九年级相似三角形知识点总结及例题讲解.doc
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相似三角形基本知识
知识点一：
放缩与相似
1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。
2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。
注意：
⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。
⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。
⑶我们可以这样理解相似形：
两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．
⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．
3.相似多边形的性质：
如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
注意：
当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1.
知识点二：
比例线段有关概念及性质
（1）有关概念
1、比：
选用同一长度单位量得两条线段。
a、b的长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a：
b＝m：
n（或）
2、比的前项，比的后项：
两条线段的比a：
b中。
a叫做比的前项，b叫做比的后项。
说明：
求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。
3、比例：
两个比相等的式子叫做比例，如
4、比例外项：
在比例（或a：
b＝c：
d）中a、d叫做比例外项。
5、比例内项：
在比例（或a：
b＝c：
d）中b、c叫做比例内项。
6、第四比例项：
在比例（或a：
b＝c：
d）中，d叫a、b、c的第四比例项。
7、比例中项：
如果比例中两个比例内项相等，即比例为（或a:
b＝b:
c时，我们把b叫做a和d的比例中项。
8.比例线段：
对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即（或a：
b=c：
d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
（注意：
在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）
（2）比例性质
1.基本性质:
（两外项的积等于两内项积）
2.反比性质：
（把比的前项、后项交换）
3.更比性质（交换比例的内项或外项）：
4.合比性质：
（分子加（减）分母,分母不变）
．
注意：
实际上，比例的合比性质可扩展为：
比例式中等号左右两个比的前项，后项之间
发生同样和差变化比例仍成立．如：
．
5.等比性质：
（分子分母分别相加，比值不变.）
如果，那么．
注意：
（1）此性质的证明运用了“设法”，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．
（2）应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．
（3）可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．
知识点三：
黄金分割
1）定义：
在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），如果，即AC2=AB×BC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。
其中≈0.618。
2）黄金分割的几何作图：
已知：
线段AB.求作：
点C使C是线段AB的黄金分割点.
作法：
①过点B作BD⊥AB，使；
②连结AD，在DA上截取DE=DB；
③在AB上截取AC=AE，则点C就是所求作的线段AB的黄金分割点.黄金分割的比值为：
.（只要求记住）
3）矩形中，如果宽与长的比是黄金比，这个矩形叫做黄金矩形。
知识点四：
平行线分线段成比例定理
（一）平行线分线段成比例定理
1.平行线分线段成比例定理:
三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比.
例.已知l1∥l2∥l3,
ADl1
BEl2
CFl3
可得
2.推论:
平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例.
（1）是“A”字型
（2）是“8”字型
经常考，关键在于找
由DE∥BC可得：
.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.
3.推论的逆定理：
如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.（即利用比例式证平行线）
4.定理:
平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.
5.平行线等分线段定理：
三条平行线截两条直线,如果在一条直线上截得的线段相等，难么在另一条直线上截得的线段也相等。
★三角形一边的平行线性质定理
定理：
平行于三角形一边的直线截其他两边所得的线段对应成比例。
几何语言∵△ABE中BD∥CE
∴简记：
归纳：
和推广：
类似地还可以得到和
★三角形一边的平行线性质定理推论
平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.
★三角形一边的平行线的判定定理
三角形一边平行线判定定理如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.
三角形一边的平行线判定定理推论如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.
★平行线分线段成比例定理
1．平行线分线段成比例定理：
两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例.
用符号语言表示：
AD∥BE∥CF,.
2．平行线等分线段定理：
两条直线被三条平行的直线所截，如果在一直线上所截得的线段相等，那么在另一直线上所截得的线段也相等.
用符号语言表示：
.
重心定义：
三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心.
重心的性质：
三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点的距离的两倍.
知识点三：
相似三角形
1、相似三角形
1）定义：
如果两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。
几种特殊三角形的相似关系：
两个全等三角形一定相似。
两个等腰直角三角形一定相似。
两个等边三角形一定相似。
两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。
补充：
对于多边形而言，所有圆相似；所有正多边形相似（如正四边形、正五边形等等）；
2）性质：
两个相似三角形中，对应角相等、对应边成比例。
3）相似比：
两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比。
如△ABC与△DEF相似，记作△ABC∽△DEF。
相似比为k。
4）判定：
①定义法：
对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。
②三角形相似的预备定理：
平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
三角形相似的判定定理：
判定定理1：
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两
个三角形相似．简述为：
两角对应相等，两三角形相似．（此定理用的最多）
判定定理2：
如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹
角相等，那么这两个三角形相似．简述为：
两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．
判定定理3：
如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这
两个三角形相似．简述为：
三边对应成比例，两三角形相似．
直角三角形相似判定定理:
.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。
.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。
补充一：
直角三角形中的相似问题：
斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似.
