初三几何8旋转4.综合应用(2013-2014)教师.doc
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2014年中考解决方案
旋转4—综合应用
学生姓名:
上课时间:
旋转4
中考说明
内容
基本要求
略高要求
较高要求
旋转
了解图形的旋转,理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质;会识别中心对称图形
能按要求作出简单平面图形旋转后的图形,能依据旋转前、后的图形,指出旋转中心和旋转角
能运用旋转的知识解决简单问题
中考满分必做题
在做与旋转相关的题目时,利用题目中的中点构造中位线
【例1】直角三角形中;为的中点,绕着点逆时针旋转
到,求重叠部分的面积.
【答案】9
【解析】过点做垂足为、.
∵绕着点逆时针旋转到,∴.
又∵
∴..
∴.
【例2】在图1至图3中,点是线段的中点,点是线段的中点.四边形和都是
正方形.的中点是.
(1)如图1,点在的延长线上,点与点重合时,点与点重合,求证:
,;
(2)将图1中的绕点顺时针旋转一个锐角,得到图2,求证:
是等腰直角三角形;
(3)将图2中的缩短到图3的情况,还是等腰直角三角形吗?
(不必说明理由)
【答案】
(1)证明:
∵四边形和都是正方形,
又∵点与点重合,点与点重合,
∴,.
∴.
∴.
∵,
∴.∴.
(2)证明:
连接、,如图,设与交于点.
∵分别是的中点,
∴,
且,
且.
∴四边形是平行四边形.
∴.
又∵,
∴.
∴.
∴,且.
∴.
∴是等腰直角三角形.
(3)是.
【例3】若△ABC和△ADE均为等边三角形,M、N分别是BE、CD的中点.
(1)当△ADE绕A点旋转到如图①的位置时,求证:
CD=BE,△AMN是等边三角形;
(2)如图②,当∠EAB=30°,AB=12,AD=时,求AM的长.
(11年朝阳二模)
图1图2
【答案】
(1)证明:
∵△ABC和△ADE均为等边三角形,
∴AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠EAD=60°.
∴∠BAE=∠BAC-∠EAC,∠DAC=∠EAD-∠EAC,
∴∠BAE=∠DAC.∴△ABE≌△ACD.
∴CD=BE.∠ABE=∠ACD.
∵M、N分别是BE、CD的中点,即BM=BE,CN=CD.
∴BM=CN.
又AB=AC,
∴△ABM≌△ACN.
∴AM=AN,∠MAB=∠NAC.
∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠CAB=60°.
∴△AMN是等边三角形
(2)解:
作EF⊥AB于点F,
在Rt△AEF中,
∵∠EAB=30°,AE=AD=,
∴EF=.∵M是BE中点,作MH⊥AB于点H,
∴MH∥EF,MH=EF=
取AB中点P,连接MP,则MP∥AE,MP=AE.
∴∠MPH=30°,MP=.
∴在Rt△MPH中,PH=.∴AH=AP+PH=.
在Rt△AMH中,.
中心
【例4】如图,四边形、是两个边长分别为5和1且中心重合的正方形.其中,正方形可以绕中心旋转,正方形静止不动.
(1)如图1,当四点共线时,四边形的面积为__;
(2)如图2,当三点共线时,请直接写出=_________;
(3)在正方形绕中心旋转的过程中,直线与直线的位置关系是____________,请借助图3证明你的猜想.
图1图2图
【答案】
(1)==6;
(2)=;
(3).
证明:
连接,延长
交于点.如图所示:
由正方形的性质可知:
,
即:
△≌△
即:
.
中点倍长类旋转
【例5】如图,在△外面作正方形与,为△的高,其反向延长线交于,求证:
(1);
(2)
【答案】证明△≌△;
(1)作,,
先证△≌△,△≌△,
再证△≌△.
【例6】如图,在矩形ABCD中,点F在AD延长线上,且DF=DC,M为AB边上一点,N为MD的中
点,点E在直线CF上(点E、C不重合).且若AB=BC,点M、A不重合,BN=NE,试探究BN与NE的位置关系及的值,并证明你的结论;
【答案】如图,延长BN交的延长线于点,连结、,过作⊥,
交于点.
∵四边形是矩形,
∴∥.
∴,
∵为的中点,
∴.
∴△≌△.
∴,.
∵,
∴.
∴.
∵,
∴.
∴.
∴.
