六年级思维专项训练21构造型问题原卷+解析.docx
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六年级思维专项训练21构造型问题原卷+解析
六年级思维训练21构造型问题
1.如右图所示，一个正方体的12条棱分别被染
成红色和蓝色，每个面至少要有一条边是红色的，最少有条边是红色的。
A
.6B.5C.4D.3
2.在阿简所拥有的枝条中，有九根为一厘米长，六根为2厘米长及三根为4厘米长。
已知阿简必须用尽所有的枝条，问：
她能造多少个长方形？
（1）无法造
（2）一个（3）两个
（4）三个（5）以上各项皆否
3.在1、2、3、4、…、2002、2003这2003个自然数中，
（1）最多可以取出多少个数，使得其中任意两个数的和都是160的倍数？
（2）写出你所取的所有数。
4.一
版邮票有20行20列，共400张，称由3张同一行或同一列相连的邮票组成的叫“
三联”
，他能最多剪块。
5.如下图所示，将1,2,3，…，8分别放在正方体的8个顶点上，使得每一个面上的任意3个数的和都不大于17，这时每一个面上4个数的和最大是，并且填出一种放法。
6.阿凡达有一个出了故障的计算器，当打开电源时，视窗上显示数字0.如果按下“＋”键则它会加上51；按下“一”键则它会减去51；按下“×”键则它会加上85
；按下“÷”键则它会减去85；而其他的按键则无效。
阿凡达打开计算器电源，任意操作上述按键，那么他可以得到最接近2010的数是。
7.已知AB为圆O的直径、P为园外一点，如下图所示。
证明PA＋PB＞2PO。
8.有一张纸条上写有16个1.3和18个1.23，划去其中一些数，使留下来的数的总和为19.96，应当划去个1.3和1.23。
9.某国家的通用硬币有50元、20元、10元、5元、1元等五种。
小李宣称
无论别人拿100元、50元、20元、10元或5元来向他换零钱，他都无法用口袋里的零钱办到（同样的硬币换同样的硬币不算更换）。
请问小李口袋里的硬币至多有多少元？
10.已知自然数n具有如下性质：
（1）它的每一位数字都是1,2,3中某一个；
（
2）从自然数n中任意截取相邻的两位，可以得到一个两位数。
在所有截取出的两位数中，任意两个数都互不相同。
请问所有满足条件的自然数n最多可能有几位？
请证明你的结论。
11.如下图所示，每个小正方形的边是一根火柴棒，图中共有根火柴棒，共有个正方形，至少去掉根火柴棒，才能破坏掉所有的正方形。
12.将1、2、3、4、5、6写在一圆圈周上，然后把圆周上连续三个数之和写下，则可得到六个数a1、a2、a3、a4、a5、a6，将这六个数中最大值记为A。
请问在所有填写方式中，A的最小值是什么？
13.将编号为1到1000的瓶子依次排在一个圆上。
从1号瓶子开始放入一颗糖果，接着每间隔14个瓶子后，在下一个瓶子内再放入一颗糖，因此在1、16、31、…号瓶内放入糖。
当在991号瓶放入糖后，下次放入糖的瓶子为6号，并继续每间隔14个瓶子后，在下一个瓶子内再放入一颗糖。
依此方式一直操作下去，直到再也无法于没有放糖的瓶子内放入糖为止。
请问最后这个圆上共有多少个瓶子没有糖？
14.有3部卡片打印机。
第一部能根据原有卡片上的号码（a，b），打印一张号码为（a＋1，b＋1）的卡片；第二部则当原号码（a，b）中a和b二数皆为偶数时，打印一张号码为（
，
）的卡片；第三部根据两张号码分别为（a，b）和（b，c）的卡片，打印一张号码为（a，c）的卡片。
打印过后，原有卡片和新卡片全部归顾客所得，试问：
能否利用这三部打印机，由一张卡片为（
4，11）的卡片。
（1）得到号码为（1，22）的卡片？
（2）得到号码为（411，2004）的卡片？
若能，请给出一种打印方法；如不能，请说明理由。
15.8支足球队参加一次足球联赛，要求任何两支球队都要进行一场比赛，并且规定：
每场比赛获胜可以得2分，打平可以得1分，输了则只能得到0分。
