反比例函数与四边形结合问题赏析.doc

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反比例函数与四边形结合问题赏析

反比例函数与四边形联袂出场的试题层出不穷.这些试题设计新颖，灵活性较强，与四边形的知识和其它数学知识结合较为紧密，综合程度高，难度较大，是增强学生的数感和符号感、培养学生利用数形结合思想进行数学探究能力的有效载体.下面以试题为例，就反比例函数与四边形结合的问题作出分析，仅供参考.

一、一支双曲线与四边形结合

例1（2015年陕西）如图1，在平面直角坐标系中，过点分别作轴、轴的垂线与反比例函数的图象交于两点，则四边形的面积为.

图1

解析如图1，设点的坐标为（），点的坐标为（）.根据反比例函数的图象过两点，得.

进而得到,

所以四边形的面积为,

故答案为10.

点评本题主要考查反比例函数的对称性和的几何意义，根据条件得出是解题的关键，注意的几何意义的应用.

二、一支双曲线与平行四边形结合

例2（2013年武汉）如图2，已知四边形是平行四边形，两点的坐标分别是（－1,0）,（0,2）,两点在反比例函数的图象上，则的值等于

.

图2

解析如图2，过、两点作轴的垂线，垂足为、,交于点，过点作，垂足为.

//,,

≌,.

设，则,

解得,,.

，

解得,.

点评本题考查反比例函数的综合题，涉及平行四边形的性质、坐标平移及解方程的知识.解本题的关键在于两点:

①设点的坐标，利用平移得到点坐标，根据反比例图象上点的坐标与的关系，代入反比例函数解析式得出方程;②根据，得到另一个方程.本题难度较大，既考查几何推理能力，又考查学生的计算能力，是一道数形结合的好题.

三、一支双曲线与矩形结合

例3（2013年乌鲁木齐）如图3，反比例函数的图象与矩形的边长、分别交于点、，且，则的面积的值为.

图3

解析如图3，连接.首先根据反比例函数的比例系数的几何意义，得出

.

然后由三角形任意一边的中线将三角形的面积二等分及矩形的对角线将矩形的面积二等分，得出是的中点，

则.

由,

得出结果.

点评本题主要考查反比例函数的比例系数与其图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积的关系，即.根据题中的条件和矩形的性质，得出点为的中点是解决本题的关键.

四、一支双曲线与菱形结合

例4（2015年重庆）如图4，在平面直角坐标系中，菱形在第一象限内，边与轴平行，两点的纵坐标分别为3,1，反比例函数的图象经过两点，则菱形的面积为（）

（A）2（B）4（C）（D）

图4

解析过点作轴垂线，与的延长线交于点，根据两点的纵坐标分别为3,1，可以求出（3,1）,（1,3），并有.

再根据勾股定理求出，利用菱形的面积公式，求出菱形面积为.

应选D.

点评本题主要考查菱形性质及反比例图象上点的坐标特征，熟悉菱形的面积公式是解题的关键.

五、一支双曲线与正方形结合

例5（2014年济宁）如图5，四边形是矩形，是正方形，点、在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，点在上,点、在反比例函数的图象上，，则正方形的边长为.

解析先确定点坐标（1,6）.

根据反比例函数图象上点的坐标特征得 到,

则反比例函数解析式为.

设，则，

所以点坐标为.

再利用根据反比例函数图象上点的坐标特征，得，

解得（舍去）,.

图5

点评本题利用正方形边长相等，建立点和点之间的关系，重点考查了反比例函数图象上点的坐标特征.图象上的点（）的横纵坐标的积是定值，即.同时也考查用因式分解法解一元二次方程的知识.

六、两支双曲线与四边形结合

例6（2015年南宁）如图6，点在双曲线上，点在双曲线上（点在点的右侧），且//轴.若四边形是菱形，且，则=.

图6

解析根据点在双曲线上，可设点坐标为（）,利用含30°直角三角形的性质求出.

再利用菱形的性质得到点坐标为（）,可得.

点评此题主要考查利用待定系数法求反比例函数，关键是根据菱形的性质求出点坐标，由此即可求出反比例函数解析式，

七、两个正方形与一支双曲线结合

例7（2011年宁波）如图7，正方形的顶点、在反比例函数的图象上，顶点、分别在轴、轴的正半轴上;再在其右侧作正方形，顶点在反比例函数的图象上，顶点在轴的正半轴上，则点的坐标为.

图7

解析过点、分别作轴的垂线轴，轴，垂足分别为.

易证≌≌.

设，则有,

所以.

同理设，则有,

解得，

所以.

点评本题考查反比例函数图象上点的坐标的特点，即横坐标、纵坐标之积为定值;也考查了正方形的性质、三角形的性质和判断，以及解一元二次方程的知识.