届中考数学二轮复习第课时《分段函数的应用》.doc

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第8课时分段函数的应用

（60分）

1．（15分）[2017·安徽]某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元．经市场调查，每天的销售量y（kg）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：

售价x（元/kg）

50

60

70

销售量y（kg）

100

80

60

（1）求y与x之间的函数表达式；

（2）设商品每天的总利润为W（元），求W与x之间的函数表达式（利润＝收入—成本）；

（3）试说明

（2）中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？

解：

（1）根据题意，设y＝kx＋b，其中k，b为待定的常数，

由表中的数据得解得

∴y＝－2x＋200（40≤x≤80）；

（2）根据题意得W＝y·（x－40）＝（－2x＋200）（x－40）＝－2x2＋280x－

8000（40≤x≤80）；

（3）由

（2）可知：

W＝－2（x－70）2＋1800，∴当售价x在满足40≤x≤70的范围内，利润W随着x的增大而增大；当售价在满足70＜x≤80的范围内，利润W随着x的增大而减小．∴当x＝70时，利润W取得最大值，最大值为1800元．

2．（15分）[2016·襄阳]襄阳市某企业积极响应政府“创新发展”的号召，研发了一种新产品．已知研发、生产这种产品的成本为30元/件，且年销售量y（万件）关于售价x（元/件）的函数表达式为：

y＝

（1）若企业销售该产品获得的年利润为W（万元），请直接写出年利润关于售价x（元/件）的函数表达式；

（2）当该产品的售价x（元/件）为多少时，企业销售该产品获得的年利润最大？

最大年利润是多少？

（3）若企业销售该产品的年利润不少于750万元，试确定该产品的售价x（元/件）的取值范围．

解：

（1）W＝

（2）由

（1）知，当40≤x<60时，W＝－2（x－50）2＋800.

∵－2<0，∴当x＝50时，W有最大值800.

当60≤x≤70时，W＝－（x－55）2＋625.

∵－1＜0，∴当60≤x≤70时，W随x的增大而减小，

∴当x＝60时，W有最大值为600.

∵800>600，∴W最大值为800万元．

答：

当该产品的售价定为50元/件时，销售该产品的年利润最大，最大利润为800万元；

（3）当40≤x＜60时，令W＝750，得

－2（x－50）2＋800＝750，解得x1＝45，x2＝55.

由函数W＝－2（x－50）2＋800的性质可知，

当45≤x≤55时，W≥750，

当60≤x≤70时，W最大值为600＜750.

答：

要使企业销售该产品的年利润不少于750万元，该产品的销售价x（元/件）的取值范围为45≤x≤55.

3．（15分）[2017·荆州]荆州市某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价p（元/kg）与时间第t天之间的函数关系为p＝日销售量y（kg）与时间第t天之间的函数关系如图3－3－1所示．

（1）求日销售量y与时间t的函数关系式？

（2）哪一天的日销售利润最大？

最大利润是多少？

（3）该养殖户有多少天日销售利润不低于2400元？

（4）在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1kg小龙虾，就捐赠m（m＜7）元给村里的特困户．在这前40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求m的取值范围．

