几何辅助线作法.doc

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【2013年中考攻略】专题7：

几何辅助线（图）作法探讨

一些几何题的证明或求解，由原图形分析探究，有时显得十分复杂，若通过适当的变换，即添加适当的辅助线（图），将原图形转换成一个完整的、特殊的、简单的新图形，则能使原问题的本质得到充分的显示，通过对新图形的分析，原问题顺利获解。

网络上有许多初中几何常见辅助线作法歌诀，下面这一套是很好的：

人说几何很困难，难点就在辅助线。

辅助线，如何添？

把握定理和概念。

还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。

三角形

图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

四边形

平行四边形出现，对称中心等分点。

梯形里面作高线，平移一腰试试看。

平行移动对角线，补成三角形常见。

证相似，比线段，添线平行成习惯。

等积式子比例换，寻找线段很关键。

直接证明有困难，等量代换少麻烦。

斜边上面作高线，比例中项一大片。

圆

半径与弦长计算，弦心距来中间站。

圆上若有一切线，切点圆心半径连。

切线长度的计算，勾股定理最方便。

要想证明是切线，半径垂线仔细辨。

是直径，成半圆，想成直角径连弦。

弧有中点圆心连，垂径定理要记全。

圆周角边两条弦，直径和弦端点连。

弦切角边切线弦，同弧对角等找完。

要想作个外接圆，各边作出中垂线。

还要作个内切圆，内角平分线梦圆。

如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。

内外相切的两圆，经过切点公切线。

若是添上连心线，切点肯定在上面。

要作等角添个圆，证明题目少困难。

辅助线，是虚线，画图注意勿改变。

假如图形较分散，对称旋转去实验。

基本作图很关键，平时掌握要熟练。

解题还要多心眼，经常总结方法显。

切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。

分析综合方法选，困难再多也会减。

虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。

在几何题的证明或求解时，需要构成一些基本图形来求证（解）时往往要通过添加辅助线（图）来形成，添加辅助线（图），构成的基本图形是结果，构造的手段是方法。

笔者从作辅助线的结果和方法两方面将几何辅助线（图）作法归纳为结果―――

（1）构造基本图形；

（2）构造等腰（边）三角形：

（3）构造直角三角形；（4）构造全等三角形；（5）构造相似三角形；（6）构造特殊四边形；（7）构造圆的特殊图形；方法―――（8）基本辅助线；（9）截取和延长变换；（10）对称变换；（11）平移变换；（12）旋转变换。

下面通过近年全国各地中考的实例探讨其应用。

一、构造基本图形：

每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形。

如平行线，垂直线，直角三角形斜边上中线，三角形、四边形的中位线等。

等腰（边）三角形、直角三角形、全等三角形、相似三角形、特殊四边形和圆的特殊图形也都是基本图形，但我们后面把它们单独表述。

典型例题：

例1.（2012湖北襄阳3分）如图，直线l∥m，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1=25°，则∠2的度数为【】

A．20°B．25°C．30°D．35°

【答案】A。

【考点】平行线的性质。

【分析】如图，过点B作BD∥l，

∵直线l∥m，∴BD∥l∥m。

∵∠1=25°，∴∠4=∠1=25°。

∵∠ABC=45°，∴∠3=∠ABC﹣∠4=45°﹣25°=20°。

∴∠2=∠3=20°。

故选A。

例2.（2012四川内江3分）如图，【】

A.B.C.D.

