x3）2＝x5B．x3•x5＝x15

C．（﹣xy）5÷

（﹣xy）2＝﹣x3y3D．x6÷

x3＝x2

【分析】分别根据幂的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则，积的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．

A．（x3）2＝x6，故本选项不合题意；

B．x3•x5＝x8，故本选项不合题意；

（﹣xy）2＝﹣x3y3，故本选项符合题意；

D．x6÷

x3＝x3，故本选项不合题意．

C．

【点评】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．

【考点2幂的混合运算】

【例2】

（2019春•漳浦县期中）计算

（1）（m﹣n）2•（n﹣m）3•（n﹣m）4

（2）（b2n）3（b3）4n÷

（b5）n+1

（3）（a2）3﹣a3•a3+（2a3）2；

（4）（﹣4am+1）3÷

[2（2am）2•a]．

【分析】

（1）根据同底数幂的乘法计算即可；

（2）根据幂的乘方和同底数幂的除法计算即可；

（3）根据幂的乘方、同底数幂的乘法和合并同类项解答即可；

（4）根据积的乘方和同底数幂的除法计算即可．

＝（n﹣m）2+3+4，

＝（n﹣m）9；

＝b6n•b12n÷

b5n+5

＝b6n+12n﹣5n﹣5

＝b13n﹣5；

（3）（a2）3﹣a3•a3+（2a3）2

＝a6﹣a6+4a6

＝4a6；

[2（2am）2•a]

＝﹣64a3m+3÷

8a2m+1

＝﹣8am+2

【点评】此题考查了整式的混合运算，涉及的知识有：

同底数幂的乘法（除法）运算法则，积的乘方及幂的乘方运算法则以及合并同类项法则，熟练掌握法则是解本题的关键．

【变式2-1】

（2019春•海陵区校级月考）计算

（1）x3•x5﹣（2x4）2+x10÷

x2．

（2）（﹣2x2）3+（﹣3x3）2+（x2）2•x2

（1）根据同底数幂的乘法和除法、积的乘方的法则计算即可；

（2）根据同底数幂的乘法、积的乘方的法则计算即可．

（1）原式＝x8﹣4x8+x8＝﹣2x8

（2）原式＝﹣8x6+9x6+x6＝2x6

【点评】本题考查了同底数幂的乘法和除法、积的乘方，熟记法则是解题的关键．

【变式2-2】

（2019秋•崇川区校级月考）计算

（1）y4+（y2）4÷

y4﹣（﹣y2）2

（2）（x﹣y）2•（y﹣x）7•[﹣（x﹣y）3]