若一支球队要确保进入前3名（也就是它的得分至少比5支球队高），至少应该积分。
16.今有长度分别为1厘米、2厘米、3厘米、…、9厘米长的木棍各一根（规定不许折断），从中选用若干根组成正方形，可有种不同方法。
17.下图是一张纸片上标注了相应线段的长度，请将它剪成三块，然后拼成一个大正方形。
18.将1、
2、3、…、16等十六个数分成二组，每组8个数，使得每一组中任两个数之和（共有28个和）都可以等于另一组中两个数的和。
请任写出其中一组的数。
19.在9×9的方格表的每个小方格中都有1只甲虫。
听到哨声后，每一只甲虫都沿对角线方向迁移到一个相邻方格中（如右图所示）。
这样一来，有些方格中就可能有好几只甲虫，而另一些方格中则没有甲虫。
求没有甲虫的空格的最
小可能个数。
20.如下图所示，字母A、B、C、D、E、F、G、H所代表的顶点分别代表1,2,3,4,5,6,7,8这八个数字中的一个，将每条线段上都写上该线段的两个端点字母所代表的数字之和，设这12条线段上最多能出现m个不同的和数，最少能出现n个不同的和数，那么m＋n＝？
21.请在10厘米×10厘米的正方形四个边上的每一个点都涂
上红、蓝、黑三种颜色的一种，使得任两个距离恰为10厘米的点所涂上的颜色互不相同。
（每个交界点或每条线段必须正确标明颜色才算全对）
22.沿某条直线将一块1000边形（不一定是凸的）的厚纸板切割一次，将它分成了若干个新多边形，问其中最多有多少个三角形？
六年级思维训练21构造型问题
参考答案
1.如右图所示，一个正方体的12条棱分别被染成红色和蓝色，每个面至少要有一条边是红色的，最少有条边是红色的。
A.6B.5C.4D.3
【答案】：
D
【分析】：
长、宽、高各选一条染红色，且被染成红色的长、宽、高均不在同一平面即可。
2.在阿简所拥有的枝条中，有九根为一厘米长，六根为2厘米长及三根为4厘米长。
已知阿简必须用尽所有的枝条，问：
她能造多少个长方形？
（1）无法造
（2）一个（3）两个
（4）三个（5）以上各项皆否
【答案】：
（1）
【分析】：
长方形的长为a，宽为b，那么长方形的周长为2a＋2b，一定是2的倍数，但是该题中要求用尽所有的枝条，所有枝条的长度和为9×1＋6×2＋3×4＝33（厘米），是奇数，所以矛盾，无法造。
3.在1、2、3、4、…、2002、2003这2003个自然数中，
（1）最多可以取出多少个数，使得其中任意两个数的和都是160的倍数？
（2）写出你所取的所有数。
【答案】：
（1）13
（2）80，240，400，560，720，880，1040，1200，1360，1520，1680，1840，2000
【分析】：
因为选出的数中任意两个数的和都是160的倍数，那么有两种情况，第一种：
这些数都是160的倍数，第二种：
这些数除以160的余数都是80.从1--2003之间，满足第一种情况的数共有[
]＝12（个）。
满足第二种情况的数共有13个，所以最多为13个。
4.一版邮票有20行20列，共400张，称由3张同一行或同一列相连的邮票组成的叫“三联”，他能最多剪块。
【答案】：
133
【分析】：
400÷3＝13
3……1，所以最多可以剪出133块“三联”。
5.如下图所示，将
1,2,3，…，8分别放在正方体的8个顶点上，使得每一个面上的任意3个数的和都不大于17，这时每一个面上4个数的和最大是，并且填出一种放法。
【答案】：
20，填法如右图
【分析】：
令正方体上四数和最大的一面四个数分别为a、b、c、d，则其中3数和分别
为a＋b＋c，a＋b＋d，a＋c＋d，b＋c＋d四个和，显然这四个和为不同的自然数，因每一个面上的任意3个数的和都不大于17，则这四个和最大为17、16、15、14，此时四个和的总和为17＋16＋15＋14＝62，a、b、c、d各加3次，则a＋b＋c＋d≤
，即a＋b＋c＋d的最大值为20.然后经过简单枚举，可得如图填法，此时每一个面上4个数的和最大是20.