射影定理：
CD²=AD·BD，
AC²=AD·AB，
BC²=BD·BA
（在直角三角形的计算和证明中有广泛的应用）.
补充二：
三角形相似的判定定理推论
推论一：
顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。
推论二：
腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。
推论三：
有一个锐角相等的两个直角三角形相似。
推论四：
直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。
推论五：
如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。
相似三角形的性质
①相似三角形对应角相等、对应边成比例.
②相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线、周长的比都等于相似比（对应边的比）.
③相似三角形对应面积的比等于相似比的平方.
2、相似的应用：
位似
1）定义：
如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。
需注意：
①位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形。
②两个位似图形的位似中心只有一个。
③两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧。
④位似比就是相似比。
2）性质：
①位似图形首先是相似图形，所以它具有相似图形的一切性质。
②位似图形是一种特殊的相似图形，它又具有特殊的性质，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离等于位似比（相似比）。
③每对位似对应点与位似中心共线，不经过位似中心的对应线段平行。
一、如何证明三角形相似
例1、如图：
点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上,AG交BC、BD于点E、F，则△AGD∽∽。
例2、已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分线，求证：
△ABC∽△BCD
例3：
已知，如图，D为△ABC内一点连结ED、AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD
求证：
△DBE∽△ABC
例4、矩形ABCD中，BC=3AB，E、F，是BC边的三等分点，连结AE、AF、AC，问图中是否存在非全等的相似三角形？
请证明你的结论。
二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式
例5、△ABC中，在AC上截取AD，在CB延长线上截取BE，使AD=BE，求证：
DFAC=BCFE
例6：
已知：
如图，在△ABC中，∠BAC=900，M是BC的中点，DM⊥BC于点E，交BA的延长线于点D。
求证：
（1）MA2=MDME；
（2）
例7：
如图△ABC中，AD为中线，CF为任一直线，CF交AD于E，交AB于F，求证：
AE：
ED=2AF：
FB。
三、如何用相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。
例8：
已知：
如图E、F分别是正方形ABCD的边AB和AD上的点，且。
求证：
∠AEF=∠FBD
例9、在平行四边形ABCD内，AR、BR、CP、DP各为四角的平分线，求证：
SQ∥AB，RP∥BC
例10、已知A、C、E和B、F、D分别是∠O的两边上的点，且AB∥ED，BC∥FE，求证：
AF∥CD
例11、直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BCDE是正方形，AE交BC于F，FG∥AC交AB于G，求证：
FC=FG
例12、Rt△ABC锐角C的平分线交AB于E，交斜边上的高AD于O，过O引BC的平行线交AB于F，求证：
AE=BF
（答案）
例1分析：
关键在找“角相等”，除已知条件中已明确给出的以外，还应结合具体的图形，利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角。
本例除公共角∠G外,由BC∥AD可得∠1=∠2，所以△AGD∽△EGC。
再∠1=∠2（对顶角），由AB∥DG可得∠4=∠G，所以△EGC∽△EAB。
例2分析：
证明相似三角形应先找相等的角，显然∠C是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得。
借助于计算也是一种常用的方法。
证明：
∵∠A=36°，△ABC是等腰三角形，∴∠ABC=∠C=72°又BD平分∠ABC，则∠DBC=36°
在△ABC和△BCD中，∠C为公共角，∠A=∠DBC=36°∴△ABC∽△BCD
例3分析：
由已知条件∠ABD=∠CBE，∠DBC公用。
