整式的运算技巧文档格式.doc
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①降（升）幂排列的根据是：
加法的交换律和结合律；
②把一个多项式按降（升）幂重新排列，移动多项式的项时，需连同项的符号一起移动；
③在进行多项式的排列时，要先确定按哪个字母的指数来排列.例如：
多项式按的升幂排列为：
；
按的降幂排列为：
.
二、整式的加减
1．同类项：
所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项.
同类项与其系数及字母的排列顺序无关.例如：
与是同类项；
而与却不是同类项，因为相同的字母的指数不同.
2．合并同类项
把多项式中相同的项合并成一项叫做合并同类项.
①合并同类项时，只能把同类项合并成一项，不是同类项的不能合并，如显然不正确；
②不能合并的项，在每步运算中不要漏掉.
（2）法则：
合并同类项就是把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数保持不变.
①合并同类项，只是系数上的变化，字母与字母的指数不变，不能将字母的指数相加；
②合并同类项的依据是加法交换律、结合律及乘法分配律；
③两个同类项合并后的结果与原来的两个单项式仍是同类项或者是0.
3．去括号与填括号
（1）去括号法则：
括号前面是“＋”，把括号和它前面的“＋”去掉，括号内的各项都不变号；
括号前面是“－”，把括号和它前面的“－”去掉，括号内的各项都改变符号.
①去括号的依据是乘法分配律，当括号前面有数字因数时，应先利用分配律计算，切勿漏乘；
②明确法则中的“都”字，变符号时，各项都变；
若不变符号，各项都不变.例如：
③当出现多层括号时，一般由里向外逐层去括号，如遇特殊情况，为了简便运算也可由外向内逐层去括号.
（2）填括号法则：
所添括号前面是“＋”号，添到括号内的各项都不变号；
所添括号前面是“－”号，添到括号内的各项都改变符号.
①添括号是添上括号和括号前面的“＋”或“－”，它不是原来多项式的某一项的符号“移”出来的；
②添括号和去括号的过程正好相反，添括号是否正确，可用去括号来检验.例如：
4．整式的加减
整式的加减实质上是去括号和合并同类项，其一般步骤是：
（1）如果有括号，那么先去括号；
（2）如果有同类项，再合并同类项.
整式运算的结果仍是整式.
类型一：
用字母表示数量关系
1．填空题：
（1）香蕉每千克售价3元，m千克售价____________元。
（2）温度由5℃上升t℃后是__________℃。
（3）每台电脑售价x元，降价10％后每台售价为____________元。
（4）某人完成一项工程需要a天，此人的工作效率为__________。
思路点拨：
用字母表示数量关系，关键是理解题意，抓住关键词句，再用适当的式子表达出来。
举一反三：
[变式]某校学生给“希望小学”邮寄每册元的图书240册，若每册图书的邮费为书价的5％，则共需邮费______________元。
类型二：
整式的概念
2．指出下列各式中哪些是整式，哪些不是。
（1）x＋1；
（2）a＝2；
（3）π；
（4）S＝πR2；
（5）；
（6）
总结升华：
判断是不是整式，关键是了解整式的概念，注意整式与等式、不等式的区别，等式含有等号，不等式含有不等号，而整式不能含有这些符号。
[变式]把下列式子按单项式、多项式、整式进行归类。
x2y，a－b，x＋y2－5，，－29，2ax＋9b－5，600xz，axy，xyz－1，。
分析：
本题的实质就是识别单项式、多项式和整式。
单项式中数和字母、字母和字母之间必须是相乘的关系，多项式必须是几个单项式的和的形式。
类型三：
同类项
3．若与是同类项，那么a,b的值分别是（）
（A）a=2,b=－1。
（B）a=2,b=1。
（C）a=－2,b=－1。
（D）a=－2,b=1。
思路点拨:
解决此类问题的关键是明确同类项定义，即字母相同且相同字母的指数相同，要注意同类项与系数的大小没有关系。
解析：
由同类项的定义可得：
a－1=－b,且2a+b=3，
