人教版初中数学第五章相交线与平行线知识点.docx
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第五章相交线与平行线
5.1相交线
5.1.1相交线
邻补角与对顶角
两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角,它们的概念及性质如下表:
图形
顶点
边的关系
大小关系
对顶角
1
2
∠1与∠2
有公共顶点
∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线
对顶角相等
即∠1=∠2
邻补角
4
3
∠3与∠4
有公共顶点
∠3与∠4有一条边公共,另一边互为反向延长线.
∠3+∠4=180°
注意点:
(1)对顶角是成对出现的,对顶角是具有特殊位置关系的两个角;
(2)如果∠α与∠β是对顶角,那么一定有∠α=∠β;反之如果∠α=∠β,那么∠α与∠β不一定是对顶角;
(3)如果∠α与∠β互为邻补角,则一定有∠α+∠β=180°;反之如果∠α+∠β=180°,则∠α与∠β不一定是邻补角;
(4)两直线相交形成的四个角中,每一个角的邻补角有两个,而对顶角只有一个.
例:
如图,三条直线交于一点,任意找出图中的四对对顶角.
错解:
如图,对顶角为:
(1)∠AOC与∠BOD;
(2)∠AOF与∠BOD;
(3)∠COF与∠DOE;
(4)∠AOC与∠BOE.
错解分析:
错解中把有公共顶点的角误认为是对顶角,导致
(2)和(4)错误.如果对对顶角的概念没有真正理解和掌握,在比较复杂的图形识别中会产生错误.对顶角就是:
一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线.
正解:
(1)∠AOC与∠BOD;
(2)∠BOE与∠AOF;(3)∠COF与∠DOE;
(4)∠COE与∠DOF.(答案不唯一:
∠AOE与∠BOF,∠BOC与∠AOD也是对顶角)
5.1.2垂线
1、定义:
当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中的一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足.
A
B
C
D
O
符号语言记作:
如图所示:
AB⊥CD,垂足为O
2、在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
3、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.简称:
垂线段最短.
4、点到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离
5.1.3同位角、内错角、同旁内角
1
2
3
4
5
6
7
8
两条直线被第三条直线所截形成八个角,它们构成了同位角、内错角与同旁内角.
如图,直线被直线所截
1、∠1与∠5在截线的同侧,同在被截直线的上方,
叫做同位角(位置相同)
2、∠5与∠3在截线的两旁(交错),在被截直线之间(内),叫做内错角(位置在内且交错)
3、∠5与∠4在截线的同侧,在被截直线之间(内),叫做同旁内角.
6
B
A
D
2
3
4
5
7
8
9
F
E
C
例:
1
如图,判断下列各对角的位置关系:
(1)∠1与∠2;
(2)∠1与∠7;(3)∠1与∠BAD;(4)∠2与∠6;(5)∠5与∠8.
解:
我们将各对角从图形中抽出来(或者说略去与有关角无关的线),得到下列各图.
如图所示,不难看出∠1与∠2是同旁内角;∠1与∠7是同位角;∠1与∠BAD是同旁内角;∠2与∠6是内错角;∠5与∠8对顶角.
A
B
C
1
7
A
B
F
2
1
A
B
C
D
2
6
A
D
B
F
1
B
A
F
E
5
8
C
注意:
图中∠2与∠9,它们是同位角吗?
不是,∵∠2与∠9的各边分别在四条不同直线上,不是两直线被第三条直线所截而成.
5.2平行线及其判定
5.2.1平行线
1、平行线的概念:
在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线,直线与直线互相平行,记作∥.
2、两条直线的位置关系
在同一平面内,两条直线的位置关系只有两种:
⑴相交;⑵平行.
因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时,就可以肯定它们平行;反过来也一样(这里,我们把重合的两直线看成一条直线)
判断同一平面内两直线的位置关系时,可以根据它们的公共点的个数来确定:
①有且只有一个公共点,两直线相交;
②无公共点,则两直线平行;
③两个或两个以上公共点,则两直线重合(∵两点确定一条直线)
3、平行公理――平行线的存在性与惟一性
经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行
4、平行公理的推论:
如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行
如左图所示,∵∥,∥
∴∥
注意符号语言书写,前提条件是两直线都平行于第三条直线,才会结论,这两条直线都平行.
例:
同一平面内,不相交的两条线是平行线.
错解:
对.
错解分析:
平行线是同一平面内两条直线的位置关系,不相交的两条线,说的不明确.若是射线或线段有可能不相交.∴说法是错误的.
正解:
同一平面内,不相交的两条直线是平行线.
5.2.2平行线的判定
判定方法1两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行
简称:
同位角相等,两直线平行
判定方法2两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行
简称:
内错角相等,两直线平行
判定方法3两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行
A
B
C
D
E
F
1
2
3
4
简称:
同旁内角互补,两直线平行
几何符号语言:
∵ ∠3=∠2
∴ AB∥CD(同位角相等,两直线平行)
∵ ∠1=∠2
∴ AB∥CD(内错角相等,两直线平行)
∵ ∠4+∠2=180°
∴ AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行)
例:
判断下列说法是否正确,如果不正确,请给予改正:
(1)不相交的两条直线必定平行线.
(2)在同一平面内不相重合的两条直线,如果它们不平行,那么这两条直线一定相交.
(3)过一点可以且只可以画一条直线与已知直线平行
解:
(1)错误.平行线是在“同一平面内不相交的两条直线”.“在同一平面内”是一项重要条件,不能遗漏.
