解：
2、已知二次函数
（为常数），当取不同的值时，其图象构成一个“抛物
线系”．下图分别是当，，，时
二次函数的图象.它们的顶点在一条直线上，这条直线的
解析式是.
3、已知抛物线（＜0）过A（，0）、O（0，0）、
B（，）、C（3，）四点，则与的大小关系是（A）
A．＞ B． C．＜ D．不能确定
4、定义[]为函数的特征数,下面给出特征数为
[2m，1–m,–1–m]的函数的一些结论：
①当m=–3时，函数图象的顶点坐标是（，）；
②当m>0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于；
③当m<0时，函数在x>时，y随x的增大而减小；
④当m¹0时，函数图象经过同一个点.
其中正确的结论有（B）
A.①②③④B.①②④C.①③④D.②④
5、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列
结论错误的是（B）
A.ab＜0
B.ac＜0
C.当x＜2时，函数值随x增大而增大；当x＞2时，函数值随x增
大而减小.
-1
1
D.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2＋bx＋c＝0的根.
6、如图是二次函数y=ax2+bx+c（a¹0）在平面直角坐标
系中的图象，根据图形判断①＞0；②++＜0；③2-＜0；
④2+8a＞4ac中，正确的是（填写序号）．
O
x
y
7、已知二次函数（）的图象
如图所示，有下列结论：
（D）
①；
②；
③；
④．
其中，正确结论的个数是
A.1B.2C.3D.4
8、函数在同一直角坐标系内的图象大致是（C）
x
x
x
x
x
9、抛物线y=ax2+bx+c图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（D）
10、矩形ABCD中，．动点E从点C开始沿边CB向点以2cm/s的速度运动至点B停止，动点F从点C同时出发沿边CD向点D以1cm/s的速度运动至点D停止．如图可得到矩形CFHE，设运动时间为x（单位：
s），此时矩形ABCD去掉矩形CFHE后剩余部分的面积为y（单位：
），则y与x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（A）
（三）二次函数y=ax2+bx+c图象的平移、翻折、旋转
1、平移：
a不变.要抓顶点的平移或其它关键点的平移，这是由于函数图象的平移是整体的平移，每个点都做相同的变换，还可以引申到直线、双曲线的平移．在解题时，一定分清移动谁，不妨画草图.
2、翻折：
要抓顶点的变化及其它关键点的变化.
结论：
抛物线y=ax2+bx+c关于x轴对称的抛物线解析式是y=-ax2-bx-c
抛物线y=ax2+bx+c关于y轴对称的抛物线解析式是y=ax2-bx+c
3、绕某一定点旋转180°：
要抓顶点的变化，a取相反数.
结论：
抛物线y=a（x-h）2+k绕顶点旋转180°后的解析式为y=-a（x-h）2+k
[例题]
1、观察右面二次函数y＝ax2+bx+c的图象，回答下面的问题：
（1）判断a，b，c和的符号并写出顶点坐标；
（2）把抛物线向下平移6个单位，再向左平移2个单位，求平移
后抛物线的解析式；
（3）把抛物线沿x轴翻折，求翻折后抛物线的解析式.
2、将抛物线绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是（D）．
A．B．
C．D．
3、将抛物线绕原点O旋转180°，则旋转后抛物线的解析式为（D）
A. B. C. D.
4、如图，两条抛物线、
与分别经过点,且平行于
轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为（A）
A．8 B．6 C．10 D．4
5、把抛物线y=x+bx+c向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y=x-3x＋5，则（A ）
A．b=3，c=7 B．b=6，c=3
y
x
O
C．b=9，c=5 D．b=9，c=21
6、如图，点A，B的坐标分别为（1,4）和（4,4），
抛物线的顶点在线段AB上运动，与x轴交于
C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为-3，则点
D的横坐标最大值为（D）
A．－3 B．1C．5D．8
7、如图，抛物线y=ax2+bx经过点A（4，0），
B（2，2）.连结OB，AB.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求证：
△OAB是等腰直角三角形；
（3）将△OAB绕点O按顺时针方向旋转l35°得到△OA′B′，
写出△OA′B′的边A′B′的中点P的坐标．试判断点P是否在此
抛物线上，并说明理由.
8、已知关于的一元二次方程有实数根，
为正整数．
（1）求的值；
（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于的二次函数
的图象向下平移个单位，求平移后的图象的解析
式；
（3）在
（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴
下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图
象．请你结合这个新的图象回答：
当直线与此图象有两个公共点时，的取值范围.
9、已知二次函数的图象C1与x轴有且只有一个公共点.
（1）求C1的顶点坐标；
（2）将C1向下平移若干个单位后，得抛物线C2，如果C2与x轴的一个交点为A（-3，0），求C2的函数关系式，并求C2与x轴的另一个交点坐标；
（3）若的取值范围.
（四）确定二次函数解析式
一般式：
y=ax2+bx+c（a¹0）
顶点式：
y=a（x-h）2+k（a¹0）
双根式：
y=a（x-x1）（x-x2）（a¹0）其中x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标
确定抛物线的解析式一般需要两个或三个独立条件，灵活的选用不同方法求出抛物线的解析式是解与抛物线相关问题的关键.
[例题]
1、已知一抛物线与x轴的交点是，B（1，0），且经过点C（2，8）.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的顶点坐标.
注：
抛物线与x轴两交点的不同说法应给学生作变式练习.
2、在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为，且过点.
（1）求该二次函数的解析式；
（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？
并直接写出平移后所得图象与轴的另一个交点的坐标.
3、已知二次函数图象的顶点是，且过点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求证：
对任意实数，点都不在这个二次函数的图象上.
