多项式除法.docx

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多项式除法

②利用竖式进行多项式除法

　　例1．计算

　　解：

将被除式与除式均按x降幂排列

　　∴原式=

。

　　例2．计算

　　解：

先将被除式与除式均按x的降幂（y的升幂）排列

　　原式=

　　∴原式=5x+y.

　　小结：

利用竖式进行多项式除法的步骤

（1）被除式和除式都要按同一字母降幂排列

（2）若被除式或除式中缺项，要补零（或留有空位）

　　（3）余式的次数应低于除式的次数。

　　例3．已知关于x的多项式A被

除所得的商式为2x－3，余式为7。

求这个多项式A。

　　解：

根据带余除法的关系式，

2-3多項式除法

一、基礎篇

（）1.2x2＋5x－7除以x＋3的商式為ax＋b，餘式為c，求a＋b

＋c＝？

（A）－9（B）－5（C）－3（D）7

）3.（2x2＋5x－1）÷（x＋2）的商式為A，餘式為B，則下列敘述何

者正確？

）7.x2＋x－2除以x-1的商式為ax＋b，餘式為c，求a＋b

＋c＝？

）8.3x2＋2x－1除以x-2的商式為ax＋b，餘式為c，求a＋b

＋c＝？

9.x2＋3x+1除以x＋1的商式為ax＋b，餘式為c，求a＋

＋c＝？

11.（x2＋3x－2）÷（x-1）的商式為A，餘式為B，

12.（2x2-4x+1）÷（x＋1）的商式為A，餘式為B，

）13.（2x2-6x+4）÷（2x-2）的商式為A，餘式為B，

）14.（x2＋x＋1）÷（x-1）的商式為A，餘式為B，

25.（x2+3x+1）÷（x-2）

3-1-3多項式的除法

一、單一選擇題（計五十題）：

1.（　）若

＝x2＋ax＋b，則　a＋b＝？

　（Ａ）－4　（Ｂ）－3　（Ｃ）－2　（Ｄ）－1。

2.（　）已知　6x2－7x＋m　可以被　2x－3　整除，則　m＝？

　（Ａ）－3　（Ｂ）　3　（Ｃ）－1　（Ｄ）　1。

3.（　）下列哪一選項不能整除　2x2＋4x－6？

　（Ａ）　3x－3　（Ｂ）　x＋3　（Ｃ）　x－1　（Ｄ）　x＋1。

4.（　）下列何者可以被　x　整除？

　（Ａ）　4x2＋4x＋5　（Ｂ）　3x＋6　（Ｃ）　x2＋24　（Ｄ）　x2＋1。

5.（　）已知一個矩形的面積是　12x2－6x，若矩形的長為　3x，則矩形的寬為多少？

　（Ａ）　4x＋2　（Ｂ）　4x－2　（Ｃ）　4x＋3　（Ｄ）　4x－3。

6.（　）已知多項式　B　除以　x－1　得商式為　x＋5，餘式為　8，如果改將多項式　B　除以　x＋1，則餘式＝？

　（Ａ）　0　（Ｂ）　1　（Ｃ）　2　（Ｄ）　3。

7.（　）假設　2x4－x3＋mx2＋x＋n　可被　2x2＋x＋1　整除，則　2m＋n＝？

　（Ａ）－8　（Ｂ）－10　（Ｃ）　10　（Ｄ）　8。

8.（　）若

＝x＋2＋

，其中　R　為一常數，則　R＝？

　（Ａ）　20　（Ｂ）　18　（Ｃ）－12　（Ｄ）－10。

9.（　）試求（4x2－3x＋4）÷（2x－1）的商式為下列何者？

　（Ａ）　2x＋

（Ｂ）　2x＋

（Ｃ）　2x－

（Ｄ）　2x－

。

10.（　）章老師做一個多項式除法的示範後，擦掉計算過程中的六個係數，並以　a、b、c、d、e、f　表示，求　a＋b＋d＋e＝？

　（Ａ）　18　（Ｂ）　26　（Ｃ）　38　（Ｄ）　44。

