含有参数的分式方程.docx

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含有参数的分式方程

【问题一】解含有参数的分式方程

例如：

解关于x的方程

分析：

解分式方程的一般是方法将分式方程转化为整式方程，通过在等式两边乘以最简公分母达到去分母的效果。

在解决含有参数的分式方程时，将参数看作一个常数进行运算，用含有参数的代数式表示方程的解。

解：

去分母，方程两边同时乘以

得：

整理方程得：

∵，∴，

∴

检验，当时，

∴原分式方程的解为

小结：

将等式中的参数看作常数，用含有参数的代数式表示一个未知数的值，是解决含参问题的基本方法。

练习：

解关于x的方程（）

【问题二】已知含有参数的分式方程有特殊解，求参数的值

例如：

当a为何值时，关于x的方程的解为0.

分析：

将方程的解代入原方程建立关于参数的方程。

解：

当x=0是方程的解时

有，解得

当时，

所以是方程的解.

所以当时，原方程的解为0.

小结：

方程的解是指使得等式两边相等的未知数的值，所以将方程的解代入原式，等式依然成立。

练习：

当a为何值时，关于x的方程的解为1.（）

【问题三】已知含有参数的分式方程解的范围，求参数的值

例如：

已知关于x的方程的解为正数，试求m的取值范围.

分析：

将m看作常数，表示出方程的解，根据方程的解的范围建立关于m的关系式，注意方程有意义这个前提条件.

解：

去分母得：

∵原方程的解为正且原式有意义，

则满足即

解得且

解得

∵原方程的解为正数，

∴，即……………①

又∵原方程要有意义

∴，即……………②

由①②可得且

所以，当且时，方程的解为正数.

小结：

用含有参数的代数式将方程的解表示出来，进而根据原方程解的范围，建立与参数有关的关系式子。

练习：

若关于x的方程的解为负数，试求a的取值范围.

（且）

【问题四】已知含有参数的分式方程有增根，求参数的值

例如：

已知关于x的方程有增根，求k的值.

分析：

分式方程的增根不是原分式方程的解，而是分式方程去分母后所得的整式方程的解中使得最简公分母为0的未知数的值.

解：

去分母，等式两边同时乘以，

得，

解得

∵分式方程有增根，

∴，即

∴，解得

所以时，原方程有增根.

小结：

含有参数的分式方程有增根求参数的一般方法.

①解含有参数的分式方程（用含有参数的代数式表示未知数的值）；

②确定增根（最简公分母为0）；

③将增根的值代入整式方程的解，求出参数.

练习：

已知关于x的方程有增根，求k的值.

变式：

已知关于x的方程无增根，求a的值.

【问题五】已知含有参数的分式方程无解，求参数的值

例如：

已知关于x的方程无解，求m的值.

分析：

分式方程无解包含两种情况，①分式方程所转化成的整式方程无解；②分式方程所转化成的整式方程有解，但是这个解使最简公分母为0.

解：

去分母，等式两边同时乘以，

得………①

当方程①无解时，则原方程也无解，

方程①化为，当时，方程①无解，此时；

当方程①有解，而这个解又恰好是原方程的增根，此时原方程也无解，

所以，当方程①的解为时原方程无解，

将代入方程①，得，故.

综上所诉：

当或时，原方程无解.

小结：

含有参数的分式方程无解求参数的一般方法.

①将分式方程转化为整式方程，并整理成一般形式（）；

②讨论整式方程无解的情况；（有可能整式方程一定有解）

③讨论整式方程的解为增根的情况.

练习：

已知关于x的方程无解，求a的值.