初中数学勾股定理.docx
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初中数学勾股定理
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聚智堂学科教师辅导讲义
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数学辅导时间：
题课
勾股定理
教学目的
222+b=c）、b的平方和等于斜边c的平方。
（即：
a1、勾股定理：
直角三角形两直角边a2222，那么这个三角形是+b有关系a=cc、勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长：
a、b、直角三角形。
222c?
a?
b3、满足勾股数的三个正整数，称为。
教学内容
一、日校回顾
二、知识回顾
1.勾股定理
如图所示，在正方形网络里有一个直角三角形和三个分别以它的三条边为边的正方形，通过观察、探索、发现正方形面积之间存在这样的关系：
即C的面积＝B的面积+A的面积，现将面积问题转化为直角三角形边的问题，于是得到直角三角形三边之间的重要关系，即勾股定理。
勾股定理：
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么
222c?
ba?
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
说明：
（1）勾股定理只有在直角三角形中才适用，如果不是直角三角形，那么三条边之间就没有这种关系了。
（（（（（（（．
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（2）我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦。
在没有特殊说明的情况下，直角三角形中，a，b是直角边，c是斜边，但有时也要考虑特殊情况。
（3）除了利用a，b，c表示三边的关系外，还应会利用AB，BC，CA表示三边的关系，在△ABC中，∠B＝90°，利222ACBC?
AB?
用勾股定理有。
利用勾股定理的变式进行计算2.
222cb?
a?
由，可推出如下变形公式：
222b?
?
ca1（）；222a?
b?
c）（222b?
a?
c（3）22a?
cb?
）4（22ba?
?
c（平方根将在下一章学到）（5）说明：
上述几个公式用哪一个，取决于已知条件给了哪些边，求哪条边，要判断准确。
三、知识梳理
1、勾股定理的应用
勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：
（1）已知直角三角形的两边求第三边
（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系。
求直角三角形的另两边
（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题
2、如何判定一个三角形是直角三角形
（1）先确定最大边（如c）
222cba?
与是否具有相等关系2）验证（222222ccba?
a?
b为直角的直角三角形；若若）（3=是以∠，则△ABCC≠则△ABC不是直角三角形。
（（（（（（（．
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222cba?
=3、勾股数满足的三个正整数，称为勾股数17，15，，10；（4）8（）（25，12，13；3）6，8；，如
（1）34，59,40,41
6），24，25（（5）7四、例题讲解
（一）基本知识
勾股定理求边长
例1、如图所示，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，若AC＝4，BC＝3，求CD的长。
例2、如图所示，一棵36米高的树被风刮断了，树顶落在离树根24米处，求折断处的高度AB。
例3、如图所示，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要多少米？
若楼梯宽2米，每平、方米地毯需50元，那么这块地毯需花多少元？
（（（（（（（．
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例4、如图，在△ABC中，∠ACB=90o，CD⊥AB，D为垂足，AC=6cm,BC=8cm.
求①△ABC的面积；②斜边AB的长；③斜边AB上的高CD的长。
A
D
B
练习C
1.若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长的平方为（）
A.169B.169或C.169或225D.225
119）5，则面积为（2.直角三角形的周长为12，斜边长为D.6
B.10C.8A.12
3.如果一个等腰直角三角形的面积是2，则斜边长的平方为（）
42D.A.2B.4C.8
4.若直角三角形两条直角边长分别为5㎝，12㎝，则斜边上的高为（）
8060㎝D.
C.8㎝A.6㎝B.
㎝13135.等腰三角形底边长10，腰长为13，则此三角形的面积为（）
A.40B.50C.60D.70
6.直角三角形中两条直角边之比为3：
4，且斜边为20cm，求
（1）两直角边的长
（2）斜边上的高线长
直角三角形的判定
例1、满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）
222
a－A.b=cB.a∶b∶c=3∶4∶5
C.∠C=∠A－∠B
D.∠A∶∠B∶∠C=12∶13∶15
22ab2）?
c?
b（a?
三角形的三边长为2例、，则这个三角形是（）锐角三角形D.直角三角形C.钝角三角形B.等边三角形A.
（（（（（（（．
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例3、一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中的∠A和∠BDC都应为直角，将量得的这个零件的各边尺寸标注在图中，由此可知（）
A.∠A符合要求
B.∠BDC符合要求
C.∠A和∠BDC都符合要求
D.∠A和∠BDC都不符合要求
AB?
BC,AB?
3,BC?
4,CD?
12,AD?
13求四边形ABCD的面积例4、如图己知
练习
1．下列各组线段中，能构成直角三角形的是（）
A．2，3，4B．3，4，6C．5，12，13D．4，6，7
2.三角形的三边为a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（）
222=c∶1617B．a-bA．a:
b:
c=8∶212a:
b:
c=13∶5∶．Ca=（b+c）（b-c）D．22ab?
（a?
b）c?
2（）
则这个三角形是三角形的三边长为3.
.
锐角三角形C.钝角三角形直角三角形D.A.等边三角形B.