11.（　）設（x3＋x2＋x＋1）÷（x＋2）的商式為　ax＋bx＋c，餘式為　d，則　a＋b＋c＋d＝？

　（Ａ）　2　（Ｂ）－2　（Ｃ）－1　（Ｄ）　0。

12.（　）若（3x4－5x2＋4x）÷3x的商式為x3＋ax＋b，則b－a＝？

　（Ａ）－3　（Ｂ）　3　（Ｃ）

（Ｄ）

。

13.（　）下列何者可以整除　4x2＋8x＋3＝？

　（Ａ）　x＋1　（Ｂ）　x＋2　（Ｃ）　x＋3　（Ｄ）　2x＋1。

14.（　）下列各式中，何者的餘式不為　0？

　（Ａ）（x2－2x＋1）÷（－x＋1）（Ｂ）（2x－1）2÷（2x－1）（Ｃ）（－2x2＋1）÷（－3x＋2）（Ｄ）以上各式的餘式皆為　0。

15.（　）某多項式除以（2x＋1）得商式　2x2－x－3，餘式－8，則此多項式為下列何者？

　（Ａ）　4x3－7x－3　（Ｂ）　4x3－7x－11　（Ｃ）　4x2＋7x－3　（Ｄ）　4x3＋7x－11。

16.（　）甲是　x　的三次多項式，乙是　x　的一次多項式，若甲÷乙得商式　c，則　c　是　x　的幾次多項式？

　（Ａ）零次（Ｂ）一次（Ｃ）二次（Ｄ）三次。

17.（　）已知　A　為一多項式，且　A．（x－2）＝x3－4x2＋x＋6，則　A÷（x－3）＝？

　（Ａ）（x＋1）（Ｂ）（x－1）（Ｃ）（x＋2）（Ｄ）（x－2）。

18.（　）多項式（x3＋27）÷（x＋3），其商式為　ax2＋bx＋c，餘式為　d，則　a＋b＋c＋d＝？

　（Ａ）　7　（Ｂ）　9　（Ｃ）　11　（Ｄ）　13。

19.（　）翰翰家購買了一塊三角形的土地面積是（x3＋1）平方公尺，經測量後發現底的長度為（x＋1）公尺，則高的長度為多少公尺？

　（Ａ）　x2－x＋1　（Ｂ）　2x2－2x＋2　（Ｃ）

x2－

x＋

（Ｄ）　2x2＋2x＋2。

20.（　）小薰在計算兩多項式相除　A÷B　時誤看　A＋B，得到結果為　6x2＋x－35，若　A＝6x2－x－40，請問　A÷B＝？

　（Ａ）　2x＋5　（Ｂ）　2x－5　（Ｃ）　3x＋8　（Ｄ）　3x－8。

21.（　）有下列三個多項式的除法：

（甲）（－4x2＋39x－56）÷（－x＋8）（乙）（x2－2x－3）÷（x－1）（丙）（4x2－5x－

）÷（2x－3），請問哪幾個可以整除？

　（Ａ）僅（甲）（Ｂ）僅（乙）（Ｃ）僅（丙）（Ｄ）（甲）（丙）。

22.（　）已知　A　為一多項式，且　A．（4x－3）＝－20x2＋47x－24，求　A＝？

　（Ａ）　5x＋8　（Ｂ）－5x＋8　（Ｃ）－5x－8　（Ｄ）　5x－8。

23.（　）假若　2x＋3　整除　2x3＋3x2＋kx－3，則　k＝？

　（Ａ）－2　（Ｂ）－1　（Ｃ）　0　（Ｄ）　2。

24.（　）（x2－7x－3）÷（x－1）的商式為多項式　P，餘式為多項式　q，則　p＋q＝？

　（Ａ）　x－6　（Ｂ）　x－9　（Ｃ）　x－15　（Ｄ）　x＋3。

25.（　）已知　A　為一多項式，且　A．（x＋1）＝－4x3＋35x2＋12x－27，則　A÷（9－x）＝？

　（Ａ）　4x－3　（Ｂ）　4x＋3　（Ｃ）　3x－4　（Ｄ）　3x＋4。

26.（　）下列三組多項式相除的結果，何者的餘式為　0？

（甲）（6x2＋7x－3）÷2x　（乙）（4x2－2x＋5）÷（2x＋1）（丙）（－8x2＋14x－5）÷（－4x＋5）　（Ａ）（甲）（Ｂ）（乙）（Ｃ）（丙）（Ｄ）三者餘式皆不為0