所以∠DBE=∠ABC，要证的△DBE和△ABC，有一对角相等，要证两个三角形相似，或者再找一对角相等，或者找夹这个角的两边对应成比例。
从已知条件中可看到△CBE∽△ABD，这样既有相等的角，又有成比例的线段，问题就可以得到解决。
证明：
在△CBE和△ABD中，∠CBE=∠ABD,∠BCE=∠BAD∴△CBE∽△ABD∴=即：
=
△DBE和△ABC中，∠CBE=∠ABD,∠DBC公用∴∠CBE+∠DBC=∠ABD+∠DBC∴∠DBE=∠ABC且=∴△DBE∽△ABC
例4分析：
本题要找出相似三角形，那么如何寻找相似三角形呢？
下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：
（1）如图：
称为“平行线型”的相似三角形
（2）如图：
其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“相交线型”的相似三角形。
（3）如图：
∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。
观察本题的图形，如果存在相似三角形只可能是“相交线型”的相似三角形，及△EAF与△ECA
解：
设AB=a，则BE=EF=FC=3a，
由勾股定理可求得AE=，在△EAF与△ECA中，∠AEF为公共角，且所以△EAF∽△ECA
例5分析：
证明乘积式通常是将乘积式变形为比例式及DF：
FE=BC：
AC，再利用相似三角形或平行线性质进行证明：
证明：
过D点作DK∥AB，交BC于K，
∵DK∥AB，∴DF：
FE=BK：
BE
又∵AD=BE，∴DF：
FE=BK：
AD，而BK：
AD=BC：
AC
即DF：
FE=BC：
AC，∴DFAC=BCFE
例6证明：
（1）∵∠BAC=900，M是BC的中点，∴MA=MC，∠1=∠C，
∵DM⊥BC，∴∠C=∠D=900-∠B，∴∠1=∠D，
∵∠2=∠2，∴△MAE∽△MDA，∴，∴MA2=MDME，
（2）∵△MAE∽△MDA，∴，∴
评注：
命题1如图，如果∠1=∠2，那么△ABD∽△ACB，AB2=ADAC。
命题2如图，如果AB2=ADAC，那么△ABD∽△ACB，∠1=∠2。
例7分析：
图中没有现成的相似形，也不能直接得到任何比例式，于是可以考虑作平行线构造相似形。
怎样作？
观察要证明的结论，紧紧扣住结论中“AE：
ED”的特征，作DG∥BA交CF于G，得△AEF∽△DEG，。
与结论相比较，显然问题转化为证。
证明：
过D点作DG∥AB交FC于G则△AEF∽△DEG。
（平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线所得三角形与原三角形相似）
（1）
∵D为BC的中点，且DG∥BF∴G为FC的中点则DG为△CBF的中位线，
（2）将
（2）代入
（1）得：
例8分析：
要证角相等，一般来说可通过全等三角形、相似三角形，等边对等角等方法来实现，本题要证的两个角分别在两个三角形中，可考虑用相似三角形来证，但要证的两个角所在的三角形显然不可能相似（一个在直角三角形中，另一个在斜三角形中），所以证明本题的关键是构造相似三角形，
证明：
作FG⊥BD，垂足为G。
设AB=AD=3k则BE=AF=k，AE=DF=2k，BD=
∵∠ADB=450，∠FGD=900∴∠DFG=450∴DG=FG=∴BG=∴
又∠A=∠FGB=900∴△AEF∽△GBF∴∠AEF=∠FBD
例9分析：
要证明两线平行较多采用平行线的判定定理，但本例不具备这样的条件，故可考虑用比例线段去证明。
利用比例线段证明平行线最关键的一点就是要明确目标，选择适当的比例线段。
要证明SQ∥AB，只需证明AR：
AS=BR：
DS。
证明：
在△ADS和△ARB中。
∵∠DAR=∠RAB=∠DAB，∠DCP=∠PCB=∠ABC∴△ADS∽△ABR
但△ADS≌△CBQ，∴DS=BQ，则，∴SQ∥AB，同理可证，RP∥BC
例10分析：
要证明AF∥CD，已知条件中有平行的条件，因而有好多的比例线段可供利用，这就要进行正确的选择。
其实要证明AF∥CD，只要证明即可，因此只要找出与这四条线段相关的比例式再稍加处理即可成功。
证明：
∵AB∥ED，BC∥FE∴，∴两式相乘可得：
例11分析：
要证明FC=FG，从图中可以看出它们所在的三角形显然不全等，但存在较多的平行线的条件，因而可用比例线段来证明。
要证明FC=FG，首先要找出与FC、FG相关的比例线段，图中与FC、FG相关的比例式较多，则应选择与FC、FG都有联系的比作为过渡，最终必须得到（“？
”代表相同的线段或相等的线段），便可完成。
证明：
∵FG∥AC∥BE，∴△ABE∽△AGF则有而FC∥DE∴△AED∽△AFC
则有∴又∵BE=DE（正方形的边长相等）∴，即GF=CF。
例12证明：
∵CO平分∠C，∠2=∠3，故Rt△CAE∽Rt△CDO，∴
又OF∥BC，∴又∵Rt△ABD∽Rt△CAD，∴，即∴AE=BF。
一、选择题
1．（2009年滨州）如图所示，给出下列条件：
①；②；③；④．
其中单独能够判定的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【关键词】三角形相似的判定.