【答案】B。

【考点】平行的性质，三角形外角性质。

【分析】如图，反向延长，形成∠4。

∵，∴∠3=1800－∠4。

又∵∠2=∠1＋∠4，即∠4=∠2—∠1。

∴。

故选B。

例3.（2012广东梅州3分）如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，则EF=　▲．

【答案】2。

【考点】角平分线的性质，平行的性质，三角形外角性质，含30度角的直角三角形的性质。

【分析】作EG⊥OA于F，

∵EF∥OB，∴∠OEF=∠COE=15°，

∵∠AOE=15°，∴∠EFG=15°+15°=30°。

∵EG=CE=1，∴EF=2×1=2。

例4.（2012广东佛山3分）依次连接任意四边形各边的中点，得到一个特殊图形（可认为是一般四边形的性质），则这个图形一定是【】

A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形

【答案】A。

【考点】三角形中位线定理，平行四边形的判定。

【分析】根据题意画出图形，如右图所示：

连接AC，

∵四边形ABCD各边中点是E、F、G、H，

∴HG∥AC，HG=AC，EF∥AC，EF=AC。

∴EF=GH，EF∥GH。

∴四边形EFGH是平行四边形。

由于四边形EFGH是平行四边形，它就不可能是梯形；同时由于是任意四边形，所以AC=BD或AC⊥BD不一定成立，从而得不到矩形或菱形的判断。

故选A。

例5.（2012江苏宿迁3分）已知点E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，若AC⊥BD，且AC≠BD，则四边形EFGH的形状是▲.（填“梯形”“矩形”“菱形”）

【答案】矩形。

【考点】三角形中位线定理，矩形的判定。

【分析】如图，连接AC，BD。

∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，

∴根据三角形中位线定理，HE∥AB∥GF，HG∥AC∥EF。

又∵AC⊥BD，∴∠EHG=∠HGF=∠GFE=∠FEH=900。

∴四边形EFGH是矩形。

且∵AC≠BD，∴四边形EFGH邻边不相等。

∴四边形EFGH不可能是菱形。

例6.（2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分）如图，线段AC=n+1（其中n为正整数），点B在线段AC上，在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，连接AM、ME、EA得到△AME．当AB=1时，△AME的面积记为S1；当AB=2时，△AME的面积记为S2；当AB=3时，△AME的面积记为S3；…；当AB=n时，△AME的面积记为Sn．当n≥2时，Sn﹣Sn﹣1=　▲　．

【答案】。

【考点】正方形的性质，平行的判定和性质，同底等高的三角形面积，整式的混合运算。

【分析】连接BE，

∵在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，

∴BE∥AM。

∴△AME与△AMB同底等高。

∴△AME的面积=△AMB的面积。

∴当AB=n时，△AME的面积为，当AB=n－1时，△AME的面积为。

∴当n≥2时，。

例7.（2012江苏镇江6分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在BC边上，且∠GDF=∠ADF。

（1）求证：

△ADE≌△BFE；

（2）连接EG，判断EG与DF的位置关系，并说明理由。

【答案】解：

（1）证明：

∵AD∥BC，∴∠ADE=∠BFE（两直线平行，内错角相等）。

∵E是AB的中点，∴AE=BE。

又∵∠AED=∠BEF，∴△ADE≌△BFE（AAS）。

（2）EG与DF的位置关系是EG⊥DF。

理由如下：

∵∠ADE=∠BFE，∠GDF=∠ADF，

∴∠GDF=∠BFE（等量代换）。

∴GD=GF（等角对等边）。

又∵△ADE≌△BFE，∴DE=EF（全等三角形对应边相等）。

∴EG⊥DF（等腰三角形三线合一）。

【考点】平行的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质。

【分析】

（1）由已知，应用AAS即可证明△ADE≌△BFE。

（2）由∠ADE=∠BFE，∠GDF=∠ADF可得∠GDF=∠BFE，从而根据等角对等边得GD=GF；由

（1）△ADE≌△BFE可得DE=EF。

根据等腰三角形三线合一的性质可得EG⊥DF。

例8.（2012广西南宁10分）如图，已知矩形纸片ABCD，AD=2，AB=4．将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，折痕FG分别与AB，CD交于点G，F，AE与FG交于点O．

（1）如图1，求证：

A，G，E，F四点围成的四边形是菱形；

（2）如图2，当△AED的外接圆与BC相切于点N时，求证：

点N是线段BC的中点；

（3）如图2，在

（2）的条件下，求折痕FG的长．

【答案】解：

（1）由折叠的性质可得，GA=GE，∠AGF=∠EGF，

∵DC∥AB，∴∠EFG=∠AGF。

∴∠EFG=∠EGF。

∴EF=EG=AG。

∴四边形AGEF是平行四边形（EF∥AG，EF=AG）。

又∵AG=GE，∴四边形AGEF是菱形。

（2）连接ON，

∵△AED是直角三角形，AE是斜边，点O是AE的中点，

△AED的外接圆与BC相切于点N，

∴ON⊥BC。

∵点O是AE的中点，∴ON是梯形ABCE的中位线。

∴点N是线段BC的中点。

（3）∵OE、ON均是△AED的外接圆的半径，∴OE=OA=ON=2。

∴AE=AB=4。

在Rt△ADE中，AD=2，AE=4，∴∠AED=30°。

在Rt△OEF中，OE=2，∠AED=30°，∴。

∴FG=。

【考点】翻折变换（折叠问题），折叠对称的性质，菱形的判定，梯形中位线性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】

