《整式的乘除》全章复习与巩固--知识讲解(提高).doc

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《整式的乘除》全章复习与巩固—知识讲解（提高）

【学习目标】

1.理解正整数幂的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算；

2.会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；

3.掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算；

4.理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算，掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、幂的运算

1.同底数幂的乘法：

（为正整数）；同底数幂相乘，底数不变，指数相加.

2.幂的乘方：

（为正整数）；幂的乘方，底数不变，指数相乘.

3.积的乘方：

（为正整数）；积的乘方，等于各因数乘方的积.

4.同底数幂的除法：

（≠0,为正整数，并且）.

同底数幂相除，底数不变，指数相减.

5.零指数幂：

即任何不等于零的数的零次方等于1.

要点诠释：

公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.

要点二、整式的乘法和除法

1.单项式乘以单项式

单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.

2.单项式乘以多项式

单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即（都是单项式）.

3.多项式乘以多项式

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.

要点诠释：

运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：

.

4.单项式相除

把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.

5.多项式除以单项式

先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.

即：

要点三、乘法公式

1.平方差公式：

两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.

要点诠释：

在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.

平方差公式的典型特征：

既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.

2.完全平方公式：

两数和（差）的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.

；

要点诠释：

公式特点：

左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.

要点四、因式分解

把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.

因式分解的方法主要有:

提公因式法,公式法等.

要点诠释：

落实好方法的综合运用：

首先提取公因式，然后考虑用公式；

两项平方或立方，三项考虑完全平方；

四项以上想分组，分组分得要合适；

几种方法反复试，最后须是连乘式；

因式分解要彻底，一次一次又一次.

【典型例题】

类型一、幂的运算

1、已知，求的值．

【思路点拨】由于已知的值，所以逆用幂的乘方把变为，再代入计算．

【答案与解析】

解：

∵，

∴．

【总结升华】本题培养了学生的整体思想和逆向思维能力．

举一反三：

【变式】

（1）已知，比较的大小.

（2）比较大小。

【答案】

解：

（1）；

（2）

提示：

（1）转化为同指数不同底数的情况进行比较，指数转化为12；

（2）转化成比较同底数不同指数，底数转化为3.

类型二、整式的乘除法运算

2、（2015•杭州模拟）已知代数式（mx2+2mx﹣1）（xm+3nx+2）化简以后是一个四次多项式，并且不含二次项，请分别求出m，n的值，并求出一次项系数．

【思路点拨】先把代数式按照多项式乘以多项式展开，因为化简后是一个四次多项式，所以x的最高指数m+2=4；不含二次项，即二次项的系数为0，即可解答．

【答案与解析】

解：

（mx2+2mx﹣1）（xm+3nx+2）=mxm+2+3mnx3+2mx2+2mxm+1+6mnx2+4mx﹣xm﹣3nx﹣2，

因为该多项式是四次多项式，

所以m+2=4，

解得：

m=2，

原式=2x4+（6n+4）x3+（3+12n）x2+（8﹣3n）x﹣2

∵多项式不含二次项，

∴3+12n=0，

解得：

n=，

所以一次项系数8﹣3n=8+=．

【总结升华】本题考查了多项式乘以多项式，解决本题的关键是明确化简后是一个四次多项式，所以x的最高指数m+2=4；不含二次项，即二次项的系数为0，即可解答．

举一反三：

【变式】若的乘积中不含的一次项，则等于______．

【答案】；

类型三、乘法公式

3、计算：

（1）；

（2）．

【思路点拨】

（1）中可以将两因式变成与的和差.

（2）中可将两因式变成与的和差.

【答案与解析】

解：

（1）原式

．

（2）原式

.

【总结升华】

（1）在乘法计算中，经常同时应用平方差公式和完全平方公式．

（2）当两个因式中的项非常接近时，有时通过拆项用平方差公式会达到意想不到的效果．

举一反三：

【变式】计算：

．

【答案】

解：

．

4、已知，求代数式的值.

【思路点拨】将原式配方，变成几个非负数的和为零的形式，这样就能解出.

【答案与解析】

解：

所以

所以.

【总结升华】一个方程，三个未知数，从理论上不可能解出方程，尝试将原式配方过后就能得出正确答案.

举一反三：

【变式1】配方，求＝________.

【答案】

解：

原式＝

所以，解得

所以.

【变式2】（2015春•祁阳县期末）课堂上老师指出：

若a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac=0，请判断该三角形的形状．小明在与同学一起合作探究这个问题时，说出了自己的猜想及理由，得到了老师的赞扬．请你写出小明的猜想和理由．

【答案】

解：

依题意得：

所以（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2=0

所以a=b，b=c，c=a．

故△ABC是等边三角形．

5、求证：

无论为何有理数，多项式的值恒为正数．

【答案与解析】

解：

原式＝

所以多项式的值恒为正数.

【总结升华】通过配方，将原式变成非负数＋正数的形式，这样可以判断多项式的正负.

举一反三：

【变式】证明:

不论为何值,多项式的值一定小于0.

【答案】

证明：

＝

＝

∵,

∴,

∴原式一定小于0.

类型四、因式分解

6、若，则E是（　　）

A．B．C．D．

【答案】C；

【解析】

解：

．故选C．

【总结升华】观察等式的右边，提取的是，故可把变成，即左边＝.注意偶次幂时，交换被减数和减数的位置，值不变；奇次幂时，交换被减数和减数的位置，应加上负号．

举一反三：

【变式】把多项式提取公因式后，余下的部分是（　　）

A．B．C．2D．

【答案】D；

解：

，

＝，

＝．

7、分解因式：

（1）；

（2）；（3）．

【思路点拨】

（1）把看做整体，变形为后分解．

（2）可写成，可写成，和分别相当于公式里的和．（3）把、看作一个整体进行分解．

【答案与解析】

解：

（1）．

（2）

．

（3）

．

【总结升华】注意套用公式时要注意字母的广泛意义，可以是字母，也可以是单项式或多项式.

举一反三：

【变式】将下列各式分解因式：

（1）；

（2）

（3）；（4）；

【答案】

解：

（1）原式

（2）原式＝

＝

（3）原式

（4）原式

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