6.阿凡达有一个出了故障的计算器，当打开电源时，视窗上显示数字0.如果按下“＋”键则它会加上51；按下“一”键则它会减去51；按下“×”键则它会加上85；按下“÷”键则它会减去85；而其他的按键则无效。
阿凡达打开计算器电源，任意操作上述按键，那么他可以得到最接近2010的数是。
【答案】：
2006
【分析】：
该题关键在于发现51与85均为17的倍数，因为初始显示是0，那么不管怎么按＋，－，×，÷四个按键，得到的一定是17的倍数，而最接近2010的17的倍数为2006，并且2006＝17×118是可以操作出来的。
如按23次“×”键，再按一次“＋”键。
7.已知AB为圆O的直径、P为园外一点，如下图所示。
证明PA＋PB＞2PO。
【答案】：
见分析。
【分析】：
如右图所示，延长PO使得PO＝
O，连接
B、
A。
则可知PA
B为平行四边形且P
＝2PO、B
＝PA。
再观察△P
B后可知PB＋B
＞P
，即PA＋PB＞2PO。
8.有一张纸条上写有16个1.3和18个1.23，划去其中一些
数，使留下来的数的总和为19.96，应当划去个1.3和1.23。
【答案】：
12，6
【分析】：
要求留下来的数的和为19.96，因为1.3对于小数点后面第二位没有影响，所以要求留下
2个1.23或者12个1.23才能保证小数点后第二位是6.如果是2个，那么留下的若干个1.3的和为19.96－2.46＝17.5，不可能是1.3的倍数。
那么如果是12个1.23，则留下的若干个1.3的和为19.96－12×1.23＝5.2，即为4个1.3，所以划去16－4＝12个1.3,18－12＝6个1.23.
9.某国家的通用硬币有50元、20元、10元、5元、1元等五种。
小李宣称无论别人拿100元、50
元、20元、10元或5元来向他换零钱，他都无法用口袋里的零钱办到（同样的硬币换同样的硬币不算更换）。
请问小李口袋里的硬币至多有多少元？
【答案】：
139
【分析】：
本题可以分步讨论：
第一步，由于5元无法兑换成功，所以1元最多4个；第二步，由于10元无法兑换成功，所以5元最多有1个；第三步，由于20元无法兑换成功，所以10元最多只有1个；第四步，由于50元无法兑换成功，所以要么做多有4个10元，要么就是没有10元，而有任意多个20元；第五步，由于100元无法兑换成功，所以50元最多有一个，20元最多有4个。
综上所述可以知道：
50元有1个，20元有4个，5元有1个，1元有4个时小李口袋内钱数最多，即139元。
10.已知自然数n具有如下性质：
（1）它的每一位数字都是1,
2,3中某一个；
（2）从自然数n中任意截取相邻的两位，可以得到一个两位数。
在所有截取出的两位数中，任意两个数都互不相同。
请问所有满足条件的自然数n最多可能有几位？
请证明你的结论。
【答案】：
10
【分析】：
①由数字1、2、3组成的两位数有3×3＝9个，分别是：
11、12、13、21、22、23、31、32、33.