（1）根据折叠的性质判断出AG=GE，∠AGF=∠EGF，再由CD∥AB得出∠EFG=∠AGF，从而

判断出EF=AG，得出四边形AGEF是平行四边形，从而结合AG=GE，可得出结论。

（2）连接ON，则ON⊥BC，从而判断出ON是梯形ABCE的中位线，从而可得出结论。

（3）根据

（1）可得出AE=AB，从而在Rt△ADE中，可判断出∠AED为30°，在Rt△EFO中求

出FO，从而可得出FG的长度。

练习题：

1.（2012宁夏区3分）如图，C岛在A岛的北偏东45°方向，在B岛的北偏西25°方向，则从C岛看A、B两岛的视角∠ACB＝▲度．

2.（2012浙江嘉兴、舟山5分）在直角△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD=4，则点D到斜边AB的距离为　▲　．

3.（2012江苏南京8分）如图，梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，ACBD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点

（1）求证：

四边形EFGH为正方形；

（2）若AD=2，BC=4，求四边形EFGH的面积。

4.（2011湖南怀化3分）如图，已知直线∥，∠1=40°，∠2=60°．则∠3等于【】

A、100°B、60°C、40°D、20°

5.（2011湖北恩施3分）将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α=43°，则∠β的度数是【】

A、43° B、47°C、30° D、60°

6.（2011广东茂名3分）如图，两条笔直的公路l1、l2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂A、B、D，已知AB=BC=CD=DA=5公里，村庄C到公路l1的距离为4公里，则村庄C到公路l2的距离是【】

A、3公里 B、4公里C、5公里 D、6公里

7.（2011辽宁辽阳3分）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，若DE⊥AB，垂足为点E，则DE的长为▲．

8.（2011贵州黔东南4分）顺次连接一矩形场地ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点E、F、G、H，得到四边形EFGH，M为边EH的中点，点P为小明在对角线EG上走动的位置，若AB=10米，BC=米，当PM+PH的和为最小值时，EP的长为▲。

9.（2011广西玉林、防城港10分）如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．

（1）求证：

EB=GD；

（2）判断EB与GD的位置关系，并说明理由；

（3）若AB=2，AG=，求EB的长．

10.（2011湖南衡阳10分）如图，在矩形ABCD中，AD=4cm，AB=m（m＞4），点P是AB边上的任意一点（不与点A、B重合），连接PD，过点P作PQ⊥PD，交直线BC于点Q．

（1）当m=10时，是否存在点P使得点Q与点C重合？

若存在，求出此时AP的长；若不存在，说明理由；

（2）连接AC，若PQ∥AC，求线段BQ的长（用含m的代数式表示）；

（3）若△PQD为等腰三角形，求以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围．

二、构造等腰（边）三角形：

当问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰（边）三角形；出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰（边）三角形。

通过构造等腰（边）三角形，应用等腰（边）三角形的性质得到一些边角相等关系，达到求证（解）的目的。

典型例题：

例1.（2012浙江丽水、金华4分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°．∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是　▲　．

【答案】50°。

【考点】翻折变换（折叠问题），等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的判定和性质。

【分析】利用全等三角形的判定以及垂直平分线的性质得出∠OBC＝40°，以及∠OBC＝∠OCB＝40°，再利用翻折变换的性质得出EO＝EC，∠CEF＝∠FEO，进而求出即可：

连接BO，

∵AB＝AC，AO是∠BAC的平分线，∴AO是BC的中垂线。

∴BO＝CO。

∵∠BAC＝50°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，

∴∠OAB＝∠OAC＝25°。

∵等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，∴∠ABC＝∠ACB＝65°。

∴∠OBC＝65°－25°＝40°。

∴∠OBC＝∠OCB＝40°。

∵点C沿EF折叠后与点O重合，∴EO＝EC，∠CEF＝∠FEO。

∴∠CEF＝∠FEO＝（1800－2×400）÷2＝50°。

例2.（2012甘肃白银10分）如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB=60°，DC=EF．

