第九章不等式和不等式组竞赛训练.doc
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第九章不等式和不等式组竞赛训练
一元一次不等式（组）的竞赛题巧解举例
一元一次不等式（组）是初中数学竞赛试题中经常出现的重点内容。
根据不等式的基本性质和一元一次不等式（组）的解的概念，适当地进行变换，可以巧妙解决一些关于不等式（组）的竞赛题。
一、巧用不等式的性质
例1要使a5＜a3＜a＜a2＜a4成立，则a的取值范围是（）
A.0＜a＜1B.a＞1C.－1＜a＜0D.a＜－1
分析：
由a3＜a到a2＜a4，是在a3＜a的两边都乘以a，且a＜0来实现的；在a3＜a
两边都除以a，得a2＞1，显然有a＜－1。
故选D
点评：
本题应用不等式的性质，抓住题目给出的一个不等式作为基础进行变形，确定
a的取值范围。
例2已知6＜＜10，≤≤，，则的取值范围是。
分析：
在≤≤的两边都加上，可得≤≤，再由6＜＜10可得9＜＜30，即9＜＜30
点评：
本题应用不等式的基本性质，在≤≤的两边都加上后，直接用关于的不等式表示，再根据6＜＜10求出的取值范围。
二、由不等式的解集确定不等式中系数的取值范围
例3若关于的不等式组
的解集为，则的取值范围是。
分析：
由①得，解之得。
由②得。
因为原不等式组的解集为，所以，所以。
点评：
本题直接解两个不等式得到且。
若，则其解集为，若，则其解集为，而原不等式的解集为，所以，即。
对此理解有困难的学生，可以通过在数轴上表示不等式的解集来帮助理解。
例4若不等式的解集是，则不等式
。
分析：
原不等式可化为。
因为，所以
由②得，代入①得＜0，
所以。
由得。
把代入得。
点评：
本题先由不等式解集的不等号方向判断＜0，从数值上判断，从而确定的关系及的符号。
不等式系数的符号决定了不等式解集中的不等号的方向，其数值决定了取值范围的边界，因此，反过来可以通过不等式的解集来确定不等式中系数的符号及参数的取值范围。
三、利用不等式求代数式的最大值
例5设均为自然数，且，又，则的最大值是。
分析：
均为自然数，且，
所以在这七个数中，后面的一个数比前面的数至少大1，
159=，
，所以的最大值为19。
当取最大值时，，
140≥，
，所以的最大值为20。
当、都取最大值时，
120=，
所以，所以的最大值为22。
所以的最大值是19+20+22=61。
点评：
本题根据已知条件先分别确定、、的最大值，再求出的最大值。
其关键在于利用自然数的特征，用放缩法建立关于、、的不等式。
例6在满足，的条件下，能达到的最大值是。
分析：
将转化为只含有一个字母的代数式，再根据条件求解。
∵，∴，。
∴。
∵∴，∴。
即
故能达到的最大值是6。
点评：
由字母的取值范围可以确定含字母的代数式的取值范围，从而可以确定代数式的最大值或最小值。
例７ 若整数满足不等式组
试确定的大小关系
分析：
利用不等式的性质，原不等式组可化为
，
所以，
即。
所以。
点评：
本题根据已知不等式组中各不等式的特点，对各不等式进行变形，使它们都含有，利用不等式的传递性，得到的大小关系。
一元一次不等式（组）的解法及其应用题
姓名：
＿＿＿＿ 班级：
＿＿＿＿ 考号：
＿＿＿＿ 成绩：
＿＿＿＿
一、整数解
例1 （2011江苏苏州，6，3分）不等式组的所有整数解之和是（ ）
A、9B、12C、13D、15
考点：
一元一次不等式组的整数解．
分析：
首先求出不等式的解集，再找出符合条件的整数，求其和即可得到答案．
解答：
由①得：
x≥3，由②得：
x＜6，
∴不等式的解集为：
3≤x＜6，∴整数解是：
3，4，5，
所有整数解之和：
3+4+5=12．故选B．
点评：
此题主要考查了一元一次不等式组的解法，求不等式组的解集，应遵循以下原则：
同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
练习 1．（2011山东泰安，18，3分）不等式组的最小整数解为（ ）．
A.0B.1C.2D.-1
【答案】A
2．（2011•南通）求不等式组的解集，并写出它的整数解.