（1）根据幂的乘方，底数不变指数相乘和同底数幂相除，底数不变指数相减进行解答，即可得出答案．

（2）根据同底数幂相乘，底数不变指数相加，即可得出答案

＝y4+y8÷

y4﹣y4

＝y4+y4﹣y4

＝y4；

（2）（x﹣y）2•（y﹣x）7•[﹣（x﹣y）3]＝（y﹣x）2•（y﹣x）7•（y﹣x）3

＝（y﹣x）12．

【点评】本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．

【变式2-3】

（2020春•安庆期中）计算：

an﹣5（an+1b3m﹣2）2+（an﹣1bm﹣2）3（﹣b3m+2）

【分析】先利用积的乘方，去掉括号，再利用同底数幂的乘法计算，最后合并同类项即可．

原式＝an﹣5（a2n+2b6m﹣4）+a3n﹣3b3m﹣6（﹣b3m+2），

＝a3n﹣3b6m﹣4+a3n﹣3（﹣b6m﹣4），

＝a3n﹣3b6m﹣4﹣a3n﹣3b6m﹣4，

＝0．

【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，理清指数的变化是解题的关键．

【考点3巧用幂的运算进行简便运算】

【例3】

（2020春•宁远县期中）计算（

）2019×

（2

）2020的结果是（　　）

A．

B．

C．

D．﹣2020

【分析】先根据积的乘方进行变形，再求出即可．

原式＝﹣（

（

）2020

＝﹣（

）2019

＝﹣1

，

【点评】本题考查了积的乘方，能正确根据积的乘方进行计算是解此题的关键．

【变式3-1】

（2020春•市中区校级期中）计算：

0.1252020×

（﹣8）2021＝　　．

【分析】根据积的乘方运算法则计算即可，积的乘方，等于每个因式乘方的积．

（﹣8）2021

＝0.1252020×

82020×

（﹣8）

＝（0.125×

8）2020×

＝12020×

＝1×

＝﹣8．

【点评】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．

【变式3-2】

（2020春•沙坪坝区校级月考）计算82×

42021×

（﹣0.25）2019的值等于　　．

【分析】根据幂的乘方与积的乘方进行计算即可．

原式＝82×

42×

42019×

（﹣0.25）2019

＝82×

（4×

﹣0.25）2019

（﹣1）

＝﹣1024．

故答案为：

﹣1024．

【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，解决本题的关键是利用幂的乘方与积的乘方准确计算．

【变式3-3】

（2019春•城关区校级期中）计算：

）2014×

1.52012×

（﹣1）2014

【分析】根据幂的乘方和积的乘方计算即可．

．

【点评】此题考查幂的乘方和积的乘方，关键是根据幂的乘方和积的乘方解答．

【考点4幂的逆运算】

【例4】

（2019秋•岳麓区校级月考）解答下列问题

（1）已知2x＝a，2y＝b，求2x+y的值；

（2）已知3m＝5，3n＝2，求33m+2n+1的值；

（3）若3x+4y﹣3＝0，求27x•81y的值．

（1）根据同底数幂的乘法法则计算即可；

（2）根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则计算即可；

（3）由3x+4y﹣3＝0可得3x+4y＝3，再据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则计算即可．

（1）∵2x＝a，2y＝b，

∴2x+y＝2x•2y＝ab；

（2）∵3m＝5，3n＝2，

∴33m+2n+1＝（3m）3•（3n）2×

3＝53×

22×

3＝125×

4×

3＝1500；

（3）由3x+4y﹣3＝0可得3x+4y＝3，

∴27x•81y

＝33x•34y

＝33x+4y

＝33

＝27．

【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．

【变式4-1】

（2020春•江阴市期中）

（1）已知m+4n﹣3＝0，求2m•16n的值．

（2）已知n为正整数，且x2n＝4，求（x3n）2﹣2（x2）2n的值．

（1）先根据幂的乘方变形，再根据同底数幂的乘法进行计算，最后代入求出即可；

（2）先根据幂的乘方法则将原式化为x2n的幂的形式然后代入进行计算即可．

（1）∵m+4n﹣3＝0

∴m+4n＝3

原式＝2m•24n

＝2m+4n

＝23

＝8．

（2）原式＝（x2n）3﹣2（x2n）2，

＝43﹣2×

42，

＝32，

【点评】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法．运用整体代入法是解题的关键．

【变式4-2】

（2019春•邗江区校级月考）

（1）若4a+3b＝3，求92a•27b．

（2）已知3×

9m×

27m＝321，求m的值

（1）根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则解答即可；

（2）根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则解答即可．

（1）∵4a+3b＝3，

∴92a•27b＝34a•33b＝33＝27；

（2）∵3×

27m＝3×

32m×

33m＝31+2m+3m＝321，

∴1+2m+3m＝21，

解得m＝4．

【变式4-3】

（2020•河北模拟）若am＝an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m＝n．利用上面结论解决下面的问题：

