高等代数教学笔记3行列式 l+ II.docx

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高等代数教学笔记3行列式l+II

高等代数教学笔记3：

行列式I

1994年,一个叫夏侯惇,呃......不,Sheldon的人（不知道是不是“生活大爆炸”里的那位）,写了一篇文章,题目是Downwithdeterminant,后来发展成一本书《Linearalgebradoneright》.他抛弃了行列式这个概念,把高等代数的内容重新写了一遍,最后一章才给出行列式的定义. 理由是很多书上的行列式定义不自然,并且高等代数的大部分内容不需要行列式也可以讲.这至少给了我们两点启迪:

一是行列式的定义应该尽可能自然地引入,二是在学习高等代数的时候我们可以使用行列式,不过随时需要考虑一下,不用行列式如何得到类似的结论.不过,我个人还是喜欢讲行列式.

首先,行列式具有传奇色彩,它是日本数学家关孝和在1683年首先提出,十年后德国数学家Leibniz又独立提出的.有趣的是,有证据表明,关孝和当时已经有了微积分的思想,这与Leibniz以及Newton不谋而合.看起来,代数和分析是有千丝万缕的联系的,实际上也是这样,比如分析中做变量替换就涉及到Jacobi行列式,而前文提到的多项式的导数却是从微积分里来的.

其次,行列式的概念还是非常有用的,涉及到代数中的解方程组,分析中的Jacobi行列式,几何中的平行四边形和平行六面体体积,外代数的最高次外积,群表示论的导火线——群行列式等等.

最重要的是,行列式作为一个数学对象,本身没有太复杂的理论背景,它的提出和探索过程很有启发性,这是数学家们进行数学研究或者数据处理的一个典范,启发我们怎么从一堆纷繁复杂的数据中找出有用的信息.或许,如今热门的大数据学科可以给被Sheldon打倒的行列式正个名,把其发现者关孝和与Leibniz奉为大数据的祖师爷.

二、三阶行列式

行列式是从线性方程组求解中发展出来的,所以初学者必须自己动手算一算以下的几个问题.我每次讲的时候都会花挺长时间展示如下的二元、三元一次方程组的求解过程,不厌其烦地展示其中的细节,希望学生们能从中得到启发,理解行列式为什么会被提出.不过效果并不太理想,因为不少学生并不在乎问题的起源,也不耐烦从繁琐的计算过程中寻找有用的线索,而这其中不乏一些刻苦用功而事倍功半的学生.

问题1判断二元一次线性方程组

何时有唯一解,并求解的表达式.

这个问题自然很简单,不过它的解答蕴含着规律,数学研究在很大程度上都是在探索规律.中学生就可以尝试做一做的,毕竟我们没必要每次遇到二元一次方程组时都用消元法求解.实际上,三十多年前的中学课本上是有求解公式的.我们需要引入一个很关键的记号——二阶行列式,即

利用二阶行列式可以把解写得非常整齐,推理完了可以好好欣赏一下其中展现的数学之美.如果不觉得解的表达式漂亮,可能是没有把解写得很对称,可以调整一下,当然更可能是审美观念的问题.

为了找到一般规律,我们需要再研究一下三元一次方程组.其实很多很漂亮的结论并不是一开始就被想到,大部分是经过了长期的摸索,删繁就简,去伪存真后才得到现在的样子.这个过程常常被忽略,但对于初学者还是应该走一走.

问题2解三元一次线性方程组

在有唯一解的情况下求出解的表达式.

可以利用二元情形的结论,把

看作已知的,利用后两个方程求出

（用二阶行列式来表达）,再代入第一个方程解出

.在这个过程中尽量保持二阶行列式,不要展开.这个过程很简单,但是会启发我们定义三阶行列式为

这样就得到了

以及

的非常漂亮的表达式,同样值得好好欣赏,因为这时候可以看出规律性越来越明显.

