初中几何应用题解析.docx
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初中几何应用题解析
例1．某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，∠ACB=90º，AC=80米，BC=60米.
（1）若入口E在边AB上，且A，B等距离，求从入口E到出口C的最短路线的长；
（2）若线段CD是一条水渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为10元/米，则D点在距A点多远处时，此水渠的造价最低？
最低造价是多少？
【分析】本题是一道直角三角形的应用问题，解决此题首先要弄清等距离，最短路线，最低造价几个概念.
（1）E点在AB上且与AB等距离，说明E点是AB的中点，
E点到C点的最短路线即为线段CE.
（2）水渠DC越短造价越低，当DC垂直于AB时最短，此时造价最低.
本题考点：
线段的中点，点与点的距离，点与直线的距离，以及解直角三角形的知识.
解：
（1）由题意知，从入口E到出口C的最短路线就是Rt△ABC斜边上的中线CE.
在Rt△ABC中，AB=（米）.
∴CE=AB=×100=50（米）.
即从入口E到出口C的最短路线的长为50米.
（2）当CD是Rt△ABC斜边上的高时，CD最短，从而水渠的造价最低.
∵CD•AB=AC•BC（等积公式），
∴CD=米）.
∴AD==64（米）.
所以，D点在距A点64米的地方，水渠的造价最低，其最低造价为4810=480（元）.
C
D
例2.如图,在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/m的速度移动.如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤6），那么
（1）当t为何值时，ΔQAP为等腰三角形？
（2）求四边形QAPC的面积；提出一个与计算结果有关的结论.
A
B
P
Q
解：
（1）对于任时刻的t，AP=2t，DQ=t，QA=6-t.
当QA=AP时，
ΔQAP为等腰三角形，
即6-t=2t，解得t=2（s），
∴当t=2s时，ΔQAP为等腰三角形；
（2）在ΔQAC中，QA=6-t，QA边上的高DC=12，
在ΔAPC中,AP=2t,BC=6,
∴S四边形QAPC=SΔQAC+SΔAPC=（36-6t）+6t=36（cm2）.
例3.将宽度为的长方形纸片折叠成如图所示的形状，观察图中被覆盖的部分.
（1）判断是什么三角形？
F
E
A'‘ˊˊ
1
2
3
结论：
是等腰三角形
证明：
方法一：
∵图形在折叠前和折叠后是全等的,
∴∠1=∠2,
又∵矩形的对边是平行的，∴∠1=∠3,∴∠2=∠3,
.即是等腰三角形.
方法二：
F
E
A'
P
Q
∵图形在折叠前和折叠后的形状、
大小不变，只是位置不同.
∴表示矩形宽度的线段EP和
FQ相等，即的边和
上的高相等，
∴
即是等腰三角形.
探究：
在上面的图中，标出点在折叠前对应的位置,四边形是什么四边形？
【分析】
（1）由前面的分析可知与在折叠前的位置关于折痕成轴对称,所以作关
于的对称点即可找到点（过点作⊥交矩形的边于点）.
还可以动手折叠一下，用作记号的方法找到点.
F
E
Aˊ
A
（2）四边形是是菱形
证法一：
∵是在折叠前对应的位置,
∴和关于直线轴对称,
∴⊥,且,
又∵∥,
∴∶=∶,∴
∴四边形是是菱形
证法二：
∵是在折叠前对应的位置,
∴≌,,，
又∵是等腰三角形（已证）,,
∴,
∴四边形是是菱形.
例4.在上题的图中,若翻折的角度α=30º,,求图中被覆盖的部分的面积.
α
E
Aˊ
F
【分析】图中被覆盖的部分是等腰三角形，其腰上的高就是原矩形的宽度2,所以，本题的解题关键就是要求出腰或的长.
课堂小结：
图形折叠问题中题型的变化比较多，但是经过研究之后不难发现其中
的规律，从今天我们对矩形折叠情况的讨论中可以得到以下几点经验：
1．图形的翻折部分在折叠前和折叠后的形状、大小不变，是全等形；
2图形的翻折部分在折叠前和折叠后的位置关于折痕成轴对称；
3.将长方形纸片折叠成如例3图示的形状，图中重叠的部分是等腰三角形；
4．解决折叠问题时，要抓住图形之间最本质的位置关系，从而进一步发现其中的数量关系；
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