由
(1)得.
∴.
∴,.
∵,
∴∠=∠.
∴△≌△.
∴,.
∵,
∴⊥.
∵
∴.
【例7】已知任意,分别以为边作,,
(1)如图a,若是以点为直角顶点的等腰三角形,取中点,连接、,求证:
(2)在第
(1)问的条件下,过点做边的垂线,交于点,则
(3)在边上有一动点,连接,以为腰,为直角顶点,作等腰直角三角形,连接,若要使的,求的度数
【答案】(3)
【例8】已知:
在Rt△ABC中,AB=BC,在Rt△ADE中,AD=DE,连结EC,取EC的中点M,连结DM和BM.
(1)若点D在边AC上,点E在边AB上且与点B不重合,如图①,探索BM、DM的关系并给予证明;
(2)如果将图①中的△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角,如图②,那么
(1)中的结论是否仍成立?
如果不成立,请举出反例;如果成立,请给予证明.
【解析】
(1)提示:
直角三角形斜边上的中线;
(2)可用中点倍长即旋转;亦可用中位线法:
要证与的关系,只需要将构造成线段的中点,辅助线如下图.
【巩固】如图1,在△ACB和△AED中,AC=BC,AE=DE,∠ACB=∠AED=90°,点E在AB上,F是线段BD的中点,连结CE、FE.
(1)请你探究线段CE与FE之间的数量关系(直接写出结果,不需说明理由);
(2)将图1中的△AED绕点A顺时针旋转,使△AED的一边AE恰好与△ACB的边AC在同一条直线上(如图2),连结BD取BD的中点F,问
(1)中的结论是否仍然成立,并说明理由;
(3)将图1中的△AED绕点A顺时针旋转任意的角度(如图3),连结BD,取BD的中点F,问
(1)中的结论是否仍然成立,并说明理由.
【解析】倍长即旋转略.第三问亦可用中位线法
【例9】在Rt△ABC中,∠ACB=90°,tan∠BAC=.点D在边AC上(不与A,C重合),连结BD,F为BD中点.若将图1中的△ADE绕点A旋转,使得D、E、B三点共线,点F仍为BD中点如图2所示.求证:
BE-DE=2CF;
【解析】倍长即旋转略.第三问亦可用中位线法:
构造辅助线,证.
【巩固】在正方形ABCD的边AB上任取一点E,作EF⊥AB交BD于点F,如图1.
(1)将图1中的△BEF绕点B逆时针旋转90°,取DF的中点G,连接EG,CG,如图2,则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系?
请直接写出你的猜想;
(2)将图1中的△BEF绕点B逆时针旋转180°,取DF的中点G,连接EG,CG,如图3,则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系?
请写出你的猜想,并加以证明;
(3)将图1中的△BEF绕点B逆时针旋转任意角度,取DF的中点G,连接EG,CG,如图4,则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系?
请写出你的猜想,并加以证明.
图1图2图3图4
【解析】
(1),.
(2),
证明:
如图3,延长交延长线于,连接
∵,,,∴四边形是矩形,∴BE=CH,
又∵,∴
∵,,∴
∵,,∴图2
∵,∴,∴
又,∴
∴,∴≌
∴,
∵,,,∴
∴
∴,即∴.
图3
(3),
方法一(旋转思想):
如图4,延长至,使,连接、、
∵,,,
∴△≌△
∴,,∴∥
∵正方形,∴,
∵是等腰直角三角形,∴,
∴,∴≌
∴,,∴,
∴△为等腰直角三角形
又∵
∴,
方法二(中位线法):
如下图,解析略
利用旋转构造三角形
【例10】在凸四边形中,,,,求证:
.
【答案】解法1:
将绕点逆时针旋转,得到.
因为,,
故是等边三角形,
即有,
而,
则.
连接,在中,由勾股定理可得,
而,
因此.
解法2:
将绕点逆时针旋转,得到.
注意到,
故,
因此.
注意到,,因此.
点评:
通过本题,我们可以体会到,正确的辅助线的产生不仅得益于条件,也得益于结论的启发.本题正是先利用旋转变换将与置于一个直角三角形中,再证明与这个直角三角形的斜边相等.
【例11】已知,以为边在外作等腰,其中.
⑴如图①,若,,四边形是平行四边形,则
⑵如图②,若,是等边三角形,,,求的长;
⑶如图③,若为锐角,作于,当时,是否成立?