需要注意的是,在这个过程中需要处理二阶行列式,比如

这里蕴含了行列式计算的拆项、提取系数、交换行列等几大法宝:

（1） 一个行列式可以拆成两个行列式; 

（2）行列式的一列的共同倍数可以提出来; （3）两列互换,行列式变号. 

类似地,也可以用前两个方程或第一、三个方程来求解,这样会得到行列式的其他两种定义,分别是按照第二行或第三行定义的.

n阶行列式:

按第一行展开和完全展开

三阶行列式是通过二阶行列式来定义的,涉及的二阶行列式都是这个三阶行列式去掉一行一列之后得到的.为了方便,我们把去掉第i行第j列后得到的行列式记为

称为元素 

 的余子式,于是三阶行列式可以简记为

很自然地想到:

对于一般的含n个未知量n个方程的线性方程组,如果存在唯一解,则可以通过定义行列式来求解.我们把线性方程组的系数排列成矩形

称为n阶方阵,记为A.以后会考虑行数和列数不相等的矩阵.方阵A的n阶行列式记为|A|,可以按照三阶情形推广如下.

定义3 （行列式按第一行展开）

上述行列式的定义只是一个递推关系,我们有必要了解一下其通项公式,这就需要把行列式完全展开.我们还是要从三阶行列式看起.

问题4三阶行列式的完全展开式为

这里需要注意的是,展开式中一共有6=3!

项,其中正负单项各半.展开式中每一个单项的行标都是1,2,3,列标是1,2,3的所有排列,自然,每个单项前面的正负号与排列有关系.这也是一个寻找规律的过程,也需要充分的耐心.其中的规律是与排列的逆序数或者奇偶性有关.这里不想解释逆序数,每本高代书上都有. SimonSingh的《费马大定理》上记录了一个与逆序数有关的有趣游戏.

问题5（行列式的完全展开）

其中求和取遍1,2,···,n的所有排列

表示该排列的逆序数.

很多书上都是先讲逆序数,然后用完全展开式来定义行列式.我很不喜欢这种定义方式,因为完全看不出逆序数是干什么的,而行列式的意义又在哪里!

逆序数与行列式的表达式的内在联系是在对行列式的研究中发现的,而不是直接想到用逆序数来定义行列式,这不合乎逻辑,就像著名的Fibonacci数列,它的递推关系非常简单,但通项公式比较复杂,没人会直接用通项公式来定义Fibonnaci数列.

行列式的计算

从两个定义（按第一行展开和完全展开）可以看出,计算行列式并不是一件容易的事.不过我们还是可以计算一些特殊的行列式,用任何一个定义都可以试试, 体会一下其中的异同.

问题6计算如下行列式|A|:

上述几个行列式有对称性,这与正方形的对称性有关系.

问题7正方形绕某条直线反射或绕某个点旋转一个角度后得到的图形与原图形重合,则这个反射或旋转称为正方形的一个对称.

（1）试求正方形的所有对称;

（2）对任何n阶行列式|A|,利用正方形的所有对称可以得到很多新的行列式, 试求它们之间的关系.

稍微复杂一点的行列式有

问题8计算n阶行列式.

（1） 

（2）   （Fibonacci数列的第n+1项）

这些都是先求递推关系,再通过递推关系求通项公式.详见“代数学发展史:

线性空间”一文.这表明我们熟悉的很多东西都可以用至少形式上简单的行列式来表达.又如上一章学到的多项式也可以表示成行列式.

问题9证明:

这个问题非常重要,因为它把首一多项式与行列式以及后文的矩阵（上面的行列式中把x取成0所得到的矩阵）联系起来了,在后续课程中经常出现,也是解决代数数论一些问题的关键.

正如引言部分所说,代数与分析是有千丝万缕的联系的, 行列式也可以和分析学联系起来,比如与三大中值定理的关系.

