根式的运算技巧.docx

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根式的运算

平方根与立方根

一、知识要点

1、平方根：

⑴、定义：

如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“”（a称为被开方数）。

⑵、性质：

正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。

⑶、算术平方根：

正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。

2、立方根：

⑴、定义：

如果x3=a，则x叫做a的立方根，记作“”（a称为被开方数）。

⑵、性质：

正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。

3、开平方（开立方）：

求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。

二、规律总结：

1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。

2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。

3、本身为非负数，即≥0；有意义的条件是a≥0。

4、公式：

⑴（）2=a（a≥0）；⑵=（a取任何数）。

5、非负数的重要性质：

若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。

例1求下列各数的平方根和算术平方根

（1）；

（2）；（3）；⑷

例2求下列各式的值

（1）；

（2）；（3）；（4）.

（5），（6），（7）（8）

例3、求下列各数的立方根：

⑴343；⑵；⑶0.729

二、巧用被开方数的非负性求值.

大家知道，当a≥0时，a的平方根是±，即a是非负数.

例4、若求yx的立方根.

练习：

已知求的值.

三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.

我们知道，当a≥0时，a的平方根是±，而

例5、已知：

一个正数的平方根是2a-1与2-a，求a的平方的相反数的立方根.

练习：

若和是数的平方根，求的值.

四、巧解方程

例6、解方程

（1）（x+1）2=36

（2）27（x+1）3=64

五、巧用算术平方根的最小值求值.

我们已经知道,即a=0时其值最小,换句话说的最小值是零.

例4、已知：

y=,当a、b取不同的值时，y也有不同的值.当y最小时,求ba的非算术平方根.

练习：

1、若一个数的平方根是，则这个数的立方根是（）．

A．2B．2C．4D．4

2、144的算术平方根是，的平方根是；

3、若的平方根是和，则=．

4、=，的立方根是；

5、7的平方根为，=；

6、一个数的平方是9，则这个数是，一个数的立方根是1，则这个数是；

7、平方数是它本身的数是；平方数是它的相反数的数是；

8、当x=时，有意义；当x=时，有意义；

9、若，则x=；若，则n=；

10、若，则x=；若，则x；

11、的整数部分为a,小数部分为b,则a=____,b=____

12、解方程：

（2）　

（3）（4）

13、已知，求xyz的值。

14、若，求的值．

15、已知：

ｘ－2的平方根是±2,　2ｘ+ｙ+7的立方根是3，求ｘ2+ｙ2的平方根．

16、若，求xy的值。

二次根式

一、知识点

1.二次根式：

式子（≥0）叫做二次根式。

2.最简二次根式：

必须同时满足下列条件：

⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。

3.同类二次根式：

二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

4.二次根式的性质：

（＞0）

（＜0）

0（=0）；

（1）（）2=（≥0）；

（2）

5.二次根式的运算：

⑴二次根式的加减运算：

先把二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可。

⑵二次根式的乘除运算：

①=（≥0,b≥0）；②

【例题讲解】

一、利用二次根式的双重非负性来解题（（a≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。

）

例1：

x取何值时，下列各式在实数范围内有意义。

（1）

（2）（3）（4）.

例2：

若，则=_____________；

若，则

【基础训练】

1、下列各式中一定是二次根式的是（）。

A、；B、；C、；D、

2、若，则x的取值范围是

3、若，则x的取值范围是。

4、若是一个正整数，则正整数m的最小值是________．

5、设m、n满足，则=。

6、若三角形的三边a、b、c满足=0，则第三边c的取值范围是

7、若，且时，则（）

A、　B、 C、 D、

二、利用二次根式的性质=|a|=（即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值）来解题

【例题讲解】

例1：

已知＝－x，则（　　）

A.x≤0　　　B.x≤－3　　　Ｃ.x≥－3　　　D.－3≤x≤0

例2：

化简的结果为（）

A、；B、；C、D、

【基础训练】

1、已知a

A．B．C．D．

2、若化简|1-x|-的结果为2x-5则（）

A、x为任意实数B、1≤x≤4C、x≥1D、x≤4

3、已知a，b，c为三角形的三边，则=

4、化简的结果是（）

A．B．C．D．

5、已知：

=1，则的取值范围是（）。

A、；B、；C、或1；D、

三、二次根式的化简与计算（主要依据是二次根式的性质：

（）2=a（a≥0），即以及混合运算法则）

【例题讲解】

（一）化简与求值

例1：

把下列各式化成最简二次根式：

（1）

（2）（3）（4）

例二：

计算：

2

【基础训练】

1、下列哪些是同类二次根式：

（1），，，，，，；

（2），，a

2、计算下列各题：

（1）6

（2）；（3）（4）（5）－

3、已知，则x等于（）A．4B．±2C．2D．±4

4、＋＋＋…＋

（二）先化简，后求值：

1.直接代入法：

已知求

（1）

（2）

2.变形代入法：

（1）变条件：

①已知：

，求的值。

②.已知:

x=，求3x2－5xy+3y2的值

（2）变结论：

1、设=a，=b，则=。

2、已知，求。

3、已知，，

（1）求的值

（2）求的值

四、关于求二次根式的整数部分与小数部分的问题

1.估算－2的值在哪两个数之间（　　）A．1～2B.2～3C.3～4D.4～5

2．若的整数部分是a，小数部分是b，则

3.已知9+的小数部分分别是a和b，求ab－3a+4b+8的值

4.若a，b为有理数，且++=a+b，则b=.

