初中数学圆的专题训练.doc

初中数学圆的专题训练.doc

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圆的专题训练初中数学组卷

一．选择题（共15小题）

1．如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30°，⊙O的半径为5cm，则圆心O到弦CD的距离为（　　）

A．cm B．3cm C．3cm D．6cm

3．如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∠ABD=60°，CD=2，则阴影部分的面积为（　　）

A． B．π C．2π D．4π

4．如图，已知AB是⊙O的直径，∠D=40°，则∠CAB的度数为（　　）

A．20° B．40° C．50° D．70°

5．如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（　　）

A． B．2 C． D．

6．如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，∠BCD=30°，CD=4，则S阴影=（　　）

A．2π B．π C．π D．π

7．如图，⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A=45°，∠AMD=75°，则∠B的度数是（　　）

A．15° B．25° C．30° D．75°

8．如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=36°，∠C=28°，则∠B=（　　）

A．100° B．72° C．64° D．36°

9．如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴相切，与y轴相交于A（0，2），B（0，8），则圆心P的坐标是（　　）

A．（5，3） B．（5，4） C．（3，5） D．（4，5）

10．如图，正方形ABCD的边AB=1，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（　　）

A． B．1﹣ C．﹣1 D．1﹣

11．如图，△ABC内接于半径为5的⊙O，圆心O到弦BC的距离等于3，则∠A的正切值等于（　　）

A． B． C． D．

12．如图所示，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2cm，⊙A与BC相切于点D，阴影部分的面积为（　　）

A． B． C． D．

13．如图，某工件形状如图所示，等腰Rt△ABC中斜边AB=4，点O是AB的中点，以O为圆心的圆分别与两腰相切于点D、E，则图中阴影部分的面积是（　　）

A． B． C． D．2﹣π

14．若圆锥经过轴的截面是一个正三角形，则它的侧面积与底面积之比是（　　）

A．3：

2 B．3：

1 C．5：

3 D．2：

1

15．如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，且为半圆的．设扇形AOC、△COB、弓形BmC的面积分别为S1、S2、S3，则下列结论正确的是（　　）

A．S1＜S2＜S3 B．S2＜S1＜S3 C．S2＜S3＜S1 D．S3＜S2＜S1

二．解答题（共10小题）

16．已知AB是半径为1的圆O直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过点D的直线交AC于E点，且△AEF为等边三角形

（1）求证：

△DFB是等腰三角形；

（2）若DA=AF，求证：

CF⊥AB．

17．已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC．

（1）求证：

AB=AC；

（2）若AB=4，BC=2，求CD的长．

18．如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为中点，连接BM，CM．

（1）求证：

BM=CM；

（2）当⊙O的半径为2时，求的长．

19．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，弦BD=BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E．

（1）求证：

∠1=∠BAD；

（2）求证：

BE是⊙O的切线．

20．如图，⊙O的直径为AB，点C在圆周上（异于A，B），AD⊥CD．

（1）若BC=3，AB=5，求AC的值；

（2）若AC是∠DAB的平分线，求证：

直线CD是⊙O的切线．

21．如图，直角△ABC内接于⊙O，点D是直角△ABC斜边AB上的一点，过点D作AB的垂线交AC于E，过点C作∠ECP=∠AED，CP交DE的延长线于点P，连结PO交⊙O于点F．

（1）求证：

PC是⊙O的切线；

（2）若PC=3，PF=1，求AB的长．

22．如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB．

（1）求证：

直线BF是⊙O的切线；

（2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的长．

23．如图，AB是⊙O的直径，点F、C在⊙O上且，连接AC、AF，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D．

（1）求证：

CD是⊙O的切线；

（2）若，CD=4，求⊙O的半径．

24．如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．

（1）请证明：

E是OB的中点；

（2）若AB=8，求CD的长．

25．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD=24，点M在⊙O上，MD经过圆心O，联结MB．

（1）若BE=8，求⊙O的半径；

（2）若∠DMB=∠D，求线段OE的长．

圆的专题训练初中数学组卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共15小题）

1．（2016•陕西）如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

【分析】首先过点O作OD⊥BC于D，由垂径定理可得BC=2BD，又由圆周角定理，可求得∠BOC的度数，然后根据等腰三角形的性质，求得∠OBC的度数，利用余弦函数，即可求得答案．