问题10设f（x）,g（x）,h（x）在[a,b]上连续,在（a,b）内可导,利用Rolle中值定理证明:

存在ξ∈（a,b）使得

试由此证明:

（1）（Lagrange中值定理）如果f（x）在[a,b]上连续,在（a,b）内可导,则存在ξ∈（a,b）使得f（b）−f（a）=f′（ξ）（b−a）;

（2）（Cauchy中值定理）如果f（x）,g（x）在[a,b]上连续,在（a,b）内可导,且对任意x∈（a,b）, 

则存在ξ∈（a,b）使得f（b）−f（a）

n阶行列式:

按第一列展开

为了计算更多的行列式,我们还需要行列式的一些性质,这其实也是我们研究任何一个数学对象时必须要走的路. 让我们回到三元一次方程组的求解.我们可以通过几个方程的加减消元, 把

消去得到只有

的方程.这个过程实际上是把三个方程各乘一个系数再加在一起使得

的系数都变为零!

问题11求 

 使得

过程有点繁琐,但并不难,值得尝试!

结论是取

或其倍数即可!

 但是不要直接验证,而是探索一下这个结论是怎么得到的. 

进一步有

问题12 

这个等式表明,三阶行列式的行与列有对称性!

于是可以看出行列式有第三种定义方式:

问题13（行列式按第一列展开）n阶行列式可以定义为

或者

这个定义预示着行列式的行列地位是相当的,直接证明它与前两个定义的等价性并不容易,需要注意到如下问题,用完全展开式可以很容易证明.

问题14转置（所有的行与列互换）不改变行列式.

行列式的几何意义

有一件与行列式相关的非常值得做的事情,详情可以参考我参编的《高代代数与解析几何》一书.

问题15平面直角坐标系中,给定平面矢量

（1）求α与β的夹角;（由此可以自然引出平面矢量的内积的定义）

（2）求α与β张成的平行四边形面积.（行列式与面积）

这个过程推广到三维有:

问题16给定立体空间的矢量

（1）求α,β的夹角;（空间矢量的内积）

（2）求α,β张成的平行四边形面积;（空间矢量的外积）（3）求α,β,γ张成的平行六面体体积.（行列式、混合积与体积）

高等代数教学笔记3：

行列式II

行列式的计算（II）

现在我们可以看一些典型行列式的计算了.行列式的计算除了使用前面提到的完全展开、按某一行（列）展开、按某些行（列）展开以及行列初等变换的几个性质,常见的行列式计算技巧有递推关系、拆项（把某一行或列拆开为两行（列））、镶边（增加一行一列把行列式化成高一阶的）,很多书上都有相关例题,不再赘述.这里仅选择几个有背景的行列式的计算.

前文提到了Vandermonde行列式,它在Lagrange插值公式中有应用.以后我们会发现,Vandermonde行列式还有另一个作用:

我们可以随心所欲写下任意阶数的非零行列式,当然这样的行列式不能是简单的对角形或上、下三角形的.Vandermonde行列式的计算有不同的方法,其中之一是把它看成一个多元多项式,利用行列式的性质去寻找这个多项式的公因式.类似的方法可以用在很多地方.我们举几个例子.先看一个简单的.

题3.32计算行列式:

行列式

（1）很典型,

（2）是其众多变形之一.

（1）的计算方法也很多:

行列变换、拆项、镶边等等.当然也可以用多项式的方法:

容易看出来行列式是一个一元n次首一多项式f（x）,而f（a）=0,因此x−a是f（x）的一个根.以后学到矩阵的秩的时候,我们很容易看出a是f（x）的至少n−1重根,这一点现在也可以得到,只要利用多项式的导数即可.在这里就需要知道, 对行列式求导实际上是对每列（或行）分别求导得到n个行列式,再把它们加起来就行.这就说明 x−a是f（x）的（至少）n−1因式.n次多项式最多有n个根,于是需要求出最后一个根.一种方法是把其他行都加到第一行就可以得到−（n−1）a也是f（x） 的根;另一种方法是利用Vieta定理,所有根的和是f（x）的n−1项系数的相反数,而此时这个系数为0（为什么?