，∠B=90°，求证：
∠，中，ABCDAB=20，BC=15CD=7，AD=24A+∠C=180°。
、已知：
如图，四边形4
DC
BA
简单应用（（（（（（（．
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例1、一根旗杆在离地面4.5米的地方折断，旗杆顶端落在离旗杆底部6米处，则旗杆折断前高（）
A.10.5米B.7.5米C.12米D.8米
例2、如图，一架25分米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子距墙底端7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯子将平滑（）
A.9分米B.15分米C.5分米D.8分米
例3.、一根旗杆在离地9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，旗杆折断之前有多高为_________。
（一）类型题目
题型1、求最短距离。
（折叠与展开）
例1、如图，一只蚂蚁从点A沿圆柱表面爬到点B，如果圆BM6柱的高为8cm，圆柱的底面半径为cm，那么最短D?
C的路线长是（）
AB19第题A
cmD.10cmA.6cmB.8C.10cm?
的最短路程A点出发沿长方体的表面爬行到M分别为AB、BC、BD4，5，2，蚂蚁从2例、如图，已知长方体的三条棱。
的平方是．．练习'的正方体纸箱的B点沿纸箱爬到D点，那么它所行的最短路线的长是_____________。
、一只蚂蚁从棱长为11B''C
A′D
B′′C
CD角边，AC=6，现将直BC=8AC沿、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边2BAE（（（（（（（．
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直线AD折叠，使其落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长为。
题2图
?
6AB?
CC2BE?
ABCDABCD1：
AE：
，3中，落在D重合，处，若将矩形折叠，使点B与点、如图，在矩形
。
的长为则折痕AD
）的长（AC＝15，求CD＝CD4、如图，是RtABC的斜边AB上的高，若AB17，
7
、DC、17A、B、
（二）主要数学思想。
、方程思想1边上的点BCDADE折叠使点恰好落在AB=8cm,BC=10cm,ABCD中在边CD上取一点E，将△、例3如图，已知长方形
.的长F，求CE
的面积．．求△AC＝13ABC，＝BC15中，已知：
如图，在△4例、ABCAB＝，14（（（（（（（．
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练习
1、如图，把矩形ABCD纸片折叠，使点B落在点D处，点C落在C'处，折痕EF与BD交于点O，已知AB=16，AD=12，求折痕EF的长。
C'ECDO
ABF
，AD是角平分线，CD＝15BD＝25．求AC的长．＝、已知：
如图，△2ABC中，∠C90o，
2、分类讨论思想（易错题）
例题5、在Rt△ABC中，已知两边长为3、4，则第三边的长为
例题6、已知在△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高等于8，则△ABC的周长为．
（（（（（（（．
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练习
1、在Rt△ABC中，已知两边长为5、12，则第三边的长为
2、等腰三角形的两边长为10和12，则周长为________，底边上的高是________，面积是_________。
（三）勾股定理的应用
1、如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆形水杯中，设筷子露在外面的长度为hcm，则h的取值范围是
h
，则四边形ABCD的面积是，中，AB=3cm，BC=4cm，CD=12cmDA=13cm，且∠ABC=90°、如图，四边形2ABCD2
cmD
C
BA
五、课堂小结
一、知识结构222ca?
b?
定理：
直角三角形的性质勾股定理:
（（（（（（（．
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理
六、家庭作业选择题.一1.已知一个A.252.若线段A.23.Rt△一直角边的长为A.1214.如果A.2n5.已知A.24cm6.三角形的三边长为（A.C.7.已知，如图长方形积为（
勾股定
应用:
主要用于计算222cba?
?
则直角三角形的判别方法:
:
若三角形的三边满足.
它是一个直角三角形Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）B.14C.7
D.7或25b，c组成Rt△，则它们的比为（）∶4B3∶4∶6
C.5∶12∶13
D.4∶6∶711，另两边为自然数，则Rt△的周长为（）B.120C.132D.不能确定
2n－1，2n（n>1），那么它的斜边长是（）
22+1
D.nC.n－1B.n+1ABC中，∠C＝90°，若a+b＝14cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积是（）
2222D.60cmC.48cmB.36cm
22a+b）＝c+2ab，则这个三角形是（）B.钝角三角形
D.锐角三角形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面）
a，∶3Rt△的两直角边长分别为Rt△等边三角形直角三角形
2222D.12cmC.10cmB.8cmA.6cm8.已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）
A.25海里B.30海里C.35海里海里D.40（（（（（（（．
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二.填空题
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，①若a＝5，b＝12，则c＝___________；②若a＝15，c＝25，则b＝___________；③若c＝61，b＝60，则a＝__________；④若a∶b＝3∶4，c＝10，则S＝________。
Rt△ABC2.直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。
3.在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，一阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是________m。
4.在一棵树的10米高B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处。
另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高_________________________米。
三.解答题
1.如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？
（（（（（（（．
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2.小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。
3.如图，在边长为c的正方形中，有四个斜边为c的全等直角三角形，已知其直角边长为a，b。
利用这个图试说明勾股定理?
（（（（（（（．
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