【答案】C
2.（2009年上海市）如图，已知，那么下列结论正确的是（）
A． B． C． D．
【关键词】平行线分线段成比例
【答案】A
3.（2009成都）已知△ABC∽△DEF，且AB：
DE=1：
2，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为
（A）1：
2（B）1：
4（C）2：
1（D）4：
1
【关键词】
【答案】B
4.（2009年安顺）如图，已知等边三角形ABC的边长为2，DE是它的中位线，则下面四个结论：
（1）DE=1，
（2）△CDE∽△CAB，（3）△CDE的面积与△CAB的面积之比为1：
4.其中正确的有：
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【关键词】等边三角形，三角形中位线，相似三角形
【答案】D
5.（2009重庆綦江）若△ABC∽△DEF,△ABC与△DEF的相似比为１∶2，则△ABC与△DEF的周长比为（）
A．1∶4 B．1∶2 C．2∶1 D．１∶
【关键词】
【答案】B
6.（2009年杭州市）如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（）
A．只有1个B．可以有2个
C．有2个以上但有限D．有无数个
【关键词】相似三角形有关的计算和证明
【答案】B
7.2009年宁波市）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是边AB、AD的中点，连接OM、ON、MN，则下列叙述正确的是（）
A．△AOM和△AON都是等边三角形
B．四边形MBON和四边形MODN都是菱形
C．四边形AMON与四边形ABCD是位似图形
D．四边形MBCO和四边形NDCO都是等腰梯形
D
B
C
A
N
M
O
【关键词】位似
【答案】C
8.（2009年江苏省）如图，在方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图②
中所示的位置，与三角形乙拼成一个矩形，那么，下面的平
移方法中，正确的是（）
A．先向下平移3格，再向右平移1格
B．先向下平移2格，再向右平移1格
C．先向下平移2格，再向右平移2格
D．先向下平移3格，再向右平移2格
【关键词】平移
【答案】D
9.（2009年义乌）在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比。
已知这本书的长为20cm，则它的宽约为
A．12.36cmB.13.6cmC.32.36cmD.7.64cm
【关键词】黄金比
【答案】A
10.（2009年娄底）小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点B时，要使眼睛O、准星A、目标B在同一条直线上，如图4所示，在射击时，小明有轻微的抖动，致使准星A偏离到A′，若OA=0.2米，OB=40米，AA′=0.0015米，则小明射击到的点B′偏离目标点B的长度BB′为（）
A．3米B．0.3米C．0.03米D．0.2米
【关键词】相似三角形
【答案】B
11.（2009恩施市）如图，在中，是上一点，于，且，则的长为（ ）
A．2B．C．D．
【关键词】解直角三角形、相似
【答案】B
12.（2009年甘肃白银）如图3，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8m、与旗杆相距22m，则旗杆的高为（ ）
A．12m B．10m C．8m D．7m
【关键词】相似三角形判定和性质
【答案】A
13.（2009年孝感）如图，将放置于平面直角坐标系中的三角板AOB绕O点顺时针旋转90°得△A′OB′．已知∠AOB=30°，∠B=90°，AB=1，则B′点的坐标为
A． B． C． D．
【关键词】旋转
【答案】A
14.（2009年孝感）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
【关键词】黄金比
【答案】C
15.（2009年新疆）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（）
A.
【关键词】相似三角形的判定
【答案】A
16.（2009年天津市）在和中，，如果的周长是16，面积是12，那么的周长、面积依次为（）
A．8，3 B．8，6 C．4，3 D．４，6
【关键词】相似三角形的性质
【答案】A
17.（2009年牡丹江市）如图，中，于一定能确定为直角三角形的条件的个数是（）
①②③④
⑤
A．1 B．2 C．3 D．4
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