Ans:
(2,18,1)
一次因式檢驗定理:
設f(x)=2x+3,g(x)=5x-x+7,h(x)=f(x)×g(x)=10x+13x+11x+21,10x是2x×5x
來的,21是3×7來的,因此觀察一次式2x+3|h(x),而2|10,3|21,這個結果
對於一般整係數的多項式也是成立,我們將它寫成下面的定理:
定理:
設f(x)=ax+ax+…+ax+a為一個整係數n次多項式,若整係數一次式ax-b是f(x)的因式,且a,b互質,則a|a且b|a。
注意:
一次因式檢驗定理的逆敘述不成立。
例如:
f(x)=3x+5x+4x-2,f(-)¹0。
由此定理,可知若一次式cx-d中c不為an的因數或d不為a的因數的話,則cx-d必不
為f(x)的因式。
故只有滿足a|a且b|a的一次式ax-b才有可能成為f(x)的因式,因此我們只要從滿足a|a且b|a這些ax-b去找一次因式就可以了。
範例:
求整係數f(x)=3x+5x+4x-2的整係數一次因式。
根據一次因式檢驗定理,假設ax-b為f(x)的一次因式,則a|3且b|2。
我們將所有可能的ax-b組合x+1,x-1,x+2,x-2,3x+1,3x-1,3x+2,3x-2,再
利用綜合除法檢驗看看那一個是f(x)的因式Þ3x-1是f(x)的因式。
範例:
求f(x)=2x4+5x3-x2+5x-3的一次因式。
Ans:
2x-1與x+3
範例:
找出f(x)=6x4-7x3+6x2-1的所有整係數一次式。
Ans:
2x-1、3x+1
定理:
設f(x)為整係數多項式,a,b為不同的整數,證明:
(a-b)|f(a)-f(b)。
範例:
歷史學家為了推敲大數學家歐幾里得的出生年份,發現在西元前336年時,流傳了一則有趣的故事:
那一年的某一天,歐幾里得造了一個整係數的多項式,並興高采烈的跟旁人說「我現在的年齡剛好是這個多項式的一個根。
」旁人為了想知道歐幾里得的年齡,於是將7及一個比7大的整數代入歐幾里得的多項式,結果得到77及85的值。
這時候歐幾里得笑著說:
「我的年齡有你代的數那麼小嗎?
」你能根據這些史料推測出歐幾里得出生的年份嗎?
[提示:
設歐幾里得提及的多項式為f(x),而歐幾里得有a歲,且f(7)=77,f(b)=85,且b>7,由例題13可得b-7|f(b)-f(7)Þb-7|8,且7-a|f(7)-f(a)=77,b-a|f(b)-f(a)=85,再根據這些條件,去求得a的值,a=14,所以歐幾里得出生的年份是西元前350年。
]
最高公因式、最低公倍式
定義:
設f(x),g(x)為二多項式,若存在多項式h(x)使得f(x)=g(x)×h(x),則稱f(x)
為g(x)的因式或g(x)為f(x)的倍式。
符號:
f(x)|g(x)。
範例:
因為x-1=(x-1)(x+x+1),所以x-1與x+x+1均為x+1的因式,x+1為x-1與x+x+1
的倍式。
範例:
因為==,所以x+1,x+2,
,都是的因式。
注意:
由上面兩個例子可知,若f(x)|g(x),則c×f(x)|g(x)(c¹0)。
因此就一般而言,只要求出
整係數的因式或倍式即可。
(2)性質:
若設d(x)|f(x),d(x)|g(x),則d(x)|m(x)×f(x)+n(x)×g(x)。
公因式與公倍式:
若多項式d(x)同時為多項式f(x),g(x)的因式,則稱d(x)為f(x),g(x)的公因式。
注意:
d(x)=c(c¹0)為任何兩個多項式的公因式。
設d(x)為f(x),g(x)的公因式,則k×d(x)(k¹0)亦為f(x),g(x)的公因式,因此我們通常只取一個代表就行了。
如果多項式f(x),g(x)除了常數以外,沒有其它的公因式,就稱它們互質。
設f(x),g(x)都是非零多項式,如果m(x)同時是f(x),g(x)的倍式,那麼就稱m(x)為f(x),g(x)的公倍式。
設m(x)為f(x),g(x)的公倍式,則k×m(x)亦為f(x),g(x)的公倍式,因此我們通常只取一個代表就行了。
範例:
設f(x)=4x-1,g(x)=4x+4x+1,h(x)=2x-7x+3。
求f(x),g(x)的公因式,g(x),h(x)
的公因式。
因為f(x)=(2x+1)(2x-1),g(x)=(2x+1)2,h(x)=(2x-1)(x-3),
所以2x+1,x+,4x+2…等凡是k(2x+1)的形式都是f(x),g(x)的公因式。
在g(x),h(x)中,除了常數外沒有其它的公因式,故g(x),h(x)互質。
最高公因式、最低公倍式:
設f(x),g(x)為兩多項式,如果d(x)是它們公因式中次數最高的,那麼稱d(x)為最高公因式(H.C.F),符號:
(f(x),g(x))=d(x)。
注意當多項式f(x),g(x)互質時,符號:
(f(x),g(x))=1。
最高公因式與公因式一樣,並不是只有一個,不過任兩個最高公因式之間都只差一個常
數因式,因此通常所謂兩個多項式的最高公因式,可取它們的任意一個最高公因式。
設f(x),g(x)為兩多項式,如果m(x)是它們公倍式中次數最低的,那麼稱d(x)為最低公倍式(L.C.M),符號:
[f(x),g(x)]=m(x)
注意:
最低公倍式也不是唯一的,不過它們之間也都只差一個常數因式。
H.C.F與L.C.M的求法:
因式分解法:
範例:
f(x)=(x-x+3)(x+4)(x-5)(x+1),g(x)=(x-x+3)(2x-3)(x+6)(x-5)
則f(x)與g(x)的最高公因式為(x-x+3)(x-5)
範例:
f(x)=(x-x+3)(x+4)(x-5)(x+1),g(x)=(x-x+3)(2x-3)(x+6)(x-5)
則f(x)與g(x)的最低公倍式為(x-x+3)(x-5)×(x+4)(x+1)(2x+3)(x+6)
輾轉相除法:
設f(x),g(x)為二多項式,且g(x)¹0,則由除法定理可知:
恰有兩個多項式q(x),r(x)滿足f(x)=g(x)×q(x)+r(x),其中r(x)=0或degr(x)原理:
(f(x),g(x))=k×(g(x),r(x))。
k¹0
範例:
以f(x)=x-2x-2x-3x-2,g(x)=x-2x-2x-1為例,求f(x)與g(x)的最高公因式。
利用輾轉相除法,求出f(x)與g(x)的H.C.F為d(x),則f(x)與g(x)的L.C.M=。
原理:
f(x)×g(x)=k×(f(x),g(x))×[f(x),g(x)]
範例:
以f(x)=x-2x-2x-3x-2,g(x)=x-2x-2x-1為例,求f(x)與g(x)的最低公因式。
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