（1）求证：

四边形EFCD是平行四边形；

（2）若BF=EF，求证：

AE=AD．

【答案】证明：

（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°。

∵∠EFB=60°，∴∠ABC=∠EFB。

∴EF∥DC（内错角相等，两直线平行）。

∵DC=EF，∴四边形EFCD是平行四边形。

（2）连接BE。

∵BF=EF，∠EFB=60°，∴△EFB是等边三角形。

∴EB=EF，∠EBF=60°。

∵DC=EF，∴EB=DC。

∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，AB=AC。

∴∠EBF=∠ACB。

∴△AEB≌△ADC（SAS）。

∴AE=AD。

【考点】等边三角形的性质，平行的判定，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，。

【分析】

（1）由△ABC是等边三角形得到∠B=60°，而∠EFB=60°，由此可以证明EF∥DC，而DC=EF，然后即可证明四边形EFCD是平行四边形；

（2）如图，连接BE，由BF=EF，∠EFB=60°可以推出△EFB是等边三角形，然后得到EB=EF，∠EBF=60°，而DC=EF，由此得到EB=DC，又△ABC是等边三角形，所以得到∠ACB=60°，AB=AC，由SAS即可证明△AEB≌△ADC，利用全等三角形的性质就证明AE=AD。

例3.（2011上海12分）如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC，过点D作DE⊥BC，垂足为E，并延长DE至F，使EF＝DE．联结BF、CD、AC．

（1）求证：

四边形ABFC是平行四边形；

（2）如果DE2＝BE·CE，求证四边形ABFC是矩形．

【答案】解：

（1）证明：

连接BD。

∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∴AC=BD，∠ACB=∠DBC

∵DE⊥BC，EF=DE，∴BD=BF，∠DBC=∠FBC。

∴AC=BF，∠ACB=∠CBF。

∴AC∥BF。

∴四边形ABFC是平行四边形；

（2）∵DE2＝BE·CE，∴。

∵∠DEB=∠DEC=90°，∴△BDE∽△DEC。

∴∠CDE=∠DBE，

∴∠BFC=∠BDC=∠BDE＋∠CDE=∠BDE＋∠DBE=90°。

∴四边形ABFC是矩形。

【考点】等腰梯形的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定，等量代换。

【分析】

（1）连接BD，利用等腰梯形的性质得到AC=BD，再根据垂直平分线的性质得到DB=FB，从而得到AC=BF，然后证得AC∥BF，利用一组对边平行且相等判定平行四边形。

（2）利用题目提供的等积式和两直角相等可以证得两直角三角形相似，得到对应角相等，从而得到直角来证明有一个角是直角的平行四边形是矩形。

练习题：

1.（2011山东潍坊3分）已知长方形ABCD，AB=3cm，AD=4cm，过对角线BD的中点O做BD的垂

直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，则AE的长为▲．

2.（2011辽宁辽阳3分）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，若DE⊥AB，垂足为点E，则DE的长为▲．

3.（2011湖北十堰8分）如图，AB是半圆O的直径，点C为半径OB上一点，过点C作CD⊥AB交半圆O于点D，将△ACD沿AD折叠得到△AED，AE交半圆于点F，连接DF。

（1）求证：

DE是半圆的切线；

（2）连接OD，当OC=BC时，判断四边形ODFA的形状，并证明你的结论。

4.（2011四川巴中10分）如图所示，△ABC的外接圆圆心O在AB上，点D是BC延长线上一点，DM⊥AB于M，交AC于N，且AC=CD．CP是△CDN的ND边的中线．

（1）求证：

△ABC≌△DNC；

（2）试判断CP与⊙O的位置关系，并证明你的结论。

5.（2011广东河源9分）如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC。

将△ACD沿对角线AC翻折后，点D恰好与边AB的中点M重合．

（1）点C是否在以AB为直径的圆上?

