北师大版初一数学(下)讲义--整式的乘除.doc

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初一数学（下册）讲义

第一章：

整式的乘除

1.1同底数幂的乘法

Ø复习回顾：

复习七年级上册数学课本中介绍的有关乘方运算知识：

Ø探索新知

1．利用乘方的意义，计算103×102．

解：

103×102=（10×10×10）×（10×10）（幂的意义）=10×10×10×10×10 （乘法的结合律）=105．

2．建立幂的运算法则

将上题中的底数改为a，则有　a3·a2＝（aaa）·（aa）＝aaaaa＝a5，　　　　即a3·a2=a5=a3+2．

用字母m，n表示正整数，则有

即am·an=am+n．

3．剖析法则

思考以下问题：

（1）等号左边是什么运算？

（2）等号两边的底数有什么关系？

（3）等号两边的指数有什么关系？

（4）公式中的底数a可以表示什么？

（5）当三个以上同底数幂相乘时，上述法则是否成立？

请大家试着叙述这个法则：

Ø应用提高

探讨等于什么？

Ø课堂训练

（1）-a2·a6

（2）（-x）·（-x）3（3）ym·ym+1（4）

（5）（6）（7）（8）

（9）x5·x6·x3（10）-b3·b（11）-a·（-a）3（12）（-a）2·（-a）3·（-a）

1.2幂的乘方与积的乘方

（一）

Ø复习回顾

复习已学过的幂的意义及幂运算的运算法则

1、幂的意义

2、（m、n为正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

Ø探索新知

根据已经学习过的知识，回忆并探讨以下实际问题：

1．乙正方体的棱长是2cm,则乙正方体的体积V乙=cm3。

甲正方体的棱长是乙正方体的5倍，则甲正方体的体积V甲=cm3。

2．乙球的半径为3cm,则乙球的体积V乙=cm3

甲球的半径是乙球的10倍，则甲球的体积V甲=cm3.

如果甲球的半径是乙球的n倍，那么甲球体积是乙球体积的倍。

地球、木星、太阳可以近似地看作球体。

木星、太阳的半径分别约是地球的10倍和102倍，它们的体积分别约是地球的倍和倍.

探究：

为什么？

将式中的10换为a又会得到什么结果？

计算下列各式，并说明理由

（1）（62）4;

（2）（a2）3;（3）（am）2;（4）（am）n.

通过上面的探索活动,发现了什么?

幂的乘方，底数__________，指数__________。

Ø课堂训练

1、计算：

（1）（102）3

（2）（b5）5（3）（an）3（4）-（x2）m（5）（y2）3·y（6）2（a2）6－（a3）4

2．计算：

（1）（103）3

（2）-（a2）5（3）（x3）4·x2（4）[（-x）2]3（5）（-a）2（a2）2（6）x·x4–x2·x3

3．判断下面计算是否正确？

如果有错误请改正：

（1）（x3）3=x6

（2）a6·a4=a24

4．完成下列各题

⑴a12＝（a3）（）＝（a2）（）＝a3a（）＝（）3＝（）4

⑵32﹒9m＝3（）⑶y3n＝3,y9n＝.

⑷（a2）m+1＝.⑸[（a-b）3]2＝（b-a）（）

（6）若4﹒8m﹒16m＝29，则m＝.

（7）如果2a＝3,2b＝6,2c＝12,那么a、b、c的关系是.

1.3幂的乘方与积的乘方

（二）

Ø复习回顾：

复习前几节课学习的有关幂的三个知识点：

1．幂的意义

2．同底数幂的乘法运算法则（m、n为正整数）

3．幂的乘方运算法则（am）n=amn（m、n都是正整数）

Ø探索新知

（1）根据幂的意义，（ab）3表示什么?

（2）为了计算（化简）算式ab·ab·ab，可以应用乘法的交换律和结合律。

又可以把它写成什么形式?

（3）由特殊的（ab）3=a3b3出发,你能想到一般的公式吗?

此环节的三个连贯性问题用到了刚刚复习到的幂的意义及根据其建立的数学模型。

1．借助刚刚探讨的结果，完成下面三个问题。

①（3×5）7=3（）×5（）②（3×5）m=3（）×5（）③（ab）n=a（）b（）

2．学会复述积的乘方的运算法则：

（ab）n＝anbn

积的乘方等于把各个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

3．进一步探讨：

（abc）n=

4．公式拓展：

三个或三个以上的积的乘方，是否也具有上面的性质?

怎样用公式表示?

Ø课堂训练

1．下面的计算是否正确？

如有错误请改正.

（1）；

（2）

2．计算下列各题：

（1）（3x）2;

（2）（-2b）5;（3）（-2xy）4;（4）（3a2）n.