五、二次根式的比较大小

（1）

（2）－5（3）

（4）设a=,,,则（）

A.B.C.D.

六、实数范围内因式分解：

9x2－5y24x4－4x2＋1x4+x2－6

练习：

1、若，则xy的值为（）

A．B．C．D．

2、若，则．

3、计算：

（1）（2

（3）．（4）．

4、先将÷化简，然后自选一个合适的x值，代入化简后的式子求值。

5、如图，实数、在数轴上的位置，

化简：

6、若，则的取值范围是

A． B． C． D．

7、如图，数轴上两点表示的数分别为1和，点关于点的对称点为点，则点所表示的数是

A． B． C． D．

8、已知：

，求的值。

9、已知：

为实数，且，化简：

。

10、已知

11、先阅读下列的解答过程，然后作答：

有这样一类题目：

将化简，若你能找到两个数和，使且，

则可变为，即变成开方，从而使得化简。

例如：

=

=，

∴

请仿照上例解下列问题：

（1）；

（2）

二次根式运算的技巧

二次根式的运算通常是根据其运算法则进行计算的，但在计算过程中若能巧妙地运用一些数学思想方法，可使问题化繁为简，易于计算。

下面举例说明二次根式的运算技巧：

一、巧移因式法

例1、计算

分析：

将根号外的因式移到根号内，然后用平方差公式计算比较简便，或先把化简，然后利用平方差公式计算

解：

原式=

=

=18-48

=-30

二、巧提公因数法

例2、计算

分析：

∵2=∴中有公因数，提出公因数后，可用平方差公式计算

解：

原式=

=

=

=（25-6）

=19

三、公式法

例3、计算

分析：

巧分组，出奇制胜，整式的乘法公式对二次根式的乘法也适用，本题用平方差公式来计算很简便

解：

原式=

=

=

=

四、因式分解法

例4、计算

分析：

本题若直接按乘除法则计算，显然很麻烦，若适当分解因式约去公因式，则运算很简便

解：

原式=

=

=

五、拆项法

例5、化简

分析：

本题若直接计算显然很麻烦，若仔细观察将分子拆项，则计算会很简便

解：

原式=

=

=

=

六、配方法

例6、计算

分析：

此题是双二次根式的加减，必须把复合二次根式化为一般二次根式，可将根号里的式子化成完全平方式，使问题便于计算

解：

原式=

=

=-5

七、整体代入，别开生面

例5.已知，求下列各式的值。

（1）　　

（2）

分析：

根据x、y值的特点，可以求得，如果能将所求的值的式子变形为关于或xy的式子，再代入求值要比直接代入求值简单得多。

解：

因为

所以

（1）

（2）

（也可以将变为来求）

八、巧换元，干净利索

例6.计算

分析：

此算式中的两个公式互为倒数，若设，

则原式

而

原式

解：

设

则

所以原式

例7.计算

分析：

有两种方法，一种换元，一种配方。

解法1：

设

两边平方

因为

所以

即

解法2：

原式

所以遇到二次根式运算一定认真审题、仔细琢磨，能否找到运算技巧，达到事半功倍效果

二次根式的运算测试题

姓名班级学号

一．选择题（本题30分，每小题3分）：

1．化简－（1－）的结果是 （　　）

A．3 B．－3 C. D．－

2．计算（－2＋）×＋的结果是 （　　）

A．11 B．15 C．21 D．24

3．计算（3＋5）×（3－5）的结果是 （　　）

A．－57 B．57 C．－53 D．53

4．计算－的结果是 （　　）

A．2 B．4 C．2 D．4

5．×（－）＋的值是________；

6．化简：

×（－）－－|－3|＝________．

7．计算÷的结果是________．

8、计算：

＝________．

9、有下列计算：

①（m2）3＝m6；②＝2a－1；③m6÷m2＝m3；④×÷＝15；⑤2－2＋3＝14.其中正确的运算有________．

10、计算：

（＋1）（－1）＝________．

二、计算题（本题30分，每小题5分）：

（1）×；

（2）（5＋）×（5－2）；

（3）9÷3×；（4）＋－.

（5）3×（－5－2）；（6）（＋2）－；

二、解答题（本题40分，每小题10分）：

1、已知a＝＋2，b＝－2，求的值？

2、已知x1＝＋，x2＝－，求x＋x？

3、已知x－y＝，求代数式（x＋1）2－2x＋y（y－2x）的值．

4、先化简，再求值：

（a2b＋ab）÷，其中a＝＋1，b＝－1.