请说明理由;

（2）当AB=4时，求此梯形的面积．

三、构造直角三角形：

通过构造直角三角形，应用直角三角形的性质得到一些边角关系（勾股定理，两锐角互余，锐角三角函数），达到求证（解）的目的。

典型例题：

例2.（2012广西柳州3分）已知：

在△ABC中，AC=a，AB与BC所在直线成45°角，AC与BC所在直

线形成的夹角的余弦值为（即cosC=），则AC边上的中线长是▲．

【答案】或a。

【考点】解直角三角形，锐角三角函数定义，三角形中位线定理，勾股定理。

【分析】分两种情况：

①△ABC为锐角三角形时，如图1，BE为AC边的中线。

作△ABC的高AD，过点E作EF⊥BC于点F。

∵在Rt△ACD中，AC=a，cosC=，

∴CD=a，AD=a。

∵在Rt△ABD中，∠ABD=45°，∴BD=AD=a。

。

∴BC=BD+CD=a。

∵点E是AC的中点，EF∥AD，∴EF是△ACD的中位线。

∴FC=DC=a，EF=AD=a。

∴BF=a。

在Rt△BEF中，由勾股定理，得。

②△ABC为钝角三角形时，如图2，BE为AC边的中线。

作△ABC的高AD。

∵在Rt△ACD中，AC=a，cosC=，

∴CD=a，AD=a。

∵在Rt△ABD中，∠ABD=45°，∴BD=AD=a。

∴BC=BD=a。

∵点E是AC的中点，∴BE是△ACD的中位线。

∴BE=AD=a。

综上所述，AC边上的中线长是或a。

例3.（2012广西河池3分）如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，将矩形ABCD折叠，使点C与点A重

合，折痕为MN，连结CN．若△CDN的面积与△CMN的面积比为1︰4，则的值为【】

A．2 B．4C． D．

【答案】D。

【考点】翻折变换（折叠问题），折叠的性质，矩形、菱形的判定和性质，勾股定理。

【分析】过点N作NG⊥BC于G，由四边形ABCD是矩形，易得四边形CDNG是矩形，又由折叠的性质，可得四边形AMCN是菱形，由△CDN的面积与△CMN的面积比为1：

4，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，可得DN：

CM=1：

4，然后设DN=x，由勾股定理可求得MN的长，从而求得答案：

过点N作NG⊥BC于G，

∵四边形ABCD是矩形，∴四边形CDNG是矩形，AD∥BC。

∴CD=NG，CG=DN，∠ANM=∠CMN。

由折叠的性质可得：

AM=CM，∠AMN=∠CMN，∴∠ANM=∠AMN。

∴AM=AN。

∴AM=CM，∴四边形AMCN是平行四边形。

∵AM=CM，∴四边形AMCN是菱形。

∵△CDN的面积与△CMN的面积比为1：

4，∴DN：

CM=1：

4。

设DN=x，则AN=AM=CM=CN=4x，AD=BC=5x，CG=x。

∴BM=x，GM=3x。

在Rt△CGN中，，

在Rt△MNG中，，

∴。

故选D。

例4.（2012北京市5分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC=900，∠CED=450，∠DCE=900，DE=，BE=2．求CD的长和四边形ABCD的面积．

【答案】解：

过点D作DH⊥AC，

∵∠CED=45°，DH⊥EC，DE=，∴EH=DH=1。

又∵∠DCE=30°，∴DC=2，HC=。

∵∠AEB=45°，∠BAC=90°，BE=2，

∴AB=AE=2。

∴AC=2+1+=3+。

∴。

【考点】勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，

【分析】利用等腰直角三角形的性质得出EH=DH=1，进而得出再利用直角三角形中30°所对边等于斜边的一半得出CD的长，求出AC，AB的长即可得出四边形ABCD的面积。

例5.（2012山东莱芜9分）某市规划局计划在一坡角为16º的斜坡AB上安装一球形雕塑，其横截面示意

图如图所示．已知支架AC与斜坡AB的夹角为28º，支架BD⊥AB于点B，且AC、BD的延长线均过⊙O

的圆心，AB＝12m，⊙O的半径为1.5m，求雕塑最顶端到水平地面的垂直距离（结果精确到0.01m，参考

数据：

cos28º≈0.9，sin62º≈0.9，sin44º≈0.7，cos46º≈0.7）．

【答案】解：

如图，过点O作水平地面的垂线，垂足为点E。

在Rt△AOB中，，即，

∴。

∵∠BAE=160，∴∠OAE=280＋160=440。

在Rt△AOE中，，即，

∴

9.333＋1.5=10.833≈10.83（m）。

答：

雕塑最顶端到水平地面的垂直距离为10.83m。

【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。

【分析】如图，过点O作水平地面的垂线，构造Rt△AOE。

解Rt△AOB，求出OA；解Rt