【解答】解：

过点O作OD⊥BC于D，

则BC=2BD，

∵△ABC内接于⊙O，∠BAC与∠BOC互补，

∴∠BOC=2∠A，∠BOC+∠A=180°，

∴∠BOC=120°，

∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB=（180°﹣∠BOC）=30°，

∵⊙O的半径为4，

∴BD=OB•cos∠OBC=4×=2，

∴BC=4．

故选：

B．

【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质以及三角函数等知识．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

2．（2016•黔南州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30°，⊙O的半径为5cm，则圆心O到弦CD的距离为（　　）

A．cm B．3cm C．3cm D．6cm

【分析】根据垂径定理知圆心O到弦CD的距离为OE；由圆周角定理知∠COB=2∠CDB=60°，已知半径OC的长，即可在Rt△OCE中求OE的长度．

【解答】解：

连接CB．

∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，

∴圆心O到弦CD的距离为OE；

∵∠COB=2∠CDB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∠CDB=30°，

∴∠COB=60°；

在Rt△OCE中，

OC=5cm，OE=OC•cos∠COB，

∴OE=cm．

故选A．

【点评】本题考查了垂径定理、圆周角定理及解直角三角形的综合应用．解答这类题一些学生不会综合运用所学知识解答问题，不知从何处入手造成错解．

3．（2016•通辽）如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∠ABD=60°，CD=2，则阴影部分的面积为（　　）

A． B．π C．2π D．4π

【分析】连接OD，则根据垂径定理可得出CE=DE，继而将阴影部分的面积转化为扇形OBD的面积，代入扇形的面积公式求解即可．

【解答】解：

连接OD．

∵CD⊥AB，

∴CE=DE=CD=，

故S△OCE=S△ODE，即可得阴影部分的面积等于扇形OBD的面积，

又∵∠ABD=60°，

∴∠CDB=30°，

∴∠COB=60°，

∴OC=2，

∴S扇形OBD==，即阴影部分的面积为．

故选A．

【点评】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．

4．（2016•娄底）如图，已知AB是⊙O的直径，∠D=40°，则∠CAB的度数为（　　）

A．20° B．40° C．50° D．70°

【分析】先根据圆周角定理求出∠B及∠ACB的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论．

【解答】解：

∵∠D=40°，

∴∠B=∠D=40°．

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠CAB=90°﹣40°=50°．

故选C．

【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．

5．（2016•达州）如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（　　）

A． B．2 C． D．

【分析】作直径CD，根据勾股定理求出OD，根据正切的定义求出tan∠CDO，根据圆周角定理得到∠OBC=∠CDO，等量代换即可．

【解答】解：

作直径CD，

在Rt△OCD中，CD=6，OC=2，

则OD==4，

tan∠CDO==，

由圆周角定理得，∠OBC=∠CDO，

则tan∠OBC=，

故选：

C．

【点评】本题考查的是圆周角定理、锐角三角函数的定义，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．

6．（2016•广安）如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，∠BCD=30°，CD=4，则S阴影=（　　）

A．2π B．π C．π D．π

【分析】根据垂径定理求得CE=ED=2，然后由圆周角定理知∠DOE=60°，然后通过解直角三角形求得线段OD、OE的长度，最后将相关线段的长度代入S阴影=S扇形ODB﹣S△DOE+S△BEC．

【解答】解：

如图，假设线段CD、AB交于点E，

∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，

∴CE=ED=2，

又∵∠BCD=30°，

∴∠DOE=2∠BCD=60°，∠ODE=30°，

∴OE=DE•cot60°=2×=2，OD=2OE=4，

∴S阴影=S扇形ODB﹣S△DOE+S△BEC=﹣OE×DE+BE•CE=﹣2+2=．

故选B．

【点评】考查了垂径定理、扇形面积的计算，通过解直角三角形得到相关线段的长度是解答本题的关键．

7．（2016•自贡）如图，⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A=45°，∠AMD=75°，则∠B的度数是（　　）

A．15° B．25° C．30° D．75°

【分析】由三角形外角定理求得∠C的度数，再由圆周角定理可求∠B的度数．

【解答】解：

∵∠A=45°，∠AMD=75°，

∴∠C=∠AMD﹣∠A=75°﹣45°=30°，

∴∠B=∠C=30°，

故选C．

【点评】本题主要考查了三角形的外角定理，圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．

8．（2016•毕节市）如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=36°，∠C=28°，则∠B=（　　）