解得a=2,b=－1，
故选A。
[变式]在下面的语句中，正确的有（）
①－a2b3与a3b2是同类项②x2yz与－zx2y是同类项；
③－1与是同类项；
④字母相同的项是同类项。
A、1个B、2个C、3个D、4个
①中－a2b3与a3b2所含的字母都是a，b，但a的次数分别是2,3，b的次数分别是3,2，所以它们不是同类项；
②中所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，所以x2yz与－zx2y是同类项；
不含字母的项（常数项）都是同类项，③正确，根据①可知④不正确。
故选B。
类型四：
4．化简m－n－（m+n）的结果是（）
（A）0。
（B）2m。
（C）－2n。
（D）2m－2n。
按去括号的法则进行计算，括号前面是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里各项都改变符号。
原式=m－n－m－n=－2n，故选（C）。
[变式]计算：
2xy+3xy=_________。
按合并同类项的法则进行计算，把系数相加所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。
注意不要出现5x2y2的错误。
答案：
5xy。
5．（化简代入求值法）已知x＝－，y＝－,求代数式（5x2y－2xy2－3xy）－（2xy＋5x2y－2xy2）
此题直接把x、y的值代入比较麻烦，应先化简再代入求值。
原式＝5x2y－2xy2－3xy－2xy－5x2y＋2xy2＝－5xy
当x＝－，y＝－时，原式＝－5×
。
求代数式的值的第一步是“代入”，即用数值替代整式里的字母；
第二步是“求值”，即按照整式中指明的运算，计算出结果。
应注意的问题是：
当整式中有同类项时，应先合并同类项化简原式，再代入求值。
[变式1]当x＝0，x＝，x＝-2时，分别求代数式的2x2－x＋1的值。
解：
当x＝0时，2x2－x＋1＝2×
02－0＋1＝1；
当x＝时，2x2－x＋1＝2×
当x＝-2时，2x2－x＋1＝2×
（-2）2－（-2）＋1＝2×
4+2＋1＝11。
一个整式的值，是由整式中的字母所取的值确定的，字母取值不同，一般整式的值也不同；
当整式中没有同类项时，直接代入计算，原式中的系数、指数及运算符号都不改变。
但应注意，当字母的取值是分数或负数时，代入时，应将分数或负数添上括号。
[变式2]先化简，再求值。
3（2x2y－3xy2）－（xy2－3x2y），其中x＝，y＝－1。
3（2x2y－3xy2）－（xy2－3x2y）＝（6x2y－9xy2）－xy2＋3x2y
＝6x2y－9xy2－xy2＋3x2y＝9x2y－10xy2。
∴当x＝，y＝－1时，原式＝9×
×
（－1）－10×
（－1）2＝－。
解题的基本规律是先把原式化简为9x2y－10xy2，再代入求值，化简降低了运算难度，使计算更加简便，体现了化繁为简，化难为易的转化思想。
[变式3]求下列各式的值。
（1）（2x2－x－1）－，其中x＝
（2）2[mn＋（－3m）]－3（2n－mn），其中m＋n＝2，mn＝－3。
（1）（2x2－x－1）－
＝2x2－x－1－x2＋x＋＋3x2－3＝4x2－4
当x＝时，原式＝4×
－4＝9－4＝5。
（2）2[mn＋（－3m）]－3（2n－mn）
＝2mn－6m－6n＋3mn
＝5mn－6（m＋n）
当m＋n＝2，mn＝－3时
原式＝5×
（－3）－6×
2＝－27。
类型五：
整体思想的应用
6．已知x2＋x＋3的值为7，求2x2＋2x－3的值。
该题解答的技巧在于先求x2＋x的值，再整体代入求解，体现了数学中的整体思想。
由题意得x2＋x＋3＝7，所以x2＋x＝4，所以2（x2＋x）＝8，即2x2＋2x＝8，所以2x2＋2x－3＝8－3＝5。
整体思想就是在考虑问题时，不着眼于它的局部特征，而是将具有共同特征的某一项或某一类看成一个整体的数学思想方法。
运用这种方法应从宏观上进行分析，抓住问题的整体结构和本质特征，全面关注条件和结论，加以研究、解决，使问题简单化。
在中考中该思想方法比较常见，尤其在化简题中经常用到。