专题：
探究型。
分析：
分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并找出其公共解集内x的整数解即可．
解答：
【解】解不等式3x－6≥x－4，得x≥1．解不等式2x＋1＞3（x－1），得x＜4．
所以原不等式组的解集为1≤x＜4．它的整数解为1，2，3．
点评：
本题考查的是求一元一次不等式组的整数解，熟知解一元一次不等式遵循的法则是解答此题的关键．
例2 ①（2011•恩施州14,3分）若不等式x＜a只有4个正整数解，则a的取值范围是 4＜a≤5 ．
考点：
一元一次不等式的整数解。
分析：
首先根据题意确定四个正整数解，然后再确定a的范围．
解答：
解：
∵不等式x＜a只有四个正整数解，
∴四个正整数解为：
1，2，3，4，
∴4＜a≤5，
故答案为：
4＜a≤5，
点评：
此题主要考查了一元一次不等式的整数解，做此题的关键是确定好四个正整数解．
②已知关于x的不等式x－2a＜3的最大整数解－5，求a的取值范围．
解：
x＜2a＋3，由题意，有－5＜2a＋3≤－4，－8＜2a≤－7，．
③关于x的不等式组恰好有两个整数解，求a的取值范围．
解：
由①，得2x－2－3x－6＞－6，－x＞2，x＜－2，
由②得x＞2－a，
因为恰好有两个整数解－5≤2－a＜－4，所以－7≤－a＜－6，－7≥a＞6．
练习 1．关于x的不等式组只有3个整数解，求a的取值范围．
2．关于x的不等式组恰好有4个整数解，求a的取值范围．
二、不等式（组）的解集
例3 已知不等式的每一个解都是的解，求a的取值范围；
解：
由，得x＜a－3，由得x＜1，由题意有：
a－3≤1，得a≤4．
点评：
注意二者之区别．
练习 1．若不等式的解集与x＜6的解集相同，求a的取值范围．
解：
由，得2x－2a－3x＋3a＞6，－x＞6－a，x＜a－6，
由题意，有a－6＝6，所以a＝12．
2．（2011山东日照，6，3分）若不等式2x＜4的解都能使关于x的一次不等式（a﹣1）x＜a+5成立，则a的取值范围是（ ）
A．1＜a≤7 B．a≤7C．a＜1或a≥7 D．a=7
考点：
解一元一次不等式组；不等式的性质。
专题：
计算题。
分析：
求出不等式2x＜4的解，求出不等式（a﹣1）x＜a+5的x，得到当a﹣1＞0时，≥2，求出即可．
解答：
解：
解不等式2x＜4得：
x＜2，
∴当a﹣1＞0时，x<，
∴≥2，∴1＜a≤7．故选A．
点评：
本题主要对解一元一次不等式组，不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据已知得到关于a的不等式是解此题的关键．
三、求参数a的取值范围
例3 ①关于x的方程组的解集是x＞5，求m的取值范围．
解：
由，得x＞5，又因为方程组的解集是x＞5，所以m≤5．
②关于x的不等式组有解，求m的取值范围．
练习 1．关于x的不等式组有解，求m的取值范围．
2．（2011年山东省威海市，11，3分）如果不等式组的解集是x＜2，那么m的取值范围是（ ）．
A、m=2B、m＞2C、m＜2D、m≥2
考点：
解一元一次不等式组；不等式的解集．
专题：
计算题．
分析：
先解第一个不等式，再根据不等式组的解集是x＜2，从而得出关于m的不等式，解不等式即可．
解答：
解：
解第一个不等式得，x＜2，
∵不等式组的解集是x＜2，
∴m≥2，故选D．
点评：
本题是已知不等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题．可以先将另一未知数当作已知处理，求出解集与已知解集比较，进而求得另一个未知数．求不等式的公共解，要遵循以下原则：
同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
例4 如果关于x的不等式组有解，并且所有解都是不等式组－6＜x≤5的解，求a的取值范围．
解：
∵不等式有解，所以2a－2＜4－a，a＜2，
所以其解集为：
2a－2＜x＜4－a，其每一个解都是不等式组－6＜x≤5的解，
所以解之得a≥－1，所以不等式的解集为－1≤a＜2．
例5 （2011湖北随州，7，3）若关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＜2，则a的取值范围为 a＜4 ．
考点：
解一元一次不等式；解二元一次方程组。
专题：
方程思想。
分析：
先解关于关于x，y的二元一次方程组的解集，其解集由a表示；然后将其代入x+y＜2，再来解关于a的不等式即可．
解答：
解：
由①－③×3，解得y＝1－；由①×3－③，解得x＝；
∴由x+y＜2，得1+＜2，即＜1，解得，a＜4．
故答案是：
a＜4．
点评：
本题综合考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式．解答此题时，采用了“加减消元法”来解二元一次方程组；在解不等式时，利用了不等式的基本性质：
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；
（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变．