(2)正确
(3)错误.正确的说法是“过直线外一点”而不是“过一点”.∵如果这一点不在已知直线上,是作不出这条直线的平行线的.
例:
如图,由条件∠2=∠B,∠1=∠D,∠3+∠F=180°,可以判定哪两条直线平行,并说明判定的根据是什么?
A
B
E
D
F
C
1
2
3
解:
(1)由∠2=∠B可判定AB∥DE,根据是同位角相等,两直线平行;
(2)由∠1=∠D可判定AC∥DF,根据是内错角相等,两直线平行;
(3)由∠3+∠F=180°可判定AC∥DF,根据同旁内角互补,两直线平行.
5.3平行线的性质
5.3.1平行线的性质
性质1:
两直线平行,同位角相等;
性质2:
两直线平行,内错角相等;
A
B
C
D
E
F
1
2
3
4
性质3:
两直线平行,同旁内角互补.
几何符号语言:
∵AB∥CD
∴∠1=∠2(两直线平行,内错角相等)
∵AB∥CD
∴∠3=∠2(两直线平行,同位角相等)
∵AB∥CD
A
D
E
B
C
1
2
∴∠4+∠2=180°(两直线平行,同旁内角互补)
例:
已知∠1=∠B,求证:
∠2=∠C
证明:
∵∠1=∠B(已知)
∴DE∥BC(同位角相等,两直线平行)
∴∠2=∠C(两直线平行,同位角相等)
例:
如图,AB∥DF,DE∥BC,∠1=65°
A
D
F
B
E
C
1
2
3
求∠2、∠3的度数
解:
∵DE∥BC
∴∠2=∠1=65°(两直线平行,内错角相等)
∵AB∥DF
∴∠3+∠2=180°(两直线平行,同旁内角互补)
∴∠3=180°-∠2=180°-65°=115°
例:
如图,直线AB,CD分别和直线MN相交于点E,F,EG平分∠BEN,FH平分∠DFN.若AB∥CD,你能说明EG和FH也平行吗?
错解:
∵EG平分∠BEN,∴∠BEG=∠BEN.
同理,∵FH平分∠DFN,∴∠DFH=∠DFN.
又∵AB∥CD,∴∠BEN=∠DFN;
从而∠BEG=∠DFH.∴EG∥FH.
错解分析:
在复杂的图形中正确地找出同位角、内错角或同旁内角,是运用平行线的判定或性质的前提.认清一对同位角、内错角或同旁内角的关键是弄清截线和被截线,截线就是它们的公共边,其余两条边就是被截线.而∠BEG和∠DFH不是直线EG,FH被某条直线所截得的同位角,∴由∠BEG=∠DFH不能判定EG∥FH.
正解:
∵EG平分∠BEN,∴∠BEG=∠GEN=∠BEN,
同理,∵FH平分∠DFN,∴∠DFH=∠HFN=∠DFN,
又∵AB∥CD,∴∠BEN=∠DFN,从而∠GEN=∠HFN.
而∠GEN,∠HFN是直线EG,FH被直线MN所截得的同位角,∴EG∥FH.
例:
如图,△ABC中,已知∠1+∠2=180°,∠3=∠B,试判断DE与BC的位置关系,并说明理由.
错解:
∵∠1+∠2=180°,∴EF∥AB.
∴∠3+∠BDE=180°.
∵∠3=∠B,∴∠B+∠BDE=180°.
∴DE∥BC.
错解分析:
由∠1+∠2=180°,不能得到EF∥AB.
虽然∠1和∠2是由直线EF和AB被直线DC所截得的角,
但由于它们不是同旁内角,∴尽管∠1+∠2=180°,也不能得到EF∥AB.
正解:
∵∠1=∠4,∠1+∠2=180°,∴∠2+∠4=180°.
∴EF∥DB(同旁内角互补,两直线平行).
∴∠3+∠BDE=180°(两直线平行,同旁内角互补).
∵∠3=∠B,∴∠B+∠BDE=180°.
∴DE∥BC(同旁内角互补,两直线平行).
5.3.2命题、定理、证明
1、命题的概念:
判断一件事情的语句,叫做命题.
2、命题的组成
每个命题都是题设、结论两部分组成.题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项.
3、如果题设成立,那么结论一定成立,这样的命题叫真命题.
如果题设成立,不能保证结论一定成立,这样的命题叫做假命题.
4、经过推理证实而得到的真命题叫做定理.
5、在很多情况下,一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断,这个推理过程叫做证明.
5.4平移
1、平移变换
①把一个图形整体沿某一方向移动,会得到一个新的图形,新图形与原图形的形状和大小完全相同.
②新图形的每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这两个点是对应点
③连接各组对应点的线段平行且相等
2、平移的特征:
①经过平移之后的图形与原来的图形的对应线段平行(或在同一直线上)且相等,对应角相等,图形的形状与大小都没有发生变化.
②经过平移后,对应点所连的线段平行(或在同一直线上)且相等.
A
D
B
E
C
F
例:
如图,△ABC经过平移之后成为△DEF,那么:
(1)点A的对应点是点_________;
(2)点B的对应点是点______.
(3)点_____的对应点是点F;(4)线段AB的对应线段是线段_______;
(5)线段BC的对应线段是线段_______;(6)∠A的对应角是______.
(7)____的对应角是∠F.
解:
(1)D;
(2)E;(3)C;(4)DE;(5)EF;(6)∠D;(7)∠ACB.