A．100° B．72° C．64° D．36°

【分析】连接OA，根据等腰三角形的性质得到∠OAC=∠C=28°，根据等腰三角形的性质解答即可．

【解答】解：

连接OA，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠C=28°，

∴∠OAB=64°，

∵OA=OB，

∴∠B=∠OAB=64°，

故选：

C．

【点评】本题考查的是圆周角定理，掌握圆的半径相等、等腰三角形的性质是解题的关键．

9．（2016•河池）如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴相切，与y轴相交于A（0，2），B（0，8），则圆心P的坐标是（　　）

A．（5，3） B．（5，4） C．（3，5） D．（4，5）

【分析】过P作PC⊥AB于点C，过P作PD⊥x轴于点D，由切线的性质可求得PD的长，则可得PB的长，由垂径定理可求得CB的长，在Rt△PBC中，由勾股定理可求得PC的长，从而可求得P点坐标．

【解答】解：

如图，过P作PC⊥AB于点C，过P作PD⊥x轴于点D，连接PB，

∵P为圆心，

∴AC=BC，

∵A（0，2），B（0，8），

∴AB=8﹣2=6，

∴AC=BC=3，

∴OC=8﹣3=5，

∵⊙P与x轴相切，

∴PD=PB=OC=5，

在Rt△PBC中，由勾股定理可得PC===4，

∴P点坐标为（4，5），

故选D．

【点评】本题主要考查切线的性质和垂径定理，利用切线的性质求得圆的半径是解题的关键．

10．（2015•黄冈中学自主招生）如图，正方形ABCD的边AB=1，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（　　）

A． B．1﹣ C．﹣1 D．1﹣

【分析】图中1、2、3、4图形的面积和为正方形的面积，1、2和两个3的面积和是两个扇形的面积，因此两个扇形的面积的和﹣正方形的面积=无阴影两部分的面积之差，即﹣1=．

【解答】解：

如图：

正方形的面积=S1+S2+S3+S4；①

两个扇形的面积=2S3+S1+S2；②

②﹣①，得：

S3﹣S4=S扇形﹣S正方形=﹣1=．

故选：

A．

【点评】本题主要考查了扇形的面积计算公式及不规则图形的面积计算方法．找出正方形内四个图形面积之间的联系是解题的关键．

11．（2014•镇江）如图，△ABC内接于半径为5的⊙O，圆心O到弦BC的距离等于3，则∠A的正切值等于（　　）

A． B． C． D．

【分析】过点O作OD⊥BC，垂足为D，根据圆周角定理可得出∠BOD=∠A，再根据勾股定理可求得BD=4，从而得出∠A的正切值．

【解答】解：

过点O作OD⊥BC，垂足为D，

∵OB=5，OD=3，

∴BD=4，

∵∠A=∠BOC，

∴∠A=∠BOD，

∴tanA=tan∠BOD==，

故选：

D．

【点评】本题考查了垂径定理、圆周角定理以及解直角三角形，要熟练掌握这几个知识点．

12．（2013•江门模拟）如图所示，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2cm，⊙A与BC相切于点D，阴影部分的面积为（　　）

A． B． C． D．

【分析】阴影部分的面积是三角形ABC的面积减去圆的面积，根据勾股定理可求得BC的长，连接AD，由等腰直角三角形的性质可得出AD等于BC的一半．

【解答】解：

连接AD，

∵∠A=90°，AB=AC=2cm，

∴由勾股定理得BC=2cm，

∴AD=BC，

∴AD=cm，

∴S阴影=S△ABC﹣S圆=﹣=2﹣．

故选B．

【点评】本题是一道综合题，考查了扇形面积的计算以及等腰三角形的性质，是中档题．

13．（2011•深圳模拟）如图，某工件形状如图所示，等腰Rt△ABC中斜边AB=4，点O是AB的中点，以O为圆心的圆分别与两腰相切于点D、E，则图中阴影部分的面积是（　　）