②截取出的两位数中，任意两个数互不相同，所以自然数最多可能有9＋1＝10位。
③构造出这样的10位数来：
1122331321（这样的10位数不唯一）
④如果任给一个10位以上的数，就可以得到9个以上由1、2、3组成的两位数，根据抽屉原理，必能找到2个或2个以上相同的数。
所以，自然数最多有10位。
11.如下图所示，每个小正方形的边是一根火柴棒，图中共有根火柴棒，共有个正方形，至少去掉根火柴棒，才能破坏掉所有的正方形。
【答案】：
40；30
；9
【分析】：
有4×5×2＝40（根）火柴棒，4×4＋3×3＋2×2＋1＝30（个）正方形。
一共有16个小正方形，每去掉一根火柴棒最多破坏两个小正方形，至少要去掉8根，但是要破坏最大的正方形要去掉边上的火柴棒，而去掉边上的火柴棒只能破坏1个小正方形，所以至少要去掉9根火柴棒，构造如右图。
12.将1、2、3、4、5、6写在一圆圈周上，然后把圆周上连续三个数之和写下，则可得到六个数a1、a2、a3、a4、a5、a6，将这六个数中最大值记为A。
请问在所有填写方式中，A的最小值是什么？
【答案】：
11
【分析】：
因为
＋
＋
＋
＋
＋
＝3×（1＋2＋3＋4＋5＋6）＝63，所以最大值A一定不小于这六个数的平均数63÷6＝10.5，从而最大值A一定不小于11.另外如果圆周按照6，1，4，5，2，3的顺序排列，那么最大值A刚好就是11，于是A的最小值是11.
13.将编号为1到1000的瓶子依次排在一个圆上。
从1号瓶子开始放入一颗糖果，接着每间隔14个瓶子后，在下一个瓶子内再放入一颗糖，因此在1、16、31、…号瓶内放入糖。
当在991号瓶放入糖后，下次放入糖的瓶子为6号，并继续每间隔14个瓶子后，在下一个瓶子内再放入
一颗糖。
依此方式一直操作下去，直到再也无法于没有放糖的瓶子内放入糖为止。
请问最后这个圆上共有多少个瓶子没有糖？
【答案】：
800
【分析】：
根据题意，我们发现第一圈的时候放入糖的瓶子的编号数有这样的特点，除以15余数为1.大于1000的且除以15余数为1的第一个数是1006，那么第二圈第一个放入糖的编号为6，所以编号数除以1
5余数为6的瓶子也都会放入糖，类似的大于1000的且除以15余数为6的数是1011，那么第三圈编号数除以15余11的瓶子会放入糖，以此类推，可发现，下一圈又是除以15余数为1的瓶子放入糖
，那么我们发现只有编号数除以15余1、6、11的瓶子有糖。
1000÷15＝66……10，有糖的瓶子数目为66×3＋2＝200（个），则没有糖的瓶子数目是1000－200＝800（个）。
14.有3部卡片打印机。
第一部能根据原有卡片上的号码（a，b），打印一张号码为（a＋1，b＋1）的卡片；第二部则当原号码（a，b）中a和b二数皆为偶数时，打印一张号码为（
，
）的卡片；第三部根据两张号码分别为（a，b）和（b，c）的卡片，打印一张号码为（a，c）的卡片。
打印过后，原有卡片和新卡片全部归顾客所得，试问：
能否利用这三部打印机，由一张卡片为（4，11）的卡片。
（1）得到号码为（1，22）的卡片？
（2）得到号码为（411，2004）的卡片？
若能，请给出一种打印方法；如不能，请说明理由。
【答案】：
（1）可以。
（2）不可以。
【分析】：
（1）通过第一部打印机打出（11，18），通过第三部打印机打出（4，18），通过第二部打印机打出（2，9）；通过第一部打印机打出（9，16），通过第三部打印机打出（2，16），通过第二部打印机打出（1，8），再经过第一部打印机打出（8，15）和（15，22），再通过第三部打印机打出（1，22）。
（2）根据三部打印机的特点，我们发现第一部打印机因为同时加1，所以不会改变原卡片的两个数字差，假设这个数字差为x，第三部打印机可以将这个数字差扩大n倍。
如果原始数字差x为奇数，那么第二部打印机不能直接处理，因为两个数不可能同为偶数，最终也不会改变数字差x的大小。
而如果原始数字差为偶数，那么就可以发生改变，产生新的数字差y，x＝2y。
依据以上原则进行递推，该题中原始数字差22－1＝21，为7的倍数，所以是可以的。
又因为2004－411＝1593不是7的倍数，所以第二张卡片是打不出来的。