）.这里又蕴含了矩阵的另一个重要概念——迹, 也就是对角元素的和,学到相关概念时再回头看看,可以达到温故知新的功效.

像上述问题中这样的对角线上有未知量、其他位置都是常数的行列式我们会经常遇到,这就是后面要着重研究的矩阵的特征行列式（特征多项式）.比如前面已经提到过的

1978年,中科院的一道高等代数考研试题与如下的行列式问题本质上是一样的,这也是许以超先生的书上的习题.

问题3.33计算行列式

这个复杂的行列式的结果出人意料的简单:

.的确可以通过一些行列变换把这个行列式降阶从而找到规律.不过,这样生硬的计算方式会把这个问题的神奇的背景掩盖了!

这个问题实际上与Lie代数有关,去掉对角线上的x所得的矩阵实际上是一个幂零矩阵,也就是它的n次方（矩阵乘法）是零.当然不能直接验证, 巧妙的方式是要用到Lie代数的运算:

[A,B]=AB−BA,这里A,B都是n阶方阵.

还有很多的行列式与群论有关,比如下面的两个例子.

问题3.34证明:

上述四阶行列式竟然可以分解成一次因式的乘积,这本身就是一件值得玩味的事.实际上它与Klein群有关系.熟悉一点群论的应该知道,四阶群一共有两种,另一种是循环群.更一般地有任意n阶循环群,与之相关的行列式如下.

问题3.35（循环矩阵的行列式）求

上述行列式有一个因式是明显的:

这可以通过把其他行加到第一行得到.关键在于寻找其他的因式,我们也可以把其他行的倍数加到第一行,比如第二行的

倍,···,第n行的

倍加到第一行去.我们只看第一行的前两项:

于是取

为n次单位根即可,而

是我们已经用过的.这样我们就可以得到了n个不同的一次因式,它们的乘积自然也是原行列式的因式（需要多元多项式的因式分解的存在唯一性）.再比较一下次数和首项系数即可.

这个复杂但又有规律的行列式竟然也可以写成一次因式的乘积,这也是值得玩味的.后面我们还可以用矩阵乘法（矩阵相似）的观点再来看这个问题.  感兴趣的读者还可以试一试计算如下行列式.

问题3.36计算:

上述三个行列式加在一起就是一道通向有限群表示论的桥梁.

问题3.37计算n阶Cauchy行列式

这个行列式是Cauchy在1841年的书中提到的（没找到原文,所以不知道Cauchy考虑这个行列式的背景）,在Euclid空间中会出现其中的对称情形

.这个行列式看起来复杂,计算难度却不大,只要作一作初等变换,把任意两行减一减就会发现公因式了.

我们也可以用多元多项式的观点看:

首先每行通分,把分母提到行列式外面, 余下的行列式就是一个多元多项式.再注意到

或 

时行列式都是0,于是

与

是这个2n元的行列式的因式.从而

是行列式的因式,比较一下次数,再加上分母就能得到结果了.

不过,这里值得停一下:

Cauchy行列式似乎与两个Vandermonde行列式有关,实际上是与Lagrange插值公式有关,这一点从通分以后行列式的各项能看出来.其中细节不再赘述.

问题3.38 试求Hilbert矩阵

的行列式.

Hilbert在1894年考虑一个逼近问题:

在闭区间[a,b]上是否存在非零整系数多项式P（x）使得

可以任意小?

这实际上就是计算多项式P（x）的长度,与后文的Euclid空间有关, 其中的度量矩阵就与Hilbert矩阵有关.

Hilbert矩阵自然是Cauchy矩阵的特殊情形.不过好玩的是,很多学生会计算Cauchy行列式,却不会求Hilbert矩阵的行列式.