A． B． C． D．2﹣π

【分析】本题需先求出直角三角形的边长，再利用切线的性质和等腰直角三角形的性质得出四边形CDOE是正方形，然后分别求出直角三角形ABC、扇形FOD，正方形CDOE，扇形EOG的面积，即可求出阴影部分的面积．

【解答】解：

设AC=BC=x，

则x2+x2=4

x=2

∴

设OD=R，则OE=R

∵AC，BC与⊙O相切，

∴OD⊥AD，OE⊥BC

∵∠A=45°

∴∠AOD=45°

∴∠A=∠AOD

∴AD=OD=R

∵AC=2

∵AC=2

∴AD=OD

∵∠C=90°

∴四边形ODCE是正方形

∴

∴S正方形CDOE==2

S扇形FOD=S扇形EOG=

=

∴阴影部分的面积是2﹣

故选A

【点评】本题主要考查了扇形面积的求法，在解题时要注意面积计算公式和图形的有关性质的综合应用．

14．（2006•兰州）若圆锥经过轴的截面是一个正三角形，则它的侧面积与底面积之比是（　　）

A．3：

2 B．3：

1 C．5：

3 D．2：

1

【分析】利用轴的截面是一个正三角形，易得圆锥的底面半径和母线长的关系，把相应数值代入圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，圆锥底面积=π×半径2比较即可．

【解答】解：

设圆锥底面圆的半径为r，

∴S底=πr2，S侧=•2r•2πr=2πr2，

∴S侧：

S底=2πr2：

πr2=2：

1．

故选D．

【点评】此题主要考查圆锥的轴截面、侧面积与底面积的求法．

15．（2003•海南）如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，且为半圆的．设扇形AOC、△COB、弓形BmC的面积分别为S1、S2、S3，则下列结论正确的是（　　）

A．S1＜S2＜S3 B．S2＜S1＜S3 C．S2＜S3＜S1 D．S3＜S2＜S1

【分析】首先根据△AOC的面积=△BOC的面积，得S2＜S1．再根据题意，知S1占半圆面积的．所以S3大于半圆面积的．

【解答】解：

根据△AOC的面积=△BOC的面积，得S2＜S1，

再根据题意，知S1占半圆面积的，

所以S3大于半圆面积的．

故选B．

【点评】此类题首先要比较有明显关系的两个图形的面积．

二．解答题（共10小题）

16．（2016•株洲）已知AB是半径为1的圆O直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过点D的直线交AC于E点，且△AEF为等边三角形

（1）求证：

△DFB是等腰三角形；

（2）若DA=AF，求证：

CF⊥AB．

【分析】

（1）由AB是⊙O直径，得到∠ACB=90°，由于△AEF为等边三角形，得到∠CAB=∠EFA=60°，根据三角形的外角的性质即可得到结论；

（2）过点A作AM⊥DF于点M，设AF=2a，根据等边三角形的性质得到FM=EM=a，AM=a，在根据已知条件得到AB=AF+BF=8a，根据直角三角形的性质得到AE=EF=AF=CE=2a，推出∠ECF=∠EFC，根据三角形的内角和即可得到结论．