[变式1]已知x2＋x－1＝0，求代数式x3＋2x2－7的值。
此题由已知条件无法求出x的值，故考虑整体代入。
∵x2＋x－1＝0，∴x2＝1－x，
∴x3＋2x2－7＝x（1－x）＋2（1－x）－7＝x－x2＋2－2x－7
＝-x2-x-5＝（-x2-x+1）-6=－6。
[变式2]当x＝1时，代数式px3＋qx＋1的值为2003，则当x＝－1时，代数式px3＋qx＋1的值为（）
A、－2001B、－2002C、－2003D、2001
这是一道求值的选择题，显然p，q的值都不知道，仔细观察题目，不难发现所求的值与已知值之间的关系。
当x＝1时，px3＋qx＋1＝p＋q＋1＝2003，而当x＝－1时，px3＋qx＋1＝－p－q＋1，可以把p＋q看做一个整体，由p＋q＋1＝2003得p＋q＝2002，于是－p－q＝－（p＋q）＝－2002，所以原式＝－2002＋1＝－2001。
[变式3]已知A＝3x3－2x＋1，B＝3x2－2x＋1，C＝2x2＋1，则下列代数式中化简结果为3x3－7x2－2的是（）
A、A＋B＋2CB、A＋B－2CC、A－B－2CD、A－B＋2C分析：
将A，B，C的式子分别代入A，B，C，D四个选项中检验，如：
A－B－2C＝3x3－2x＋1－（3x2－2x＋1）－2（2x2＋1）＝3x3－2x＋1－3x2＋2x－1－4x2－2＝3x3－7x2－2。
C
[变式4]化简求值。
（1）3（a＋b－c）＋8（a－b－c）－7（a＋b－c）－4（a－b－c），其中b＝2
（2）已知a－b＝2，求2（a－b）－a＋b＋9的值。
（1）常规解法是先去括号，然后再合并同类项，但此题可将a＋b－c，a－b－c分别视为一个“整体”，这样化简较为简便；
（2）若想先求出a，b的值，再代入求值，显然行不通，应视a－b为一个“整体”。
（1）原式＝3（a＋b－c）－7（a＋b－c）＋8（a－b－c）－4（a－b－c）
＝－4（a＋b－c）＋4（a－b－c）
＝－4a－4b＋4c＋4a－4b－4c＝－8b。
因为b＝2，所以原式＝－8×
2＝－16。
（2）原式＝2（a－b）－（a－b）＋9
＝（a－b）＋9
因为a－b＝2，所以原式＝2＋9＝11。
类型六：
综合应用
7．已知多项式3（ax2＋2x－1）－（9x2＋6x－7）的值与x无关，试求5a2－2（a2－3a＋4）的值。
要使某个单项式在整个式子中不起作用，一般是使此单项式的系数为0即可.
3（ax2＋2x－1）－（9x2＋6x－7）
＝3ax2＋6x－3－9x2－6x＋7＝（3a－9）x2＋4。
因为原式的值与x无关，故3a－9＝0，所以a＝3。
又因为5a2－2（a2－3a＋4）＝5a2－2a2＋6a－8＝3a2＋6a－8，
所以当a＝3时，原式＝3×
32＋6×
3－8＝37。
解答此类题目一定要弄清题意，明确题目的条件和所求，当题目中的条件或所求发生了变化时，解题的方法也会有相应的变化。
变式1]当a（x≠0）为何值时，多项式3（ax2＋2x－1）－（9x2＋6x－7）的值恒等为4。
＝3ax2＋6x－3－9x2－6x＋7＝（3a－9）x2＋4。
因为（3a－9）x2＋4＝4，所以（3a－9）x2＝0。
又因为x≠0，故有3a－9＝0。
即a＝3，所以当a＝3时，多项式3（ax2＋2x－1）－（9x2＋6x－7）的值恒等于4。
[变式2]当a＝3时，多项式3（ax2＋2x－1）－（9x2＋6x－7）的值为多少？
＝3ax2＋6x－3－9x2－6x＋7
＝（3a－9）x2＋4，
当a＝3时，
原式＝（3×
3－9）x2＋4＝4。
8．已知关于x的多项式（a－1）x5＋x|b＋2|－2x＋b是二次三项式，则a＝____，b＝____。
由题意可知a－1＝0，即a＝1，|b＋2|＝2，即b＝－4或0，但当b＝0时，不符合题意，所以b＝－4。
1，－4
[变式]若关于的多项式：
，化简后是四次三项式，求m，n的值
m=5，n=-1
方法技巧篇一
整式的加减技巧
一、根据系数特征分组合并
同类项的合并实际上是系数的加减，因此，如何根据系数的特征进行分组合并是合并同类项时的一种技巧.