15.8支足球队参加一次足球联赛，要求任何两支球队都要进行一场比赛，并且规定：
每场比赛获胜可以得2分，打平可以得1分，输了则只能得到0分。
若一支球队要确保进入前3名（也就是它的得分至少比5支球队高），至少应该积
分。
【答案】：
12
【分析】：
首先可以说明当得11分时，无法确保进入前3名。
不妨设这8个球队为1--8号，其中1--4号队在比赛时互相都是平分，而他们在对阵5--8号球队时均保持全胜，这样1--4号球队就均获得11分。
这就说明获得11分无法保证进入前3名。
而当有一个队获得12分时，不妨设此队为1号队，则存在两种可能：
（1）1号队取得了6场胜利，此时在输给1号队的六只队中最多只有一支球队的得分能达到12分，因此1号队一定能进前3名；
（2）1号队取得了5场胜利和2场平局，则又存在两种可能：
①败给1号队的五支球队中只有至多一支的得分达到12分，而当这支球队的得分达到12分时，其余各队的得分将无法达到12分，此时1号队至少是第二名；
②败给1号队的五支球队中没有一支的得分达到12分，这样1号队的得分一定能够进前3名。
16.今有长度分别为1厘米、2厘米、3厘米、…、9厘米长的木棍各一根（规定不许折断），从中选用若干根组成正方形，可有种不同方法。
【答案】：
9
【分析】：
这些木棍的总长度为（1＋9）×9÷2＝45（厘米），选出若干根构成正方形，假设边长为a。
那么我们可得，a不超过11厘米。
a＝11时，（9，2）、（8，3）、（7，4）、（6，5）
a＝10时，（9，1）、（8，2）、（7，3）、（6，4）
a＝9时，9、（8，1）、（7，2）、（6，3）、（5，4）中选出4个即可，有5种方法。
a＝8时，8、（7，1）、（6，2）、（5，3）
a＝7时，7、（6，1）、（5，2）、（4，3）
a＝6时，不能构造出。
则共9种方法。
17.下图是一张纸片上标注了相应线段的长度，请将它剪成三块，然后拼成一个大正方形。
【答案】：
如上图所示
【分析】：
图形的面积为4×（4＋4＋2）÷2＋（4＋4＋2＋10）×8÷2＝100,100＝10×10，所以拼得的正方形边长为10.实验可构造出如上图所示的正方形。
18.将1、2、3、…、16等十六个数分成二组，每组8个数，使得每一组中任两个数之和（共有28个和）都可以等于另一组中两个数的和。
请任写出其中一组的数。
【答案】：
16，13，11，10，7，6，4，1
【分析】：
我们假设为A、B两组。
不妨设16属于a组，那么15只能属于b组，不然a组中15＋16＝31，b组不可能有两个数和是31，类似的14也只能属于b组。
研究13，因为b组中15＋14＝29,13必须属于a组，否则a组中凑不出29.再看12，如果12属于a组，那么12＋16＝28，则b组中凑不出28来，因此12属于b组。
以此类推可得最终结果。
19.在9×9的方格表的每个小方格中都有1只甲虫。
听到哨声后，每一只甲虫都沿对角线方向迁移到一个相邻方格中（如右图所示）。
这样一来，有些方格中就可能有好几只甲虫，而另一些方格中则没有甲虫。
求没有甲虫的空格的最小可能个数。
【答案】：
9个
【分析】：
如右图所示，将9列方格交替地涂上黑色与白色，使得每列方格同色，每相邻两列方格异色。
于是在迁移过程中，白格中的甲虫进入黑格，而黑格中的甲虫进入白格。
但表格上有36个白格和45个黑格，故知迁移之后至少有9个黑格中没有甲虫，即至少有9个空格。
另外，若甲虫的迁移按图中所示的情形进行。
显然，表格中恰有9个空格，即画有对号的9个方格。
综上可知，表格中最少有9个空格。
20.如下图所示，字母A、B、C、D、E、F、G、H所代表的顶点分别代表1,2,3,4,5,6,7,8这八个数字中的一个，将每条线段上都写上该线段的两个端点字母所代表的数字之和，设这12条线段上最多能出现m个不同的和数，最少能出现n个不同的和数，那么m＋n＝？
【答案】：
16
【分析】：
如下图所示，每个顶点均和其他三个数相连，而与同一顶点相连的这三个数两两互不相连。
12条线段的和数相加应为（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8）×3＝108.
