定弦定角最值问题(含答案).doc

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定弦定角最值问题

【定弦定角题型的识别】

有一个定弦，一个主动点，一个从动点，定弦所对的张角固定不变。

【题目类型】

图形中一般求一个从动点到一个定点线段长度最值问题，一般涉及定弦定角最值问题

【解题原理】

同弧所对的圆周角相等，定弦的同侧两个圆周角相等，则四点共圆，因此动点的轨迹是圆。

（线段同侧的两点对线段的张角相等，则这两点以及线段的两个端点共圆。

）

【一般解题步骤】

①让主动点动一下，观察从动点的运动轨迹，发现从动点的运动轨迹是一段弧。

②寻找不变的张角（这个时候一般是找出张角的补角，这个补角一般为45°、60°或者一个确定的三角函数的对角等）

③找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆。

④确定圆心位置，计算隐形圆半径。

⑤求出隐形圆圆心至所求线段定点的距离。

⑥计算最值：

在此基础上，根据点到圆的距离求最值（最大值或最小值）。

【例1】（2016·新观察四调模拟1）如图，△ABC中，AC＝3，BC＝，∠ACB＝45°，D为△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，直线BD交⊙O于P点，交BC于E点，弧AE＝CP，则AD的最小值为（）

A．1 B．2 C． D．

解：

∵∠CDP＝∠ACB＝45°

∴∠BDC＝135°（定弦定角最值）

如图，当AD过O′时，AD有最小值

∵∠BDC＝135°

∴∠BO′C＝90°

∴△BO′C为等腰直角三角形

∴∠ACO′＝45°＋45°＝90°

∴AO′＝5

又O′B＝O′C＝4

∴AD＝5－4＝1

【例2】如图，AC＝3，BC＝5，且∠BAC＝90°，D为AC上一动点，以AD为直径作圆，连接BD交圆于E点，连CE，则CE的最小值为（）

A． B． C．5 D．

解：

连接AE

∵AD为⊙O的直径

∴∠AEB＝∠AED＝90°

∴E点在以AB为直径的圆上运动

当CE过圆心O′时，CE有最小值为

【练】（2015·江汉中考模拟1）如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝，∠ACB＝45°，AM∥BC，点P在射线AM上运动，连BP交△APC的外接圆于D，则AD的最小值为（）

A．1 B．2

C． D．

解：

连接CD

∴∠PAC＝∠PDC＝∠ACB＝45°

∴∠BDC＝135°

如图，当AD过圆心O′时，AD有最小值

∵∠BDC＝135°

∴∠BO′C＝90°

∴O′B＝O′C＝4

又∠ACO′＝90°

∴AO′＝5

∴AD的最小值为5－4＝1

【例3】（2016·勤学早四调模拟1）如图，⊙O的半径为2，弦AB的长为，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的面积的最大值是（）

A． B． C． D．

【练】（2014·洪山区中考模拟1）如图，⊙O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是（　　）

A． B．

C． D．

【例5】如图，A（1，0）、B（3，0），以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为EF的中点．当射线绕O点旋转时，CD的最小值为__________

解：

连接DM

∵D是弦EF的中点

∴DM⊥EF

∴点D在以A为圆心的，OM为直径的圆上运动

当CD过圆心A时，CD有最小值

连接CM

∵C为弧AB的中点

∴CM⊥AB

∴CD的最小值为

【练】如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，∠ABC＝60°，P是上一动点，D是AP的中点，连接CD，则CD的最小值为__________

解：

连接OD

∵D为弦AP的中点

∴OD⊥AP

∴点D在以AO为直径的圆上运动

当CD过圆心O′时，CD有最小值

过点C作CM⊥AB于M

∵OB＝OC，∠ABC＝60°

∴△OBC为等边三角形

∴OM＝，CM＝

∴O′C＝

∴CD的最小值为