例6 ①化简：
|x－6|＋|x＋2|；②．化简：
|x＋5|－|x－2|； ③|x－2|＋|x＋4|．
例7 某中学有若干名学生住宿，若每间宿舍住4人，则有20人没有宿舍住；若每间住8人，则有一间宿舍住不满，求住宿舍的学生人数及宿舍的间数。
解：
设有x间房间，总人数为：
（4x＋20）人，
由题意有：
0＜（4x＋20）－8（x－1）＜8，
有：
0＜－4x＋28＜8，－28＜－4x＜－20，7＞x＞5，
又∵x是整数，∴x＝6，∴学生人数为：
4x＋20＝44人，
答：
有6个房间，人数为44人。
例8 某工厂现有甲种原料194千克，乙种原料170千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共30件。
已知生产一种A种产品需要甲种原料7千克，乙种原料4千克；生产一件B种产品需要甲种原料5千克，乙种原料9千克。
请你设计出所有符合题意的生产方案。
解：
设生产A种产品x件，则生产B种产品（30－x）件。
由题意有：
由①得：
2x≤44，x≤22，
⑵得：
－5x≤－100，x≥20，
∴不等式组的解集是：
20≤x≤22，
答：
当生产A种产品20、21、22件时，生产B种产品分别为10、9、8件．
例9 为加强贫困地区的卫生医疗条件，北京和上海计划向外地支援先进的医疗设备，其中北京有40台，上海有100台，将运往贵州80台和四川60台，所需要费用如右表所示：
有关部门计划用78000元运送这批医疗设备，请你设计一种方案，使贵州和四川能得到所需要的医疗设备，而且运费正好够用．
解：
设北京运往四川x台，则北京运往贵州（40－x）台，上海运往四川（60－x）台，上海运往贵州[100－（60－x）]台，由题意有：
300x＋500（40－x）＋400（60－x）＋800[100－（60－x）]＝78000．
3x＋5（40－x）＋4（60－x）＋8（40＋x）＝780，
3x＋200－5x＋240－4x＋320＋8x＝780，
2x＋760＝780，x＝10．
所以北京运往四川10台，运往贵州30台；上海运往四川50台，运往贵州50台．
一第十二讲：
一元一次不等式（组）的应用
一、能力要求：
1．能够灵活运用有关一元一次不等式（组）的知识，特别是有关字母系数的不等式（组）的知识解决有关问题。
2．能够从已知不等式（组）的解集，反过来确定不等式（组）中的字母系数取值范围，具备逆向思维的能力。
3．能够用分类讨论思想解有关问题。
4．能利用不等式解决实际问题
二、典型例题
1．m取什么样的负整数时，关于x的方程的解不小于－3.
分析：
解方程得：
x=2m+2
由题意：
2m+2≥-3，所以m≥-2.5
符合条件的m值为-1，-2
2．已知、满足且，求的取值范围.
分析：
解方程组得
代入不等式，解得
3．比较和的大小
（作差法比大小）
解：
4．若方程组的解为x、y，且2分析：
用整体代入法更为简单
5．取怎样的整数时，方程组的解满足.
6．若2（a-3）＜，求不等式＜x-a的解集
分析：
解不等式2（a-3）＜得：
a<
由＜x-a得（a-5）x<-a
因为a<所以a-5<0
于是不等式＜x-a的解集为x>
7．阅读下列不等式的解法，按要求解不等式.
不等式的解的过程如下：
解：
根据题意，得或
解不等式组，得；解不等式组，得
所以原不等式的解为或
请你按照上述方法求出不等式的解.
分析：
典型错误解法：
由不等式得：
或
所以原不等式的解为或
正确解法：
由不等式得：
或
所以原不等式的解为或
8．目前使用手机，有两种付款方式，第一种先付入网费，根据手机使用年限，平均每月分摊8元，然后每月必须缴50元的占号费，除此之外，打市话1分钟付费0.4元；第二种方式将储值卡插入手机，不必付入网费和占号费，打市话1分钟0.6元．若每月通话时间为分钟，使用第一种和第二种付款方式的电话费分别为和，请算一算，哪种对用户合算．
解：
（1）若则解得：
所以当通话时间小于290分钟时，第二种方式合算。
（2）若则解得：
所以当通话时间等于290分钟时，两种方式相同。
（3）若则解得：
所以当通话时间大于290分钟时，第一种方式合算。
9．某饮料厂开发了A、B两种新型饮料，主要原料均为甲和乙，每瓶饮料中甲、乙的含量如下表所示，现用甲原料和乙原料各2800克进行试生产，计划生产A、B两种饮料共100瓶，设生产A种饮料x瓶，解答下列问题：
（1）有几种符合题意的生产方案？
写出解答过程；
（2）如果A种饮料每瓶的成本为2.60元，B种饮料每瓶的成本为2.80元，这两种饮料成本总额为y元，请写出y与x之间的关系式，并说明x取何值会使成本总额最低？
原料名称
饮料名称
甲
乙
A
20克
40克
B
30克
20克
分析：
（1）据题意得：
解不等式组，得
因为其中的正整数解共有21个，所以符合题意的生产方案有21种。
（2）由题意得：
整理得：
因为y随x的增大而减小，所以x=40时，成本额最低
10．某家电生产企业根据市场调查分析决定调整生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器，彩电，冰箱共360台，且冰箱至少生产40台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：