如果12条线段能够出现12个不同的和数，其中最小的和数为1＋2＝3，已知3＋4＋5＋6＋……＋14＝12,108－102＝6，即最小可以把9换为15，而3、4、5、6、7、8这六个和数必须有。
3只能为1＋2，4只能为1＋3，5可以拆为2＋3或1＋4，但2、3同时与1相连，所以2、3不相连，那么只能拆成1＋4。
6可以拆为2＋4或1＋5，但2和4同时与1相连，所以2、4不相连；1已经和2、3、4三个数相连，不能再和5相连，6无法再分拆，所以无法出现12个不同的和数，即m≤11.
已知1和三个不同数相连，那么它最大只能和8相连，即最大会出现9；而8最小只能和1、2、3三个数相连，最小会出现9，所以1和8周围最少出现5个和数，即n≥5.
以下为m＝11和n
＝5的构造方法。
综上，m＋n＝16.
21.请在10厘米×10厘米的正方形四个边上的每一个点都涂上红、蓝、黑三种颜色的一种，使得任两个距离恰为10厘米的点所涂上的颜色互不相同。
（每个交界点或每条线段必须正确标明颜色才算全对）
【答案】：
见分析
【分析】：
如上图所示，令这个正方形为ABDC。
分别在AC、CD上取P、S使得△PCS是等腰直角三角形且其斜边PS长度为10，再分别在AB、BD上取Q、R使得QBR是等腰直角三角形且其斜边QR长度为10,。
则可用以下涂法：
（1）将BQ、BR（包含R点但不包含Q点）涂蓝色。
（2）将PC、CS（包含S点但不包含P点）涂黑色。
（3）将AP、AQ（包含P与Q点）与DS、DR（不包含S与R点）涂红色。
这是因为利用此涂法，可知：
（1）若两点皆为蓝色时，必在△QBR的BQ、BR边上，但因在△QBR内距离为10厘米的两点恰为Q、R两点，故两点皆为蓝色时其距离必小于10厘米。
（2）若两点皆为黑色时，必在△PCS的PC、CS边上，但因在△PCS内距离为10厘米的两点恰为P、S两点，故两点皆为黑
色时其距离必小于10厘米。
（3）若两点皆为红色时，必在六边形PSDRQA的AP、AQ、DS、DR边上。
若两点是同时在AP、AQ上或DS、DR上，则其距离必小于10；若是一点在AP或AQ上且另一点在DS或DR上，则其距离必大于10厘米。
故两点皆为红色时其距离必不为10厘米。
22.沿某条直线将一块1000边形（不一定是凸的）的厚纸板切割一次，将它分成了若干个新多边形，问其中最多有多少个三角形？
【答案】：
501个
【分析】：
将下图所示的1000边形沿虚线切开，可得501个三角形。
注意，在切得的每个三角形中，有一边是切口，另两边是从原多边形的相邻两边上切下来的。
而且位于切口两侧的所有三角形，它们的边除切口外，都来自原多边形的不同的边；位于切口两侧的两个三角形。
仅当它们同为最左或最右的三角形时，才可能各有1条边是原多边形的同一条边切成的。
因此，多边形至多能被切出
＋1个三角形。
综上可知，1000边形最多可切出501个三角形。
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