例1计算：
y+x-（y+x-1）+（2-y-x）
先去括号，得，原式=y+x-y-x+1+2-y-x，注意这个多项式共有三类，第一类是y，系数分别是，-1和-，第二类是x，系数分别是，-和-，第三类是常数项，分别是1和2.各类合并时，考虑各类系数的特征，易得解法如下是最简便的.
原式=y+x-y-x+1+2-y-x
=（y-y）+（x-x）-y-x+（1+2）
=-y+0-y+3
=-2y+3.
评注：
按系数特征合并同类项，一般是将系数为相反数的同类项分为一组，系数能够凑整的同类项分为一组，系数是同分母的同类项分为一组.
二、按整体进行合并
如果多项式出现若干部分相同，则可以把相同的这部分视为整体进行合并.
例2计算：
9（x-1）+7（1-x）-x-1.
本题中的（1-x）可化为-（x-1），-x+1可化为-（x-1）-2，因此，先把（x-1）作为整体进行合并.
原式=9（x-1）-7（x-1）-（x-1）-2
=（9-7-1）（x-1）-2
=（x-1）-2=x-3.
运用整体思想进行整式加减运算时，常常需要选择合适的“整体”，然后添括号，再进行合并，然后再去括号，再合并同类项.
三、逆向合并
一般情况下，在合并同类项时大多是将系数相加减，但有时反过来，视系数为“类”进行合并可以收到意想不到的效果.
例3计算：
-；
注意到同分母的几组式子，将它们分别相加易于计算，于是
原式=（）+（）-
=（x-y）-（x-y）-
=（x-y）=0.
本题从系数入手，无意中构造出（x-y）这个整体，然后于运用整体思想得到了巧妙的解决，真是“无心插柳柳成荫”.
由上几例可见，合并同类项与有理数运算一样，如果能够先观察一下题目特征而不急于动笔，然后针对题目特征，打破常规解法，灵活运用一些技巧，则可以起到化繁为简，事半功倍的效果.
方法技巧篇二
一、直接代入求值法
例当、、时，分别求代数式的的值．
二、化简代入求值法
例已知，，求代数式的值．
解法1：
因式分解法解法2：
降次法
例2代数式的值为9，则的值为（）
A．7B．18C．12D．9
例3已知，求的值．
平方法解法2：
配方法
*例4已知中，当时，，则当时，y的值是（）
A．-3B．-7C．-17D．7
三、说理题解法举例
例1做游戏，猜数字：
让对方任想一个数，让他做如下运算：
①乘5，②再加上6，③再乘4，④再加上9，⑤再乘5，把得数告诉你，然后（你只要从中减去165，再除以100）你就可以说出他原来的数．用数字验证：
比如，某人想的一个数是7，那么，第一步，7×
5得35，第二步，35+6得41，第三步,41×
4得164，第四步，164+9得173，第五步，173×
5得865．他告诉你：
865，于是你就算出（865-165）÷
100=7．你自己也可举例，结果总对，你知道其中的奥妙吗？
不妨设所想的数是a，按照题中的运算，得
=．
因此把所想的数经过上面的五步运算，结果仍得所想的数．
例2在数学自习课上，张老师出了一道整式求值题，张老师把所要求值的整式
写完后，让小刚同学任意说出一组a，b的值，再计算结果．当小刚说完：
“”后，小莉很快说出了答案“3”．同学们都感到其名其妙，觉得不可思议，张老师满意地说：
“这个答案准确无误”．亲爱的同学，为何能小莉快速得出结果？
例3小明和小亮在同时计算这样一道求值题：
“当时，求整式的值．”小亮正确求得结果为7，而小明在计算时，错把a=-3看成了a=3，但计算的结果却也正确，你相信吗？
你能说明为什么吗？
原式=，从化简的结果上看，只要a的取值是互为相反数，其计算的结果总是相等的．
四、探索规律题的解法
1．观察题目中的不变量与变量，不变量照写，变量用序号来表示（序号为n）
例研究下列算式，你会发现什么规律？
请你把找出的规律用含正整数n的公式表示．
，，，，
规律为：
2．将所给的条件进行适当的变形，再找规律
例观察等式：
，，，+1，…，你会发现什么规律？
请你把发现的规律用含正整数n的公式表示．
3．借助于图形观察找规律
例1柜台上放着一堆罐头，它们摆放的形状见下图:
第一层有2×
3听罐头，
第二层有3×
4听罐头，
第三层有4×
5听罐头．
…．
根据这堆罐头排列的规律，第n（n为正整数）层有__________听罐头（用含n的式子表
例2图⑴是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n层，将图⑴倒置后与原图⑴拼成图⑵的形状，这样我们可以算出图⑴中所有圆圈的个数为．
图⑴
图⑵
图⑶
图⑷
如果图⑴中的圆圈共有12层：
（1）我们自上往下，在每个圆圈中都按圈⑶的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边这个圆圈中的数是______；
（2）我们自上往下，在每个圆圈中都按圈⑷的方式填上一串连续的整数-23，-22，
-21，…，求图⑷中所有圆圈中各数的绝对值之和．答案：
（1）67
（2）1761
4．借助于表格进行观察
例用正方形的普通水泥砖（图中白色小正方形）和彩色水泥砖（图中灰色小正方形）按如图的方式铺人行道，像这样，第n个图形需要彩色水泥砖多少块？
将上述结果列表分析如下：
序号
⑴
⑵
⑶
…
彩色水泥砖块数
4
7
10
不难发现砖块数是序号数的3倍还加1，即第n个图形需要砖块（3n+1）块．
五、用字母表示数的思想
用字母表示数是代数的一个重要特点，是整个中学数学最基本的知识，是从算术过渡到代数的桥梁．用字母表示数能够把数量关系一般地、简明地表示出来，它是列代数式的基础．深刻理解用字母表示数的意义，掌握它的方法及规律，是学好代数的关键．
例l如图是某个月份的日历，像图中那样，用一个十字框在图中任意圈住五个数，如果中间的数用a表示，则圈住的五个数字的和可用含a的代数式表示为______.答案：
5a
例2如图是2002年6月份的日历，现有一长方形在日历任意框4个数，请用一个等式表示a、b、c、d之间的关系：
观察可知11+3-10+4，故
例3小红对小丽说：
“有一种游戏，其规则是；
你任想一个数，把这个数乘2，加上6．再把结果乘2，再减去8，再把结果除以2，最后再减去你所想的数的2倍．你不用告诉我你所想的数是什么，我就能知道结果．”请你说明小红为什么知道结果？
设小丽所想的这个数为x，根据游戏规则，得最后的结果为：
．
也就是说，无论小丽开始所想的这个数是几，最后的结果始终都是2．
六、观察、比较、归纳、猜想的数学思想
观察才能获取大量信息，成为智慧的能源；
比较才能发现信息的异同，通过归纳使共同点浮出水面，总结归纳的结果进而获得猜想，有所发现，这就是归纳的思想，这是数学发现的重要方法．
例1（2005·
云南省）观察按下列顺序排列的等式：
，，，，，…
猜想：
第n个等式（n为正整数）可以表示成______．
例2（2005·
衢州市）衢州市是中国历史文化名城，衢州市烂柯山是中国围棋文化的重要发样地，如图是用棋子摆成的“巨”字，那么第4个“巨”字的棋子数是______；
按以上规律继续下去，第n个“巨”字所需要棋子数是______．答案：
例3观察图中的四个点阵，s表示每个点阵中的点个数，按照图形中的点的个数变化规律，猜想第n个点阵中的点的个数s为（）答案：
D
A．B．
C．D．
例4按一定的规律排列的一列数依次为：
，，，，，，…
按此规律排列下去，这列数中的第7个数是______，用整数n表示第n个数是______．
第7个数是，第n个数是：
（1）当n是奇数时，为；
（2）当n是偶数时，为
七、整体思想
所谓整体思想，就是将具有共同特征的某一项或某一类看成一个整体，加以确定、解决，这样往往能使问题的解答简洁、明快，在求代数式的值时，有时问题中的量或字母没有直接给出，往往考虑使用“整体思想”来解答．
（1）整体化简
例已知：
，，求的值．答案：
98
（2）整体变形求解
对于某些比较复杂的条件，如果对其进行整体变形，则可收到事半功倍的效果．
例1若，则的
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