【解答】解：

（1）∵AB是⊙O直径，

∴∠ACB=90°，

∵△AEF为等边三角形，

∴∠CAB=∠EFA=60°，

∴∠B=30°，

∵∠EFA=∠B+∠FDB，

∴∠B=∠FDB=30°，

∴△DFB是等腰三角形；

（2）过点A作AM⊥DF于点M，设AF=2a，

∵△AEF是等边三角形，∴FM=EM=a，AM=a，

在Rt△DAM中，AD=AF=2a，AM=，

∴DM=5a，∴DF=BF=6a，

∴AB=AF+BF=8a，

在Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，∴AC=4a，

∵AE=EF=AF=2a，

∴CE=AC﹣AE=2a，

∴∠ECF=∠EFC，

∵∠AEF=∠ECF+∠EFC=60°，∴∠CFE=30°，

∴∠AFC=∠AFE+∠EFC=60°+30°=90°，

∴CF⊥AB．

【点评】本题考查了圆周角定理，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．

17．（2016•宁夏）已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC．

（1）求证：

AB=AC；

（2）若AB=4，BC=2，求CD的长．

【分析】

（1）由等腰三角形的性质得到∠EDC=∠C，由圆外接四边形的性质得到∠EDC=∠B，由此推得∠B=∠C，由等腰三角形的判定即可证得结论；

（2）连接AE，由AB为直径，可证得AE⊥BC，由

（1）知AB=AC，证明△CDE∽△CBA后即可求得CD的长．

【解答】

（1）证明：

∵ED=EC，

∴∠EDC=∠C，

∵∠EDC=∠B，

∴∠B=∠C，

∴AB=AC；

（2）方法一：

解：

连接AE，

∵AB为直径，

∴AE⊥BC，

由

（1）知AB=AC，

∴BE=CE=BC=，

∵△CDE∽△CBA，

∴，

∴CE•CB=CD•CA，AC=AB=4，

∴•2=4CD，

∴CD=．

方法二：

解：

连接BD，

∵AB为直径，

∴BD⊥AC，

设CD=a，

由

（1）知AC=AB=4，

则AD=4﹣a，

在Rt△ABD中，由勾股定理可得：

BD2=AB2﹣AD2=42﹣（4﹣a）2

在Rt△CBD中，由勾股定理可得：

BD2=BC2﹣CD2=

（2）2﹣a2

∴42﹣（4﹣a）2=

（2）2﹣a2

整理得：

a=，

即：

CD=．

【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．

18．（2016•福州）如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为中点，连接BM，CM．

（1）求证：

BM=CM；

（2）当⊙O的半径为2时，求的长．

【分析】

（1）根据圆心距、弦、弧之间的关系定理解答即可；

（2）根据弧长公式计算．

【解答】

（1）证明：

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=CD，

∴=，

∵M为中点，

∴=，

∴+=+，即=，

∴BM=CM；

（2）解：

∵⊙O的半径为2，

∴⊙O的周长为4π，

∵===，

∴=+=，

∴的长=××4π=×4π=π．

【点评】本题考查的是正方形的性质、弧长的计算、圆心距、弦、弧之间的关系，掌握弧长的计算公式、圆心距、弦、弧之间的关系定理是解题的关键．

19．（2016•自贡）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，弦BD=BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E．

（1）求证：

∠1=∠BAD；

（2）求证：

BE是⊙O的切线．

【分析】

（1）根据等腰三角形的性质和圆周角定理得出即可；

（2）连接BO，求出OB∥DE，推出EB⊥OB，根据切线的判定得出即可；

【解答】证明：

（1）∵BD=BA，

∴∠BDA=∠BAD，

∵∠1=∠BDA，

∴∠1=∠BAD；

（2）连接BO，

∵∠ABC=90°，

又∵∠BAD+∠BCD=180°，

∴∠BCO+∠BCD=180°，

∵OB=OC，

∴∠BCO=∠CBO，

∴∠CBO+∠BCD=180°，

∴OB∥DE，

∵BE⊥DE，

∴EB⊥OB，

∵OB是⊙O的半径，

∴BE是⊙O的切线．

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，切线的判定，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．

20．（2016•黄石）如图，⊙O的直径为AB，点C在圆周上（异于A，B），AD⊥CD．

（1）若BC=3，AB=5，求AC的值；

（2）若AC是∠DAB的平分线，求证：

直线CD是⊙O的切线．

【分析】

（1）首先根据直径所对的圆周角为直角得到直角三角形，然后利用勾股定理求得AC的长即可；

（2）连接OC，证OC⊥CD即可；利用角平分线的性质和等边对等角，可证得∠OCA=∠CAD，即可得到OC∥AD，由于AD⊥CD，那么OC⊥CD，由此得证．

【解答】

（1）解：

∵AB是⊙O直径，C在⊙O上，

∴∠ACB=90°，

又∵BC=3，AB=5，

∴由勾股定理得AC=4；

（2）证明：

连接OC

∵AC是∠DAB的角平分线，

∴∠DAC=∠BAC，

又∵AD⊥DC，

∴∠ADC=∠ACB=90°，

∴△ADC∽△ACB，

∴∠DCA=∠CBA，

又∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∵∠OAC+∠OBC=90°，

∴∠OCA+∠ACD=∠OCD=90°，

∴DC是⊙O的切线．

【点评】此题主要考查的是切线的判定方法．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．

21．（2016•菏泽）如图，直角△ABC内接于⊙O，点D是直角△ABC斜边AB上的一点，过点D作AB的垂线交AC于