4、已知二次函数（）中自变量和函数值的部分对应值如下表：
…
0
1
…
…
0
…
则该二次函数的解析式为．（）
（五）二次函数与一元二次方程
方程与函数联系密切，我们可以用方程思想解决函数问题，也可以用函数思想讨论方程问题，在确定函数解析式中的待定系数、函数图象与坐标轴的交点、函数图象的交点等问题时，常将问题转化为解方程或方程组；而在讨论方程、方程组的解的个数、解的分布情况等问题时，借助函数图象能获得直观简捷的解答.
二次函数，令y=0，则得，这是一个关于x的一元二次方程，它们的联系表现在：
方程实根的个数、抛物线与x轴交点的个数的讨论都可转化为由根的判别式△来讨论.
y
x
O
1
3
利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解，重要的是求解的思路，包括解的范围、解的精确度以及如何达到所要求的精确度等．同时利用图象法求解，还可以使学生进一步理解一元二次方程和二次函数之间的关系．
[例题]
1、已知二次函数的部分图象如图所示，则关于
的一元二次方程的解为.
（，）
2、二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程的两个根；
（2）写出不等式的解集；
（3）写出随的增大而减小的自变量的取值范围；
（4）若方程有两个不相等的实数根，求
的取值范围.
解：
（1），
（2）
（3）（4）
3、函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c-2=0
的根的情况是（A）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个异号的实数根
C．有两个相等的实数根
D．没有实数根
4、已知二次函数y1=x2-x-2和一次函数y2=x+1的两个交点分别为A（-1，0），B（3，4），当y1＞y2时，自变量x的取值范围是（A）
A．x＜-1或x＞3B．-1＜x＜3C．x＜-1 D．x＞3
5、下列表格是二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2+bx+c=0
（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围（C）
x
6.17
6.18
6.19
6.20
y=ax2+bx+c
-0.03
-0.01
0.02
0.04
A.66、已知抛物线．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）若，且抛物线与轴交于整数点，求此抛物线的解析式．
（六）实际问题与二次函数
1、建立平面直角坐标系，求二次函数解析式，解决实际问题.
一般步骤：
（1）建立适当的平面直角坐标系，注意建立坐标系时以方便为原则；
（2）设恰当的解析式；
（3）求解析式，注意点在各象限中的符号；
（4）根据解析式解决实际问题.
篮圈
出手处
最高点
[例题]、一位运动员在距篮下水平距离4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05米.若该运动员身高1.8米，球在头顶上方0.25米处出手，问：
球出手时，他跳离地面的高度是多少？
分析：
由于篮球运行的路线是抛物线，可建立适当的直角坐标系，并把相关的数椐写成点的坐标，再利用点的坐标及待定系数法求出运行路线的解析式.最后算出跳离地面的高度.
∵点（2.5，3.5）是这段抛物线的顶点
∴
2、最值问题
（1）二次函数的最值应用主要体现在以下方面：
①解决实际问题中的最值问题；
②探讨几何图形中相关元素的最值.
（2）利用二次函数求最值问题的一般步骤：
①列出函数解析式；
②求自变量x的取值范围；
③求的值；
④判断的值是否在x的取值范围中：
若在，；
若不在，利用图象在端点处找最值或利用增减性找最值.
[例题]
1、如图，用18米长的木方做一个有一条横档的矩形窗子，
窗子的宽不能超过2米.为使透进的光线最多，则窗子的长、
宽应各为多少米？
解：
设窗子的宽为xm，透光面积ym2.
注：
利用图象在端点处找最值.
400
300
60
70
Ｏ
y（件）
x（元）
2、某服装公司试销一种成本为每件50元的T恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，试销中销售量（件）与销售单价（元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）设公司获得的总利润为元，求与之
间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
根据题意判断：
当取何值时，的值最大？
最大值是多少？
（总利润总销售额总成本）
注：
利用增减性找最值.
（七）二次函数综合题
解二次函数综合题特别是解与几何结合的综合题，善于求点的坐标，进而求出函数解析式是解题的基础.而充分发挥形的因素，数形互助，把证明与计算相结合是解题的关键.
[例题]
1、已知抛物线与x轴交于两点A（x1,0），B（x2,0）（x1≠x2），顶点为C.
（1）若△ABC为直角三角形，求k的值；
（2）若△ABC为等边三角形，求k的值.
小结：
已知抛物线与x轴交于A（x1,0），B（x2,0）（x1≠x2）两点，顶点为C.
（1）△ABC为直角三角形；
（2）△ABC为等边三角形
2、（2010安徽芜湖）如图，在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO，其顶点为A（0，1）、
B（-3，1）、C（-3，0）、O（0，0）．将此矩形沿着过E（-，1）、F（-，0）的直线EF向右下方翻折，B、C的对应点分别为B′、C′.
（1）求折痕所在直线EF的解析式；
（2）一抛物线经过B、E、B′三点，求此二次函数解析式；
（3）能否在直线EF上求一点P，使得△PBC周长最小？
如能，求出点P的坐标；若不能，说明理由．
3、已知：
抛物线（为常数，且）.
（1）求证：
抛物线与轴有两个交点；
（2）设抛物线与轴的两个交点分别为、（在左侧），与轴的交点为.
①当时，求抛物线的解析式；
②将①中的抛物线沿轴正方向平移个单位（>0），同时将直线：
沿轴正方向平移个单位.平移后的直线为，移动后、的对应点分别为、.当为何值时，在直线上存在点，使得△为以为直角边的等腰直角三角形?
解：
（1）证明：
令,则.
课后学生作业布置（手写）
教师课后赏识评价
（手写）
在课上老师最赏识的是：
在下次课老师最希望你改正的是：
学生签字：
___________________日期：
___________________
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