图3－3－1

【解析】

（1）根据函数图象，利用待定系数法求解可得；

（2）设日销售利润为W，分1≤t≤40和41≤t≤80两种情况，根据“总利润＝每千克利润×销售”列出函数表达式，由二次函数的性质分别求得最值即可判断；

（3）求出W＝2400时x的值，结合函数图象即可得出答案；

（4）依据

（2）中相等关系列出函数表达式，确定其对称轴，由1≤t≤40且销售利润随时间t的增大而增大，结合二次函数的性质可得答案．

解：

（1）设函数表达式为y＝kt＋b，

将（1，198），（80，40）代入，得解得

∴y＝－2t＋200（1≤t≤80，t为整数）；

（2）设日销售利润为W，则W＝（p－6）y，

①当1≤t≤40时，W＝（－2t＋200）＝－（t－30）2＋2450，

∴当t＝30时，W最大＝2450；

②当41≤t≤80时，w＝（－2t＋200）＝（t－90）2－100，

∴当t＝41时，W最大＝2301，

∵2450＞2301，

∴第30天的日销售利润最大，最大利润为2450元；

（3）由

（2）得当1≤t≤40时，W＝－（t－30）2＋2450，

令W＝2400，即－（t－30）2＋2450＝2400，解得t1＝20，t2＝40，

由函数W＝－（t－30）2＋2450的图象（如答图）可知，当20≤t≤40时，日销售利润不低于2400元，

第3题答图

而当41≤t≤80时，W最大＝2301＜2400，

∴t的取值范围是20≤t≤40，∴共有21天符合条件；

（4）设日销售利润为W，根据题意，得

W＝（－2t＋200）＝－t2＋（30＋2m）t＋2000－200m，其函数图象的对称轴为t＝2m＋30，

∵W随t的增大而增大，且1≤t≤40，

∴由二次函数的图象及其性质可知2m＋30≥40，

解得m≥5，又∵m＜7，∴5≤m＜7.

4．（15分）小慧和小聪沿图3－3－2①中景区公路游览．小慧乘坐车速为30km/h的电动汽车，早上7：

00从宾馆出发，游玩后中午12：

00回到宾馆．小聪骑车从飞瀑出发前往宾馆，速度为20km/h，途中遇见小慧时，小慧恰好游完一景点后乘车前往下一景点，上午10：

00小聪到达宾馆．图②中的图象分别表示两人离宾馆的路程s（km）与时间t（h）的函数关系．试结合图中信息回答：

图3－3－2

（1）小聪上午几点钟从飞瀑出发？

（2）试求线段AB，GH的交点B的坐标，并说明它的实际意义；

（3）如果小聪到达宾馆后，立即以30km/h的速度按原路返回，那么返回途中他几点钟遇见小慧？

解：

（1）小聪从飞瀑到宾馆所用的时间为50÷20＝2.5（h），

∵小聪上午10：

00到达宾馆，

∴小聪从飞瀑出发的时刻为10－2.5＝7.5，即7：

30.

答：

小聪早上7：

30从飞瀑出发；

（2）设直线GH的函数表达式为s＝kt＋b，

由于点G的坐标为，点H的坐标为（3，0），

则有解得

∴直线GH的函数表达式为s＝－20t＋60，

又∵点B的纵坐标为30，

∴当s＝30时，得－20t＋60＝30，解得t＝，

∴点B的坐标为.

答：

点B的实际意义是上午8：

30小慧与小聪在离宾馆30km（即景点草甸）处第一次相遇；

（3）方法一：

设直线DF的函数表达式为s＝k1t＋b1，该直线过点D和F（5，0），

由于小慧从飞瀑回到宾馆所用时间为50÷30＝（h），

∴小慧从飞瀑准备返回时t＝5－＝（h），

即点D的坐标为.

则有解得

∴直线DF的函数表达式为s＝－30t＋150，

∵小聪上午10：

00到达宾馆后立即以30km/h的速度返回飞瀑，所需时间为50÷30＝（h）．

第4题答图

如答图，HM为小聪返回时s关于t的函数图象，

∴点M的横坐标为3＋＝，∴M，

设直线HM的函数表达式为s＝k2t＋b2，该直线过点H（3，0）和M，

则有

∴直线HM的函数表达式为s＝30t－90，

由30t－90＝－30t＋150，解得t＝4，即11：

00.

答：

小聪返回途中上午11：

00遇见小慧；

方法二：

如答图，过点E作EQ⊥x轴于点Q，由题意，可得点E的纵坐标为两人相遇时距宾馆的路程，

又∵两人速度均为30km/h，

∴该路段两人所花时间相同，即HQ＝QF，

∴点E的横坐标为4.

答：

小聪返回途中上午11：

00遇见小慧．

（20分）

5．（20分）[2017·黄冈]月电科技有限公司用160万元，作为新产品的研发费用，成功研制出了一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：

每年的年销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图3－3－3所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分．设公司销售这种电子产品的年利润为W（万元）．（注：

若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损记做下一年的成本）

图3－3－3

（1）请求出y（万件）与x（元/件）之间的函数关系式．

（2）求出第一年这种电子产品的年利润W（万元）与x（元/件）之间的函数关系式，并求出第一年年利润的最大值．

（3）假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润W（万元）取得最大值时进行销售，现根据第一年的盈亏情况，决定第二年将这种电子产品每件的销售价格x（元）定在8元以上（x＞8），当第二年的年利润不低于103万元时，请结合年利润W（万元）与销售价格x（元/件）的函数示意图，求销售价格x（元/件）的取值范围．