3．地球可以近似地看做是球体，如果用V,r分别代表球的体积和半径，那么。

地球的半径约为6×103千米，它的体积大约是多少立方千米?

4．公式逆用训练

（1）23×53;

（2）28×58（3）（-5）16×（-2）15（4）24×44×（-0.125）4

（5）a3·a4·a+（a2）4+（-2a4）2（6）2（x3）2·x3–（3x3）3+（5x）2·x7

（7）0.25100×4100（8）812×0.12513

5．提高练习

①计算：

②已知，求的值。

③已知求的值。

④已知，，，试比较a、b、c的大小。

1.4同底数幂的除法

一、情境引入

活动内容：

一种液体每升含有1012个有害细菌，为了试验某种杀菌剂的效果,科学家们进行了实验,发现1滴杀虫剂可以杀死109个此种细菌，要将1升液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少滴？

你是怎样计算的？

二、了解同底数幂除法的运算及应用

计算下列各式，并说明理由（m>n）

从中归纳出同底数幂除法的运算性质。

从上面的练习中你发现了什么规律？

。

猜一猜：

。

三、同底数幂除法运算的应用

【例1】计算：

【例2】地震的强度通常用里克特震级表示，描绘地震级数的数字表示地震的强度是10的若干次幂。

例如用里克特震级表示地震是8级，说明地震的强度是。

1992年4月荷兰发生了5级地震，12天后，加利福尼亚发生了7级地震。

加利福尼亚地震强度是荷兰地震强度的多少倍？

四、探索零指数幂和负整数指数幂的意义

想一想：

10000=104，16=24

1000=10（），8=2（）

100=10（），4=2（）

10=10（），2=2（）

猜一猜：

1=10（）1=2（）

0.1=10（）=2（）

0.01=10（）=2（）

0.001=10（）=2（）

通过以上的计算，你得到的规律是什么？

【例3】计算：

用小数或分数分别表示下列各数：

Ø课堂训练

1．下列计算中错误的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2．计算的结果正确的是（）

A.B.C.-aD.a

3．用科学记数法表示下列各数：

（1）0．000876

（2）-0．0000001

4．计算：

（1）

（2）

5．计算6．若，求的的值

1.5整式的乘法

（一）

Ø复习回顾

问题1：

前面学习了哪三种幂的运算?

运算方法分别是什么？

请分别用语言和字母表示幂的三种运算性质。

x米

mx米

问题2：

运用幂的运算性质计算下列各题：

（1）（－a5）5、

（2）（－a2b）3、

（3）（－2a）2（－3a2）3（4）（－yn）2yn-1

Ø探索新知一

七年级三班举办新年才艺展示，小明的作品是用同样大小的纸精心制作的两幅剪贴画，如右图所示，第一幅画的画面大小与纸的大小相同，第二幅画的画面在纸的上、下方各留有米的空白,你能表示出两幅画的面积吗？

问题1：

以上求矩形的面积时，会遇到，，这是什么运算呢？

问题2：

什么是单项式？

（表示数与字母的积的代数式叫做单项式）

我们知道，整式包括单项式和多项式，从这节课起我们就来研究整式的乘法，先学习单项式乘以单项式。

Ø探索新知二

思考以下三个问题：

问题1：

对于实际问题的结果，可以表达得更简单些吗？

说说你的理由？

问题2：

类似地，3a2b·2ab3和（xyz）·y2z可以表达的更简单一些吗？

问题3：

如何进行单项式与单项式相乘的运算？

单项式乘法的法则：

单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。

问题4：

在你探索单项式乘法运算法则的过程中，运用了哪些运算律和运算法则？

Ø课堂训练

1.计算：

2．计算：

（1）

（2）（3）

3．一种电子计算机每秒可做次运算，它工作秒，可做多少次运算？

4．一个长方体形储货仓长4×103㎝，宽3×103㎝，高5×102㎝，求这个货仓的体积。

5.

6.计算下列各题：

①②③

④⑤⑥

7．计算：

1.6整式的乘法

（二）

一、提出问题

思考以下问题：

A.我们本单元学习整式的乘法，整式包括什么？

a

b

y

mx

B.什么是多项式？

怎么理解多项式的项数和次数？

C.整式乘法除了我们上节课学习的单项式乘以单项式外，还应包含哪些内容？

本节课将学习单项式与多项式相乘。

二、借助情境，探究规律：

如图所示，公园中有一块长mx米、宽y米的空地，根据需

要在两边各留下宽为a米、b米的两条小路，其余部分种植花草，求种植花草

部分的面积.