27.（　）多項式（x3＋3x2－5x＋1）÷（x＋1）的結果為　ax2＋bx＋c，餘式為　d，則　a、b、c、d　中何者最大？

　（Ａ）　a　（Ｂ）　b　（Ｃ）　c　（Ｄ）　d

28.（　）翰翰計算多項式　x2－9x＋a　除以　x－2，結果發現餘式為　0，則　a＝？

　（Ａ）－12　（Ｂ）　12　（Ｃ）－14　（Ｄ）　14

29.（　）已知　

＝6x＋3－

，則多項式　A＝？

　（Ａ）　2x＋1　（Ｂ）　2x－1　（Ｃ）－2x＋1　（Ｄ）－2x－3

30.（　）求（7x2－5x＋1）÷（x－1）的餘式為下列何者？

　（Ａ）　0（Ｂ）　1（Ｃ）　2（Ｄ）　3

31.（　）若

＝x－2＋

，其中　Q　為一常數，則　Q＝？

　（Ａ）－7　（Ｂ）－8　（Ｃ）－9　（Ｄ）－10。

32.（　）有一多項式除法的計算過程如圖所示，其中有一些部分被漏水的奇異筆給塗汙了，請問，被除式為下列何者？

　（Ａ）　x2＋6　（Ｂ）　x2－6　（Ｃ）　x2－4x＋6　（Ｄ）　x2＋4x＋6。

33.（　）有一多項式除法的計算過程如圖所示，其中有一些部分被漏水的奇異筆給塗汙了，請問可以因此判斷出除式為下列何者？

　（Ａ）　x＋4　（Ｂ）　x－4　（Ｃ）　2x＋4　（Ｄ）　2x－4。

34.（　）有　3　個多項式如下：

（甲）　8x2－2x－21　（乙）　4x＋8　（丙）（2x＋3），則下列何者正確？

　（Ａ）（甲）＋（丙）＝8x2＋4x－18　（Ｂ）（甲）÷（乙）的商式為　2x＋

（Ｃ）（乙）×（丙）＝8x2＋11x＋24　（Ｄ）（甲）÷（丙）的餘式為　0。

35.（　）設　A　為　x　的多項式，且

＝3x＋5－

，則　A　為下列何者？

　（Ａ）　x－4　（Ｂ）　x＋4　（Ｃ）－x＋4　（Ｄ）－x－4。

36.（　）已知有一多項式除以（x－2）得商式為（2x－3），餘式為　3，若此多項式除以（2x＋3），得商式為何？

　（Ａ）　x＋5　（Ｂ）　x－5　（Ｃ）　x＋2　（Ｄ）　x－2。

37.（　）某多項式　ax2＋bx＋c　除以（2x＋1）得商式　2x－

，餘式

，則下列敘述何者錯誤？

　（Ａ）　c＝0　（Ｂ）　ab＝4　（Ｃ）　a＋b＝3　（Ｄ）　ac＝0。

38.（　）有一塊三角形的木板面積為　4x2－10x，翰翰經測量得知底為（－6x＋15），則高＝？

　（Ａ）

x　（Ｂ）

x　（Ｃ）－

x　（Ｄ）

x。

39.（　）某生在計算　A－B　時，誤將　A－B　看成　A÷B，結果得商式為　x＋4，餘式為－11，若　B＝x＋3，則多項式　A　的各項係數和為多少？

　（Ａ）　7　（Ｂ）　8　（Ｃ）　9　（Ｄ）　10。

40.（　）下列有三個多項式的除法：

（甲）（6x2－3x－7）÷（－2x2＋x＋1）（乙）（x2＋6）÷（x＋4）（丙）（x2＋14x＋49）÷（x＋7），餘式為　0　的有哪些？

　（Ａ）僅（乙）（Ｂ）僅（丙）（Ｃ）（甲）（乙）（Ｄ）（乙）（丙）。

41.（　）邱老師購買了一塊面積為　9x2－18x＋8　的矩形農地，預備退休後要種些蔬果自力耕生，經測量後他發現寬為　3x－4，則農地的長為下列何者？

　（Ａ）　3x－1　（Ｂ）　3x＋1　（Ｃ）　3x－2　（Ｄ）　3x＋2。

42.（　）假若　x＋1　可以整除　x3＋3x2＋kx－7，則　k　值為下列何者？

　（Ａ）－7　（Ｂ）－5　（Ｃ）　5　（Ｄ）　7。

43.（　）（3x4－6x3＋2x＋6）÷3x2　的商式為　p，餘式為　q，則　p＋q＝？

　（Ａ）　x2＋6　（Ｂ）　x2＋4x＋6　（Ｃ）　x2－6　（Ｄ）　4x＋6。

44.（　）若（－7x5＋6x4－8x3）÷（－3x2）＝ax3＋bx2＋cx，則　a＋b＋c＝？

　（Ａ）－

（Ｂ）－

（Ｃ）　1　（Ｄ）　3。