若不成立,请说明你的理由;若成立,证明你的结论.
【答案】⑴略;⑵如图,以为边作等边三角形,连接、,其他略
⑶如图,辅助线虽然相对容易能够知道位置,但是本题比较特殊,或难点在于如何利用给出的已知条件,如何描述辅助线,将直接影响到能否解决本问
下面给出参考方法,注意体会为什么这样做辅助线,而不是像以前的题型一样,为什么按照其他的辅助线的作法不能解决第⑶问:
(谁有更好的方法欢迎在论坛发帖探讨)
如图,在上取点,使得,连接并延长到点,使得,连接
易证为直角三角形,且,∴也为直角三角形,由勾股定理可得,∴,∵,∴
此时,易证(SSS),则易证
四边形中的旋转
【例12】问题:
如图1,在菱形和菱形中,点、、在同一条直线上,是线段的中点,连结,.若探究与的位置关系及的值.
小聪同学的思路是:
延长交于点,构造全等三角形,经过推理使问题得到解决.
D
C
G
P
A
B
E
F
图2
D
A
B
E
F
C
P
G
图1
请你参考小聪同学的思路,探究并解决下列问题:
(1)写出上面问题中线段与的位置关系及的值;
(2)将图1中的菱形绕点顺时针旋转,使菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上,原问题中的其他条件不变(如图2).你在
(1)中得到的两个结论是否发生变化?
写出你的猜想并加以证明.
(3)若图1中,将菱形绕点顺时针旋转任意角度,原问题中的其他条件不变,请你直接写出的值(用含的式子表示).
(08年北京市中考题)
【解析】
(1)线段与的位置关系是;.
(2)猜想:
(1)中的结论没有发生变化.
证明:
如图,延长交于点,连结.
是线段的中点,
.
D
C
G
P
A
B
E
F
H
由题意可知.
.
,
.
,.
四边形是菱形,
,.
由,且菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上,
可得.
.
四边形是菱形,
.
.
.
,.
.
即.
,,
,.
.
(3).
【例13】如图1,在平行四边形中,于点,恰为的中点,.
⑴求证:
;
⑵如图2,点在线段上,作于点,连结.
求证:
;
⑶请你在图3中画图探究:
当为线段上任意一点(不与点重合)时,作垂直直线,垂足为点,连结,线段、与之间有怎样的数量关系?
直接写出你的结论.
(10年西城一模)
【答案】⑴略;⑵在上取一点,使得,连接,证明即可其他略
⑶结论:
辅助线:
延长到点使得,连接,证明即可
【例14】在平行四边形中,,过点作,且,连接、,
、分别为、的中点,连接.
(1)如图1,若点在上,与交于点,试探究线段NP与线段NM的数量关系及与满足的等量关系,请直接写出你的结论;
(2)如图2,若点在线段EF上,当点在何位置时,你在
(1)中得到的结论仍然成立,写出你确定的点的位置,并证明
(1)中的结论.
图1
A
B
C
D
P
E
F
N
M
图2
A
B
C
D
P
E
F
N
【答案】
(1)NP=MN,∠ABD+∠MNP=180°
(2)点是线段EF的中点
M
1
3
2
4
P
N
A
E
F
C
D
B
证明:
如图,分别连接、
∵四边形是平行四边形,
∴AD∥BC,AB∥DC,∠A=∠DCB,
∴∠ABD=∠BDC.
∵∠A=∠DBC,
∴∠DBC=∠DCB.
∴DB=DC.①
∵∠EDF=∠ABD,
∴∠EDF=∠BDC.
∴∠BDC-∠EDC=∠EDF-∠EDC.
即∠BDE=∠CDF.②
又DE=DF,③
由①②③得.
∴,
∵、分别为、的中点,
∴∥,.
同理可得∥,.
∴.
∵∥
∴.
∴.
∵∥,
∴
∴
=∠DBC+∠DCB=180°-∠BDC=180°-∠ABD.
∴∠ABD+∠MNP=180°.
【例15】在平行四边形中,的平分线交直线于点,交直线于点.
(1)在图1中证明;
(2)若,是的中点(如图2),直接写出的度数;
(3)若,,,分别连结、(如图3),求的度数.
(2011年中考)
【解析】⑴证明:
如图1.
∵平分
∴.
∵四边形是平行四边形,
∴.
∴.
∴.
∴.