（1）如果2÷

8x•16x＝25，求x的值；

（2）如果2x+2+2x+1＝24，求x的值；

（3）若x＝5m﹣3，y＝4﹣25m，用含x的代数式表示y．

（1）根据幂的乘方运算法则把8x与16x化为底数为2的幂，再根据同底数幂的乘除法法则解答即可；

（2）根据同底数幂的乘法法则把2x+2+2x+1＝24变形为2x（22+2）＝24即可解答；

（3）由x＝5m﹣3可得5m＝x+3，再根据幂的乘方运算法则解答即可．

（1）2÷

8x•16x＝2÷

（23）x•（24）x＝2÷

23x•24x＝21﹣3x+4x＝25，

∴1﹣3x+4x＝5，

解得x＝4；

（2）∵2x+2+2x+1＝24，

∴2x（22+2）＝24，

∴2x＝4，

∴x＝2；

（3）∵x＝5m﹣3，

∴5m＝x+3，

∵y＝4﹣25m＝4﹣（52）m＝4﹣（5m）2＝4﹣（x+3）2，

∴y＝﹣x2﹣6x﹣5．

【点评】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练利用幂的乘方与积的乘方对式子进行变形．

【考点5巧用幂的运算进行大小比较】

【例5】

（2020春•邗江区校级期中）若m＝272，n＝348，则m、n的大小关系正确的是（　　）

A．m＞nB．m＜n

C．m＝nD．大小关系无法确定

【分析】先根据幂的乘方进行变形，再比较即可．

m＝272＝（23）24＝824，n＝348＝（32）24＝924，

∵8＜9，

∴m＜n，

【点评】本题考查了幂的乘方，能正确根据幂的乘方进行变形是解此题的关键．

【变式5-1】

（2020春•淮阴区期中）比较255、344、433的大小（　　）

A．255＜344＜433B．433＜344＜255

C．255＜433＜344D．344＜433＜255

【分析】根据幂的乘方，底数不变指数相乘都转换成指数是11的幂，再根据底数的大小进行判断即可．

255＝（25）11＝3211，

344＝（34）11＝8111，

433＝（43）11＝6411，

∵32＜64＜81，

∴255＜433＜344．

【点评】本题考查了幂的乘方的性质，解题的关键在于都转化成以11为指数的幂的形式．

【变式5-2】

（2020春•玄武区期中）233、418、810的大小关系是（用＞号连接）　　．

【分析】直接利用幂的乘方运算法则将原式变形，进而比较得出答案．

∵233、418＝236、810＝（23）10＝230，

∴236＞233＞230，

∴418＞233＞810．

【点评】此题主要考查了幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．

【变式5-3】

（2020春•李沧区期中）阅读下列两则材料，解决问题：

材料一：

比较322和411的大小．

解：

∵411＝（22）11＝222，且3＞2

∴322＞222，即322＞411

小结：

指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小

材料二：

比较28和82的大小

∵82＝（23）2＝26，且8＞6

∴28＞26，即28＞82

底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小

【方法运用】

（1）比较344、433、522的大小

（2）比较8131、2741、961的大小

（3）已知a2＝2，b3＝3，比较a、b的大小

（4）比较312×

510与310×

512的大小

（1）根据题目中的例子可以解答本题；

（2）根据题目中的例子可以解答本题；

（3）根据题目中的例子可以解答本题；

（4）根据题目中的例子可以解答本题．

【解答】解；

（1）∵344＝（34）11＝8111，

522＝（52）11＝2511，

∵81＞64＞25，

∴8111＞6411＞2511，

即344＞433＞522；

（2）∵8131＝（34）31＝3124，

2741＝（33）41＝3123，

961＝（32）61＝3122，

∵124＞123＞122，

∴3124＞3123＞3122，

即8131＞2741＞961；

（3）∵a2＝2，b3＝3，

∴a6＝8，b6＝9，

∴a6＜b6，

∴a＜b；

（4）∵312×

510＝（3×

5）10×

32，

310×

512＝（3×

52，

又∵32＜52，

∴312×

510＜310×

512．

【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方、有理数大小比较，解答本题的关键是明确有理数大小的比较方法．

【考点6幂的运算中新定义问题】

【例6】

（2020春•漳州期末）如果xn＝y，那么我们规定（x，y）＝n．例如：

因为32＝9，所以（3，9）＝2．

（1）[理解]根据上述规定，填空：

（2，8）＝　　，（2，

）＝　　；

（2）[说理]记（4，12）＝a，（4，5）＝b，（4，60）＝c．试说明：

a+b＝c；

（3）[应用]若（m，16）+（m，5）＝（m，t），求t的值．

（1）根据规定的两数之间的运算法则解答；

（2）根据积的乘方法则，结合定义计算；

（3）根据定义解答即可．

（1）23＝8，（2，8）＝3，

，（2，

）＝﹣2，

3；

﹣2；

（2）证明：

∵（4，12）＝a，（4，5）＝b，（4，60）＝c，

∴4a＝12，4b＝5，4c＝60，

∴4a×

4b＝60，

4b＝4c，

∴a+b＝c；

（3）设（m，16）＝p，（m，5）＝q，（m，t）＝r，

∴mp＝16，mq＝5，mr＝t，

∵（m，16）+（m，5）＝（m，t），

∴p+q＝r，

∴mp+q＝mr，

∴mp•mr＝mt，

即16×

5＝t，

∴t＝80．

【点评】本题考查的是幂的乘方和积的乘方以及有理数的混合运算，掌握幂的乘方和积的乘方法则是解题的关键．

【变式6-1】

（2020春•仪征市期中）某学习小组学习了幂的有关知识发现：

根据am＝b，知道a、m可以求b的值．如果知道a、b可以求m的值吗？

他们为此进行了研究，规定：

若am＝b，那么T（a，b）＝m．例如34＝81，那么T（3，81）＝4．

（1）填空：

T（2，64）＝　　；

（2）计算：

；

（3）探索T（2，3）+T（2，7）与T（2，21）的大小关系，并说明理由．

（1）根据定义解答即可；

（2）根据定义解答即可；

（3）设T（2，3）＝m，可得2m＝3，设T（2，7）＝n，可得2n＝7，设T（2，21）＝k，可得2k＝21，再根据同底数幂的乘法法则解答即可．

（1）∵26＝64，

∴T（2，64）＝6；

6．

（2）∵

，（﹣2）4＝16，

∴

3+4＝1．

（3）相等．理由如下：

设T（2，3）＝m，可得2m＝3，设T（2，7）＝n，根据3×

7＝21得：

2m•2n＝2k，可得m+n＝k，

即T（2，3）+T（2，7）＝T（2，21）．

【点评】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的乘法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．