（1）你是怎样列式表示种植花草部分的面积的?

是否有不同的表示方法？

其中包含了

什么运算?

一方面可以先表示出种植花草部分的长与宽，由此得到

另一方面可以用总面积减去两条小路的面积，得到：

由此我们发现两种不同的运算一方面是包含单项式与单项式乘法、再把所得的积相加，另一方面是单项式与多项式相乘，二者最终是统一的，从而发现单项式乘以多项式的方法。

（2）由上面的探索，我们得到了=，你能用所学过的知识来说明上面的等式成立的原因吗?

（3）你能用上面的方法计算吗？

请说明每一步的依据。

（4）通过以上过程，你发现如何进行单项式与多项式相乘的运算？

请你试着用语言来

描述。

单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

Ø课堂训练

1、计算下列各题

（1）

（2）（3）

（4）（5）

总结：

单项式与多项式相乘的步骤：

①按乘法分配律把乘积写成单项式与单项式乘积的代数和的形式；

②转化为单项式的乘法运算;

③把所得的积相加.

解题时需要注意的问题：

①单项式乘多项式的积仍是多项式，其项数与原多项式的项数相同。

②单项式分别与多项式的每一项相乘时,要注意积的各项符号的确定，多项式中的每一项前面的符号是性质符号，同号相乘得正，异号相乘得负，最后写成省略加号的代数和的形式。

③单项式要乘以多项式的每一项，不要出现漏乘现象。

④混合运算中，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。

2．判断正误：

（1）m（a+b+c+d）=ma+b+c+d（）

（2）（）

（3）（-2x）•（ax+b-3）=-2ax2-2bx-6x（）

3．计算：

（3）

（4）

（5）（6）

4．先化简,再求值：

2a（a-b）-b（2a-b）+2ab,其中a=2,b=-3.

5．

6．求证对于任意自然数n，代数式n（n+7）-n（n-5）+6的值都能被6整除。

1.6整式的乘法（三）

一、情境引入

拼图游戏：

以下不同形状的长方形卡片各有若干张，请你选取其中的两张，用它们拼成更大的长方形，尽可能采用多种拼法。

a

m

n

b

a

b

m

n

选取以下四种典型图形加以研究：

n

a

b

a

m

n

图1

图2

图4

b

a

m

图3

n

b

m

问题1：

分别列代数式表示所拼出矩形的面积，你能发现什么？

说出包含什么运算？

列代数式表示四个图形的面积时，既可以用大长方形的长乘以宽，也可以转化为每一个小长方形面积之和，因此得到以上四个等式，其中都包含单项式乘以多项式的运算，拼图游戏正是对单项式与多项式相乘的一个几何解释。

问题2：

将图1，2，3，4四个图形进一步拼摆，会得到更大的长方形，做一做，也许你会有新的发现。

b

a

m

n

图5

怎么求上图的面积？

求面积的过程中需要用到什么运算？

二、互动探究

1．从代数运算的角度来研究所拼图形，你会发现图5的面积既等于图1、图2面积之和，也等于图3、图4面积之和，最终都可以转化为四个小长方形面积之和。

由此得到：

（m+b）（a+n）=m（a+n）+b（a+n）=ma+mn+ba+bn,我们利用乘法分配律进行解释，现将其中的一个多项式看作一个整体，再运用单项式与多项式相乘的方法进行计算。

具体过程如下：

（m+b）（a+n）

=m（a+n）+b（a+n）（把a+n看作一个整体）

=ma+mn+ba+bn（转化为单项式乘以单项式）

2．试着用自己的语言归纳、描述多项式乘以多项式的运算法则：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

3．在进行多项式乘法运算的过程中运用了哪些数学思想方法？

Ø课堂训练

1.计算下列各题

2.计算：

（2）

【课堂总结】

（1）用一个多项式的每一项依次去乘另一个多项式的每一项，不要漏乘，在没有合并同类项之前，两

个多项式相乘展开后的项数应是原来两个多项式项数之积。

（2）多项式里的每一项都包含前面的符号，两项相乘时先判断积的符号，再写成代数和形式。

（3）展开后若有同类项要合并，化成最简形式。

3．计算：

①,②,③，

④，⑤,⑥。

4．计算：

5．若求m，n的值.

6．已知的结果中不含项和项，求m，n的值.