⑵.
⑶分别连结、、(如图2).
∵
∴
∵且
∴四边形是平行四边形.
由⑴得
∴是菱形.
∴.
∴是等边三角形.
∴①
.
∴.
∴.②
由及平分可得.
∴.
在中,.
∴.③
由①②③得.
∴.
∴.
∴
【例16】在□ABCD中,E是AD上一点,AE=AB,过点E作直线EF,在EF上取一点G,使得∠EGB=∠EAB,连接AG.
(1)如图1,当EF与AB相交时,若∠EAB=60°,求证:
EG=AG+BG;
(2)如图2,当EF与AB相交时,若∠EAB=α(0º﹤α﹤90º),请你直接写出线段EG、AG、BG之间的数量关系(用含α的式子表示);
(3)如图3,当EF与CD相交时,且∠EAB=90°,请你写出线段EG、AG、BG之间的数量关系,并证明你的结论.
图3
图1
图2
【解析】
(1)证明:
如图,作∠GAH=∠EAB交GE于点H.
∴∠GAB=∠HAE.
∵∠EAB=∠EGB,∠APE=∠BPG,
∴∠ABG=∠AEH.
∵又AB=AE,
∴△ABG≌△AEH.
∴BG=EH,AG=AH.
∵∠GAH=∠EAB=60°,
∴△AGH是等边三角形.
∴AG=HG.
∴EG=AG+BG.
(2)
(3)
如图,作∠GAH=∠EAB交GE于点H.
∴∠GAB=∠HAE.
∵∠EGB=∠EAB=90°,
∴∠ABG+∠AEG=∠AEG+∠AEH=180°.
∴∠ABG=∠AEH.
∵又AB=AE,
∴△ABG≌△AEH.
∴BG=EH,AG=AH.
∵∠GAH=∠EAB=90°,
∴△AGH是等腰直角三角形.
∴AG=HG.
∴
线段的旋转
【例17】如图,中,,,以为边向右侧作等边三角形.
(1)如图1,将线段绕点逆时针旋转,得到线段,联结,
则与长度相等的线段为(直接写出结论);
(2)如图2,若是线段上任意一点(不与点重合),点绕点逆时针旋转得到点,求的度数;
图1图2
(3)画图并探究:
若是直线上任意一点(不与点重合),点绕点逆时针旋转得到点,是否存在点,使得以、、、为顶点的四边形是梯形,若存在,请指出点的位置,并求出的长;若不存在,请说明理由.
备用图
备用图
【答案】
(1)
(2)由作图知,
∵是等边三角形.
∴,
∴
在和中
∴≌
∴
(3)如图3,同①可证≌,
当∥时,
∵
∴
∵
∴,
∴且……………………………5分
∴此时四边形是梯形.
如图4,同理可证△≌△,
当∥时,
∵
∴,
∴
此时与不平行,四边形是梯形.
【例18】在中,过点作交于点,将线段EC绕点逆时针旋转得到线段(如图1)
(1)在图1中画图探究:
①当为射线上任意一点(不与重合)时,连结绕点逆时针旋转得到线段判断直线与直线的位置关系,并加以证明;
②当为线段的延长线上任意一点时,连结EP2,将线段EP2绕点逆时针旋转得到线段.判断直线与直线的位置关系,画出图形并直接写出你的结论.
(2)若,,,在①的条件下,设,求与之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围.
(09年中考)
【答案】
(1)①直线与直线的位置关系为互相垂直.
证明:
如图1,设直线与直线的交点为.
∵线段、分别绕点逆时针旋转依次得到线段、,
∴,,.
F
D
C
B
A
E
图1
G2
G1
P1
H
P2
∵,,,
∴.
∴.
∴.
∵,
∴,
∴.
∴.
∴.
∴.
②按题目要求所画图形见图1,直线与直线的位置关系为互相垂直.
(2)∵四边形是平行四边形,
∴.
∵,,
∴,.
D
G1
P1
H
C
B
A
E
F
图2
可得.
由
(1)可得四边形为正方形.
∴.
①如图2,当点在线段的延长线上时,
∵,,
∴.
∴.
F
G1
P1
C
A
B
E
D
H
图3
②如图3,当点在线段上(不与、两点重合)时,
∵,,,
∴.
∴.
③当点与点重合时,即时,不存在.
综上所述,与之间的函数关系式及自变量的取值范围是或.
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