分式和分式方程培优精讲.doc
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二、知识点梳理
知识点一：
分式的定义
一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A为分子，B为分母。
知识点二：
与分式有关的条件
1、分式有意义：
分母不为0（）2、分式值为0：
分子为0且分母不为0（）
3、分式无意义：
分母为0（）4、分式值为正或大于0：
分子分母同号（或）
5、分式值为负或小于0：
分子分母异号（或）
知识点三：
分式的通分
①分式的通分：
根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
②分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。
最简公分母的定义：
取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
确定最简公分母的一般步骤：
Ⅰ取各分母系数的最小公倍数；
Ⅱ单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式；
Ⅲ相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。
Ⅳ保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。
注意：
分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。
知识点四：
分式的四则运算与分式的乘方
1、分式的乘除法法则：
分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
式子表示为：
分式除以分式：
式子表示为
2、分式的乘方：
把分子、分母分别乘方。
式子
3、分式的加减法则：
同分母分式加减法：
分母不变，把分子相加减。
式子表示为
异分母分式加减法：
先通分，化为同分母的分式，然后再加减。
式子表示为
注意：
加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。
知识点五：
分式方程的解的步骤
⑴去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。
（产生增根的过程）
⑵解整式方程，得到整式方程的解。
⑶检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：
如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；
如果最简公分母不为0，则是原方程的解。
2、产生增根的条件是：
①是得到的整式方程的解；
②代入最简公分母后值为0。
三、典型例题
例一当有何值时，下列分式有意义
（1）
（2） （3）
（4） （5）
例二：
考查分式的值为0的条件
当取何值时，下列分式的值为0.
（1）
（2） （3）
例三：
考查分式的值为正、负的条件
（1）当为何值时，分式为正；
（2）当为何值时，分式为负；
（3）当为何值时，分式为非负数.
例四：
化简求值题
1、已知：
，求的值。
2、已知：
，求的值。
提示：
整体代入，①，②转化出.
例五若，求的值.
例六如果，试化简.
例七计算
（1）；
（2）；
例八若关于的分式方程有增根，求的值.
例九解下列不等式
（1）
（2）
四、课堂练习
1．当取何值时，下列分式有意义：
（1）
（2） （3）
2．当为何值时，下列分式的值为零：
（1）
（2）
（3）.
3、当为何整数时，代数式的值是整数，并求出这个整数值.
4、已知：
，求的值.
5、已知：
，试求的值.
6、计算；
7、已知：
，试求、的值.
8．已知，求
（1），
（2）的值.
9、解下列方程（组）
（1）
（2）
10、若分式方程的解是正数，求的取值范围.
11．若的值为,则的值是（）
（A）（B）（C）（D）
12.有三个连续正整数,其倒数之和是,那么这三个数中最小的是（）
（A）1（B）2（C）3（D）4
13．若满足,则的值为（）
（A）1或0（B）或0（C）1或（D）1或
14.方程的正整数解是_____.
15.若,则_____.
16．解方程:
.
五、课后作业
1、
（1）当a时，分式有意义；
（2）当_____时,分式无意义；
（3）当______时,分式有意义；（4）当_______时,分式的值为1；
（5）当______时,分式的值为正；（6）当______时分式的值为负.
2、
（1）当分式=-1时,则x__________；
（2）若分式的值为零，则x的值为
（3）当x________时,有意义.
3、计算：
①；②；③.
4、若关于的方程有增根，则的值为
5、如果分式方程无解，则的值为
6、如果解关于的方程会产生增根，求的值.
7、当为何值时，关于的方程的解为非负数.
8、已知，求
（1）的值；
（2）求的值.
9．设轮船在静水中的速度为,该船在流水（速度为）中从上游A驶往下游B,再返回A，所用的时间为T,假设,即河流改为静水,该船从A至B再返回A,所用时间为,则（）
（A）（B）（C）（D）不能确定T与的大小关系
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