7．计算（a+b+c）（c+d+e）,你有什么发现？

1.7平方差公式

（一）

Ø发现特征、探索规律

我们已经学过了多项式的乘法，请计算下列各题：

（1）（x+2）（x-2）

（2）（1+3a）（1-3a）（3）（x+5y）（x-5y）（4）（-m+n）（-m-n）

提出问题：

你们能发现什么规律？

在多项式的乘法中，对于某些特殊形式的多项式相乘，我们把它写成公式，并加以熟记，以便遇到类似形式的多项式相乘时就可以直接运用公式进行计算。

以后经常遇到（a+b）（a-b）这种乘法，所以把（a+b）（a-b）＝a2-b2作为公式，叫做乘法的平方差公式。

在此基础上，让学生用语言叙述公式，总结公式结构特征：

（1）公式左边两个二项式必须是相同两数的和与差相乘；且左边两括号内的第一项相等、第二项符号相反[互为相反数（式）]；

（2）公式右边是这两个数的平方差；即右边是左边括号内的第一项的平方减去第二项的平方。

（3）公式中的a和b可以代表数，也可以是代数式．

Ø课堂训练

1、计算：

①（2x+3）（2x–3）②（2a+3b）（2a–3b）③（–1+2a）（–1–2a）

2、计算：

①（–2x+3）（3+2x）②（3b+2a）（2a–3b）

3、计算：

（-4a-1）（-4a+1）

4、计算：

（1）（x＋y－z）（x＋y＋z）；

（2）（a－b＋c）（a＋b＋c）．

5、下列各式中哪些可以运用平方差公式计算

（1）

（2）

（3）（4）

6、判断正误：

（1）（）

（2）（）

（3）（）（4）（）

（5）（）（6）（）

7、计算下列各式：

（1）

（2）

（3）（4）

（5）（6）

8、填空：

（1）

（2）

（3）（4）

9、求的值，其中

10、计算：

（1）

（2）

11、若

1.7平方差公式

（二）

一、复习回顾

1．平方差公式的内容：

2．判断正误：

（1）（a+5）（a-5）=

（2）（3x+2）（3x-2）=

（3）（a-2b）（-a-2b）=（4）（100+2）（100-2）==9996

（5）（2a+b）（2a-b）=

提问：

⑴两个二项式相乘，因式要具备什么特征时，积才会是二项式？

（当因式是两个数的和与这两个数的差相乘时，积是二项式。

）

⑵为什么具备这些特点的两个二项式相乘，积会是二项式？

而它们的积又有什么特征？

（这是因为具备这样特征的两个二项式相乘，积的四项中，会出现互为相反数的两项，合并这两项的结果为零，于是就剩下两项了。

而它们的积等于因式中这两个数的平方差。

）

二、拼图游戏，验证公式

活动内容：

如下图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形。

1．请表示图中阴影部分的面积。

2．小颖将阴影部分拼成了一个长方形，这个长方形的长和宽分别是多少？

你能表示出它的面积吗？

3．比较1，2的结果，你能验证平方差公式吗?

∴a2-b2=（a+b）（a-b）

4．

（1）叙述平方差公式的数学表达式及文字表达式；

（2）试比较公式的两种表达式在应用上的差异．

Ø课堂训练

1、计算

（1）（）（）（）

（2）（）（）（）

2、运用平方差公式计算

（1）（200+1）（200-1）

（2）102×98（3）203×197（4）

3、计算：

4、填空：

（1）a2-4＝（a+2）（）

（2）25-x2＝（5-x）（）（3）m2-n2＝（）（）

5、判断正误

（1）（a+b）（-a-b）=a2-b2

（2）计算：

1.8完全平方公式

（一）

一、回顾与思考:

复习已学过的平方差公式

1.平方差公式：

（a+b）（a-b）=a2-b2;

公式的结构特点：

左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积。

右边是两数的平方差。

2．应用平方差公式的注意事项：

弄清在什么情况下才能使用平方差公式。

二、问题引入

一块边长为a米的正方形实验田，由于效益比较高，所以要扩大农田，将其边长增加b米，形成四块实验田，以种植不同的新品种（如图）。

用不同的形式表示实验田的总面积，并进行比较。

通过以上的计算你得到什么结论？

请用多项式的乘法验证你得到的结论：

l结合两数和的完全平方公式推导办法继续推导两数差的完全平方公式：

继续用多项式乘法对公式进行验证：

用语言来描述完全平方公式：

结构特点：

左边是二项式（两数和（差））的平方；

右边是两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍。

语言描述：

两数和（或差）的平方，等于这两数的平方和加上（或减去）这两数积的两倍。

公式口诀：

首平方，尾平方，两倍乘积放中央，加减看前方，同加异减。

Ø课堂训练

1、用完全平方公式计算

（1）（2x−3）2

（2）（4x+5y）2（3）（mn−a）2（4）（-1-2x）2（5）（-2x+1）2

2、下列各式中哪些可以运用完全平方公式计算

（1）

（2）