45.（　）已知　B　為一多項式，且　B．（－4x＋5）＝（－8x2＋14x－5），則　A＝？

　（Ａ）－2x－1　（Ｂ）－2x＋1　（Ｃ）　2x＋1　（Ｄ）　2x－1。

46.（　）（x3－8）÷（x－2）＝ax2＋bx＋c，則下列何者錯誤？

　（Ａ）　c＝4a　（Ｂ）　a＝2b　（Ｃ）　c＝2b　（Ｄ）　a＋b＋c＝7。

47.（　）翰翰以分離係數法計算三次多項式除以一次多項式的過程如下所示，則　a＋b＋c＋d＝？

　（Ａ）　0　（Ｂ）　1　（Ｃ）－1　（Ｄ）　2。

48.（　）翰翰說：

（x－3）可以整除　x2－9；大寶說：

（x＋7）可以整除（x2＋14x＋49）；小薰說：

x2－20x＋100　可以被（x－10）整除，請問誰說對了？

　（Ａ）翰翰（Ｂ）大寶（Ｃ）小薰（Ｄ）三人皆對。

49.（　）多項式　f（x）除以　3x＋4，得商式為　x－2，餘式為　2，則　f（x）＝？

　（Ａ）　3x2－2x－6　（Ｂ）　3x2－2x－10　（Ｃ）　3x2＋2x－6　（Ｄ）　3x2＋2x＋10

50.（　）下列各式中，何者的餘式為　0？

　（Ａ）（16x2－40x＋25）÷（4x－3）（Ｂ）（2x2－2x＋1）÷（x－1）（Ｃ）（81－25x2）÷（9－5x）（Ｄ）（15x2＋x－8）÷（5x－3）。

二、填充題（計二十題）：

1.請完成此表：

（１）【　　　　】；（２）【　　　　】；

（３）【　　　　】；（４）【　　　　】；

（５）【　　　　】；（６）【　　　　】。

2.已知

＝x－7＋

，求　a＝【　　　　】。

3.請在下列空格中填入適當的式子：

（１）（8a2＋6a）÷2a＝【　　　　】。

（２）（6y－4y2＋8y3）÷2y＝【　　　　】。

4.求（4x2－x＋2）÷（3x－1），其計算結果得商式【　　　　】，餘式【　　　　】。

5.某多項式除　x3＋x2－7x＋3　得商式為　x2＋3x－1，餘式為　1，則此多項式為【　　　　】。

6.求多項式　6x3＋x2－3x－1　除以　2x＋1　的商式為【　　　　】。

7.若

＝A＋

，則　A＝【　　　　】。

8.（8x2＋2x－7）÷2x　的商式為【　　　　】，餘式為【　　　　】。

9.請在下列空格中填入適當的式子：

（１）　2x．【　　　　】＝6x2

（２）－3x2．【　　　　】＝24x5

（３）

x．【　　　　】＝

x2

（４）

x．【　　　　】＝x4

（５）（－27x）÷（－3x）＝【　　　　】

（６）　6x2÷

x＝【　　　　】

10.已知多項式　A　可以被　x－1　整除，且商式為　2x＋3，則多項式　A＝【　　　　】。

11.已知　A　為一多項式，且　A．（4x－3）＝－20x2＋47x－24　‚　求　A＝【　　　　】。

（以　x　的多項式表示）

12.假若　6x4－11x3＋Px2＋2x＋Q　可以被（2x2－x－1）整除，則　P＝【　　　　】，Q＝【　　　　】。

13.求（x3－3x＋5）÷（x－1）的商式為【　　　　】，餘式為【　　　　】。

14.小明做了一題多項式除法的運算如下，算式中有部分被墨水汙損，則原本的被除式＝【　　　　】，（2x2＋5x

）÷（

－1）＝（x＋3）……（－1），除式＝【　　　　】。

15.已知　A　為一多項式，且　A．（x＋5）＝x3＋3x2－13x－15，求　A÷（x＋1）得商式＝【　　　　】，餘式＝【　　　　】。

16.（甲）　2x2＋4x－6　被　3x－3　整除（乙）　4x2＋4x＋4　可以被　x　整除（丙）（6x2＋12x）÷3x＝ax＋b，則　b＝2a　（丁）（x2－7x－3）÷（x－3）的餘式為－15（戊）（2x2－2x＋1）÷（x－1）的結果餘式為　0，以上錯誤的有【　　　　】。