【变式6-2】

（2020春•潍坊期中）一般地，n个相同的因数a相乘a•a•…•a，记为an，如2×

2×

2＝23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28＝3）．一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为lognb（即lognb）．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381＝4）．

（1）计算下列各对数的值：

log24＝　　；

log216＝　　；

log264＝　　．

（2）观察

（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式；

（3）由

（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？

（4）根据幂的运算法则：

an•am＝an+m以及对数的含义说明上述结论．

（1）根据题中给出已知概念，可得出答案．

（2）观察可得：

三数4，16，64之间满足的关系式为：

log24+log216＝log264．

（3）通过分析，可知对数之和等于底不变，各项b值之积；

（4）首先可设设M＝am，N＝an，再根据幂的运算法则：

an•am＝an+m以及对数的含义证明结论．

（1）log24＝2；

log216＝4；

log264＝6，

2；

4；

6；

（2）∵4×

16＝64，

∴log24+log216＝log264；

（3）logaM+logaN＝logaMN；

（4）设M＝am，N＝an，

∵

m，

n，

m+n，

logaMN．

【点评】本题是开放性的题目，难度较大．借考查对数，实际考查学生对指数的理解、掌握的程度；

要求学生不但能灵活、准确的应用其运算法则，还要会类比、归纳，推测出对数应有的性质．

【变式6-3】

（2019秋•崇川区校级月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作【a，b】：

如果ac＝b．那么【a，b】＝c

例如因为23＝8．所以【2，8】＝3

（1）根据上述规定，填空：

【4，16】＝　　，【7，1】＝　　【　　，81】＝4

（2）小明在研究这种运算时发现一个现象【3n，4n】＝【3，4】小明给出了如下的证明：

设【3n，4n】＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，所以3x＝4

即【3，4】＝x所以【3n，4n】＝【3，4】请你尝试运用这种方法解决下列问题：

①证明：

【6，45】﹣【6，9】＝【6，5】

②猜想：

【（x+1）n，（y﹣1）n】+【（x+1）n，（y﹣2）n】＝【　　，　　】

（结果化成最简形式）

（2）①根据同底数幂的乘法法则，结合定义证明；

②根据例题和①中证明的式子作为公式进行变形即可．

（1）因为42＝16，所以【4，16】＝2．

因为70＝1，所以【7，1】＝0．

因为（±

3）4＝81，

∴【±

3，18】＝4，

0；

±

（2）①证明：

设【6，9】＝x，【6，5】＝y，则6x＝9，6y＝5，

∴5×

9＝45＝6x•6y＝6x+y，

∴【6，45】＝x+y，

则：

【6，45】＝【6，9】+【6，5】，

∴【6，45】﹣【6，9】＝【6，5】；

②∵【3n，4n】＝【3，4】，

∴【（x+1）m，（y﹣1）m】＝【（x+1），（y﹣1）】，【（x+1）n，（y﹣2）n】＝【（x+1），（y﹣2）】，

∴【（x+1）m，（y﹣1）m】+【（x+1）n，（y﹣2）n】，

＝【（x+1），（y﹣1）】+【（x+1），（y﹣2）】，

＝【（x+1），（y﹣1）（y﹣2）】，

＝【（x+1），（y2﹣3y+2）】．

x+1，y2﹣3y+2．

【点评】本题考查的是新定义的理解和掌握，还考查了同底数幂的乘法以及有理数的混合运算，弄清题中的新运算是解本题的关键．

【考点7整式的乘法】

【例7】

（2020春•新邵县期末）在一次数学课上，学习了单项式乘多项式，小明回家后，拿出课堂笔记本复习，发现这样一道题：

﹣3x（﹣2x2+3x﹣1）＝6x3﹣9x2+□，“□”的地方被墨水弄污了，你认为“□”内应填写（　　）

A．1B．﹣1C．3xD．﹣3x

【分析】单项式与多项式相乘的运算法则：

单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．

﹣3x（﹣2x2+3x﹣1）＝6x3﹣9x2+3x．

【点评】考查了单项式乘多项式，单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：

①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；

②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；

③注意确定积的符号．

【变式7-1】

（2019春•灌阳县期中）已知（﹣x）（2x2﹣ax﹣1）﹣2x3+3x2中不含x的二次项，则a的值是（　　）

A．3B．2C．﹣3D．﹣2

【分析】先进行单项式乘多项式，再合并得到原式＝﹣4x3+（a+3）x2+x，然后令二次项的系数为0即可得到a的值．

（﹣x）（2x2﹣ax﹣1）﹣2x3+3x2＝﹣2x3+ax2+x﹣2x3+3x2

＝﹣4x3+（a+3）x2+x，

因为﹣4x3+（a+3）x2+x不含x的二次项，

所以a+3＝0，

所以a＝﹣3