家电名称
空调器
彩电
冰箱
工时（个）
产值（万元/台）
0.4
0.3
0.2
问：
每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高，最高产值是多少万元？
解：
设每周应生产空调器、彩电、冰箱分别是台、台、台，设此时的产值为P万元。
根据题意得：
由
（1）和
（2）知……（5）把（5）代入（3）得：
解得：
＝＝
要使P最大，只需最小
当时
P最大＝108－0.05×40＝106（万元）
此时（台）
（台）
答：
每周应生产空调器20台、彩电300台、冰箱40台，才能使产值最高，最高产值是106万元？
一、【问题引入与归纳】
我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：
“先从少数的事例中摸索出规律来，再从理论上来证明这一规律的一般性，这是人们认识客观法则的方法之一”。
这种以退为进，寻找规律的方法，对我们解某些数学问题有重要指导作用，下面举例说明。
能力训练点：
观察、分析、猜想、归纳、抽象、验证的思维能力。
二、【典型例题解析】
1、观察算式：
按规律填空：
1+3+5+…+99=？
，1+3+5+7+…+？
2、如图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子。
观察图形的变化规律，写出第个小房子用了多少块石子？
3、用黑、白两种颜色的正六边形地面砖（如图所示）的规律，拼成若干个图案：
（1）第3个图案中有白色地面砖多少块？
（2）第个图案中有白色地面砖多少块？
4、观察下列一组图形，如图，根据其变化规律，可得第10个图形中三角形的个数为多少？
第个图形中三角形的个数为多少？
5、观察右图，回答下列问题：
（1）图中的点被线段隔开分成四层，则第一层有1个点，第二层有3个点，第三层有多少个点，第四层有多少个点？
（2）如果要你继续画下去，那第五层应该画多少个点，第n层有多少个点？
（3）某一层上有77个点，这是第几层？
（4）第一层与第二层的和是多少？
前三层的和呢？
前4层的和呢？
你有没有发现什么规律？
根据你的推测，前12层的和是多少？
6、读一读：
式子“1+2+3+4+5+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可将“1+2+3+4+5+…+100”表示为，这里“”是求和符号，例如“1+3+5+7+9+…+99”（即从1开始的100以内的连续奇数的和）可表示为又如“”可表示为，同学们，通过以上材料的阅读，请解答下列问题：
（1）2+4+6+8+10+…+100（即从2开始的100以内的连续偶数的和）用求和符号可表示为；
（2）计算：
=（填写最后的计算结果）。
7、观察下列各式，你会发现什么规律？
3×5=15，而15=42-15×7=35，而35=62-1……
11×13=143，而143=122-1……
将你猜想的规律用只含一个字母的式子表示出来。
8、请你从右表归纳出计算13+23+33+…+n3的分式，并算出13+23+33+…+1003的值。
三、【跟踪训练题】1
1、有一列数其中：
=6×2+1，=6×3+2，=6×4+3，=6×5+4；…则第个数=，当=2001时，=。
2、将正偶数按下表排成5列
第1列
第2列
第3列
第4列
第5列
第一行
2
4
6
8
第二行
16
14
12
10
第三行
18
20
22
24
……
……
28
26
根据上面的规律，则2006应在行列。
3、已知一个数列2，5，9，14，20，，35…则的值应为：
（）
4、在以下两个数串中：
1，3，5，7，…，1991，1993，1995，1997，1999和1，4，7，10，…，1990，1993，1996，1999，同时出现在这两个数串中的数的个数共有（）个。
A.333B.334C.335D.336
3、学校阅览室有能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌拼成一行，2张方桌拼成一行能坐6人（如右图所示）按照这种规定填写下表的空格：
4、
拼成一行的桌子数
1
2
3
…
n
人数
4
6
…
6、给出下列算式：
观察上面的算式，你能发现什么规律，用代数式表示这个规律：
7、通过计算探索规律：
152=225可写成100×1×（1+1）+25
252=625可写成100×2×（2+1）+25
352=1225可写成100×3×（3+1）+25
452=2025可写成100×4×（4+1）+25
…………
752=5625可写成
归纳、猜想得：
（10n+5）2=
根据猜想计算：
19952=
8、已知，计算：
112+122+132+…+192=；
9、从古到今，所有数学家总希望找到一个能表示所有质数的公式，有位学者提出：
当n是自然数时，代数式n2+n+41所表示的是质数。
请验证一下，当n=40时，n2+n+41的值是什么？
这位学者结论正确吗？
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