精品-勾股定理综合性难题及答案.doc
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勾股定理练习题
1、如图，已知：
在中，，分别以此直角三角形的三边为直径画半圆，试说明图中阴影部分的面积与直角三角形的面积相等．
2、直角三角形的面积为，斜边上的中线长为，则这个三角形周长为（）
（A）（B）
（C）（D）
3、如图所示，在中,,且,
求的长.
4、如图在Rt△ABC中,，在Rt△ABC的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形。
如图所示：
要求：
在两个备用图中分别画出两种与示例图不同的拼接方法，在图中标明拼接的直角三角形的三边长（请同学们先用铅笔画出草图，确定后再用0.5mn的黑色签字笔画出正确的图形）
A
B
P
C
第6题图
5．已知：
如图，△ABC中，∠C=90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且BC=8cm，CA=6cm，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别等于 cm
C
O
A
B
D
E
F
第5题图
6．如图，在△ABC中，AB=AC，P为BC上任意一点，请说明：
AB2－AP2=PB×PC。
7．在一棵树的10米高B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处；另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米?
8．长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了______m．
9．已知：
如图，△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DE⊥DF．求证：
AE2＋BF2＝EF2．
10．已知：
如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为CB的四等分点且CE＝，求证：
AF⊥FE．
11．已知△ABC中，a2＋b2＋c2＝10a＋24b＋26c－338，试判定△ABC的形状，并说明你的理由．
12．已知a、b、c是△ABC的三边，且a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断三角形的形状．
13．如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过四个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要多长?
如果从点A开始经过四个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要多长?
14.三角形的三边长为,则这个三角形是（）
（A）等边三角形（B）钝角三角形
（C）直角三角形（D）锐角三角形.
.
勾股定理练习题答案
1、如图，已知：
在中，，分别以此直角三角形的三边为直径画半圆，试说明图中阴影部分的面积与直角三角形的面积相等．
2、直角三角形的面积为，斜边上的中线长为，则这个三角形周长为（）
（A）（B）
（C）（D）
解:
设两直角边分别为,斜边为,则,.由勾股定理,得.
所以.
所以.所以.故选（C）
3、如图所示，在中,,且,
求的长.
解:
如右图：
因为为等腰直角三角形,所以.
所以把绕点旋转到,则.
所以.连结.所以为直角三角形.
由勾股定理,得.所以.
因为所以.
所以.所以.
4、如图在Rt△ABC中,，在Rt△ABC的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形。
如图所示：
要求：
在两个备用图中分别画出两种与示例图不同的拼接方法，在图中标明拼接的直角三角形的三边长（请同学们先用铅笔画出草图，确定后再用0.5mn的黑色签字笔画出正确的图形）
解：
要在Rt△ABC的外部接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，关键是腰与底边的确定。
要求在图中标明拼接的直角三角形的三边长，这需要用到勾股定理知识。
下图中的四种拼接方法供参考。
A
B
P
C
第6题图
5．已知：
如图，△ABC中，∠C=90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且BC=8cm，CA=6cm，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别等于 cm
C
O
A
B
D
E
F
第5题图
6．如图，在△ABC中，AB=AC，P为BC上任意一点，请说明：
AB2－AP2=PB×PC。
作AD⊥BC交BC于D，AB²=BD²+AD²
（1）AP²=PD²+AD²
（2）
（1）-
（2）得：
AB²-AP²=BD²-PD²，
∴AB²-AP²=（BD+PD）（BD-PD），∵AB=AC，∴D是BC中点，
∴BD+PD=PC，BD-PD=PB，∴AB²-AP²=PB·PC
7．在一棵树的10米高B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处；另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米?
8．长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了______m．
9．已知：
如图，△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DE⊥DF．求证：
AE2＋BF2＝EF2．
证明：
过点A作AM∥BC，交FD延长线于点M，
连接EM．∵AM∥BC，∴∠MAE=∠ACB=90°，∠MAD=∠B．
∵AD=BD，∠ADM=∠BDF，∴△ADM≌△BDF．∴AM=BF，MD=DF．
又∵DE⊥DF，∴EF=EM．∴AE2+BF2=AE2+AM2=EM2=EF2．
10．已知：
如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为CB的四等分点且CE＝，求证：
AF⊥FE．
解：
连结AE，设正方形的边长为4a，计算得出AF，EF，AE的长，由AF2+EF2=AE2得AF⊥FE
11．已知△ABC中，a2＋b2＋c2＝10a＋24b＋26c－338，试判定△ABC的形状，并说明你的理由．
解：
原式变为（a-5）2+（b-12）2+（c-13）2=0所以a=5，b=12，c=13
所以a2+b2=c2所以△ABC为直角三角形。
12．已知a、b、c是△ABC的三边，且a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断三角形的形状．
13．如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过四个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要多长?
如果从点A开始经过四个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要多长?
将长方体展开，连接A、B′，
∵AA′=1+3+1+3=8（cm），A′B′=6cm，
根据两点之间线段最短，AB′= =10cm．
如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，
相当于直角三角形的两条直角边分别是8n和6
14.三角形的三边长为,则这个三角形是（）
（A）等边三角形（B）钝角三角形
（C）直角三角形（D）锐角三角形.
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