【解析】

（1）求y（万件）与x（元/件）之间的函数关系式，结合图象，是一个分段函数，已知点坐标，运用待定系数法可求；

（2）根据“年利润＝年销售量×每件的利润－成本（160万元）”，可求出年利润W（万元）与x（元/件）之间的函数关系式，但要注意的是和第

（1）问一样是分段函数，根据每段的函数特征分别求出最大值，再比较这两个数值的大小，从而确定第一年的年利润的最大值；

（3）根据条件“第二年的年利润不低于103万元”，可得W≥103，这是一个一元二次不等式，观察年利润W（万元）与销售价格x（元/件）的函数示意图，从而得出结果．

解：

（1）当4≤x≤8时，设y＝，将A（4，40）代入，得

k＝4×40＝160.

∴y与x之间的函数关系式为y＝.

当8＜x≤28时，设y＝kx＋b，将B（8，20），C（28，0）代入，得解得

∴y与x之间的函数关系式为y＝－x＋28.

∴综上所述，得y＝

（2）当4≤x≤8时，W＝（x－4）×y－160＝（x－4）×－160＝－.

∵W随着x的增大而增大，

∴当x＝8时，Wmax＝－＝－80.

当8＜x≤28时，W＝（x－4）×y－160＝（x－4）×（－x＋28）－160＝－x2＋32x－272＝－（x－16）2－16.

∴当x＝16时，Wmax＝－16.∵－16＞－80，

∴当每件的销售价格定为16元时，第一年的年利润的最大值为－16万元．

（3）∵第一年的年利润为－16万元．

∴16万元应作为第二年的成本．

第5题答图

又∵x＞8，

∴第二年的年利润W＝（x－4）（－x＋28）－16

＝－x2＋32x－128，

令W＝103，则－x2＋32x－128＝103，解得x1＝11，x2＝21.

在平面直角坐标系中，画出W与x的函数示意图如答图，观察示意图可知：

当W≥103时，11≤x≤21.

∴当11≤x≤21时，第二年的年利润W不低于103万元．

（20分）

6．（20分）[2017·随州]某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．

（1）求该种水果每次降价的百分率；

（2）从第一次降价的第1天算起，第x天（x为正数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1≤x＜15）之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？

时间x（天）

1≤x＜9

9≤x＜15

x≥15

售价（元/斤）

第1次降价后的价格

第2次降价后的价格

销量（斤）

80－3x

120－x

储存和损耗费用（元）

40＋3x

3x2－64x＋400

（3）在

（2）的条件下，若要使第15天的利润比

（2）中最大利润最多少127.5元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？

【解析】

（1）设该种水果每次降价的百分率为x，则第一次降价后的价格为10（1－x），第二次降价后的价格为10（1－x）2，进而可得方程；

（2）分两种情况考虑，先利用“利润＝（售价－进价）×销量－储存和损耗费用”，再分别求利润的最大值，比较大小确定结论；

（3）设第15天在第14天的价格基础上降a元，利用不等关系“

（2）中最大利润－[（8.1－a－4.1）×销量－储存和损耗费用]≤127.5”求解．

解：

（1）设该种水果每次降价的百分率为x，依题意，

得10（1－x）2＝8.1，

解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．

答：

该种水果每次降价的百分率为10%.

（2）第一次降价后的销售价格为10×（1－10%）＝9（元/斤），

当1≤x＜9时，y＝（9－4.1）（80－3x）－（40＋3x）＝－17.7x＋352；

当9≤x＜15时，y＝（8.1－4.1）（120－x）－（3x2－64x＋400）＝－3x2＋60x＋80，

综上所述，y与x的函数关系式为

y＝

当1≤x＜9时，y＝－17.7x＋352，

∴当x＝1时，y最大＝334.3（元）；

当9≤x＜15时，y＝－3x2＋60x＋80＝－3（x－10）2＋380，

∴当x＝10时，y最大＝380（元）．

∵334.3＜380，

∴在第10天时销售利润最大．

（3）设第15天在第14天的价格上最多可降a元，依题意，得

380－[（8.1－a－4.1）（120－15）－（3×152－64×15＋400）]≤127.5，解得a≤0.5，

则第15天在第14天的价格上最多可降0.5元．