17.在下列空格中填入適當的式子：

（１）　x2÷（－x）＝【　　　　】。

（２）（－

x）÷（－

x）＝【　　　　】。

（３）　3x2÷5x＝【　　　　】。

（４）（3a2－4a）÷5a＝【　　　　】。

18.在下列空格中填入適當的式子：

（１）　6x2÷（－5x）＝【　　　　】。

（２）　7x2÷3x＝【　　　　】。

（３）（6a2＋4a）÷2a＝【　　　　】。

（４）（6y－4y2＋8y3）÷2y＝【　　　　】。

19.求下列各多項式除法的商式及餘式：

（１）（6x2－3x＋5）÷5x。

答：

商式為【　　　　】；餘式為【　　　　】。

（２）（x2＋5x＋6）÷（x＋2）。

答：

商式為【　　　　】；餘式為【　　　　】。

（３）（2x2＋3x＋4）÷（x＋1）。

答：

商式為【　　　　】；餘式為【　　　　】。

（４）（16x2－10）÷（4x－1）。

答：

商式為【　　　　】；餘式為【　　　　】。

（５）（4x2＋3x＋2）÷（2x＋3）。

答：

商式為【　　　　】；餘式為【　　　　】。

（６）（－2x2＋13x－18）÷（2x－3）。

答：

商式為【　　　　】；餘式為【　　　　】。

（７）（2x3－3x2－6x＋7）÷（x＋2）。

答：

商式為【　　　　】；餘式為【　　　　】。

（８）（x3－8）÷（x－2）。

答：

商式為【　　　　】；餘式為【　　　　】。

20.翰翰利用直式除法計算兩多項式相除的過程如下，請你幫他完成。

（請在空格中填上數字）

三、計算題（計十五題）：

1.小明做了一題多項式除法運算如下，算式中有部分汙損，請你寫出原來的算式。

（－4x2＋3x　

）÷（

＋3）得商式為　4x＋9，餘式為－10。

（算式已依降冪排列）

【解】

2.已知　A　為一多項式，且　A．（x－2）＝x3－4x2＋x＋6，求　A÷（x－3）的商式。

【解】

3.求（8y3－26y2＋23y－21）÷（2y－5）的商式及餘式。

【解】

4.求下列各多項式除法的商式及餘式：

（１）（－6x2－7x＋3）÷2x

（２）（5x2＋2x）÷（5x＋2）

（３）（6x2－11x－7）÷（3x－7）

（４）（－10x2＋27x－18）÷（－2x＋3）

（５）（6x2＋11x－5）÷（2x－3）

（６）（4x2－1）÷（2x－1）

（７）（x2－x＋5）÷（2x＋3）

（８）（x2－2x＋3）÷（3x＋1）

（９）（4x2－3x）÷（2x＋1）

（

）（－5x2＋2x＋1）÷（－2x＋1）

【解】

5.〔（2x2＋x－3）－（－x2－3x＋4）〕÷（x－1）的商式為何？

【解】

6.有一多項式除法的計算過程如圖所示，其中有部分被墨水給弄髒看不清了，請試著推演計算過程，求出被除式和除式分別為何？

【解】

7.已知　C、D　為兩多項式，若　2C＋3D＝4x2＋6x－3，C－2D＝2x2－4x＋2，則求　C÷D　的商式和餘式？

【解】

8.請計算〔（3x2－x－10）÷（x－2）〕－〔（6x2＋5x－6）÷（2x＋3）〕＝？

【解】

9.求（－5x2＋2x＋1）÷（－2x＋1）的商式及餘式。

【解】

10.如圖，已知斜線部分的面積為　11x2＋x＋9，則

＝？

【解】

11.設多項式　2x3－9x2＋11x＋6　除以多項式f（x）後，得商式為　x2－3x＋1，餘式為　9，則多項式　f（x）＝？

【解】

12.試求（x3＋2x2－3）÷（x2－x－4）之商式與餘式。

【解】

13.翰翰在計算多項式除法時，誤將　A÷B　看成　A－B，結果計算後的答案為　x2＋4x＋4，若已知　B　為　x＋2，則　A÷B　的餘式為何？

【解】

14.求下列各多項式除法的商式與餘式：

（１）（4x2＋1）÷（2x＋1）

（２）（x3＋1）÷（x＋1）

【解】

15.求下列各多項式的商式及餘式：

（１）（－7x3＋5x2＋3x－4）÷（－2x）

（２）（3x4－6x3＋2x＋6）÷3x2

【解】