一元二次方程根与系数的关系提高题.doc
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一元二次方程根与系数的关系提高题
一.选择题(共14小题)
1.若方程x2﹣3x﹣1=0的两根为x1,x2,则的值为( )A.3 B.﹣3 C. D.﹣
2.已知a,b是方程x2﹣2x﹣1=0的两个根,则a2+a+3b的值是( )A.7 B.﹣5 C.7 D.﹣2
3.已知关于x的方程x2﹣x+1﹣2m=0的两根分别为x1,x2,且x12+x22=3,则关于x的不等式3﹣(2m﹣1)x≤0的解为( )A.x≤ B.x< C.x≥3 D.x≤3
4.若关于x的一元二次方程2x2﹣2x+3m﹣1=0的两个实数根x1,x2,且x1•x2>x1+x2﹣4,则实数m的取值范围是( )A.m> B.m≤ C.m< D.<m≤
5.若α,β是方程x2+2x﹣2005=0的两个实数根,则α2+3α+β的值为( )
A.2005 B.2003 C.﹣2005 D.4010
6.已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1=0的两个实数根的平方和为7,那么m的值是( )
A.5 B.﹣1 C.5或﹣1 D.﹣5或1
7.已知α2+α﹣1=0,β2+β﹣1=0,且α≠β,则αβ+α+β的值为( )A.2 B.﹣2 C.﹣1 D.0
8.设x1,x2是关于x的方程x2+px+q=0的两根,x1+1,x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两根,则p,q的值分别等于( )A.1,﹣3 B.1,3 C.﹣1,﹣3 D.﹣1,3
9.已知a、b、c是△ABC三边的长,则方程ax2+(b+c)x+=0的根的情况为( )
A.没有实数根 B.有两个相等的正实数根C.有两个不相等的负实数根 D.有两个异号的实数根
10.下列一元二次方程中,两根分别为﹣1+和﹣1﹣是( )
A.x2+2x+4=0 B.x2+2x﹣4=0 C.x2﹣2x+4=0 D.x2﹣2x﹣4=0
11.以方程2x2+x﹣5=0的两根之和与两根之积为根的一元二次方程是( )
A.4x2+8x﹣5=0 B.4x2﹣8x﹣5=0 C.4x2+12x+5=0 D.4x2+12x﹣5=0
12.一元二次方程x2﹣3x﹣1=0与x2﹣x+3=0的所有实数根的和等于()A.2 B.﹣4 C.4D.3
13.设x2﹣px+q=0的两实根为α,β,而以α2,β2为根的一元二次方程仍是x2﹣px+q=0,则数对(p,q)的个数是( )A.2 B.3 C.4 D.0
14.若实数a、b满足等式a2=7﹣3a,b2=7﹣3b,则代数式之值为( )
A.﹣ B. C.2或﹣ D.2或
二.选择题(共14小题)
15.已知关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2﹣2=0的两根为x1和x2,且(x1﹣2)(x1﹣x2)=0,则k的值是 .16.已知α,β为方程x2+4x+2=0的二实根,则α3+14β+50= .
17.关于的方程x2+2(k+1)x+k2=0两实根之和为m,且满足m=﹣2(k+1),关于y的不等式组有实数解,则k的取值范围是 .18.已知m,n是关于x的方程(k+1)x2﹣x+1=0的两个实数根,且满足k+1=(m+1)(n+1),则实数k的值是 .19.已知a、b是关于x的方程x2﹣(2k+1)x+k(k+1)=0的两个实数根,则a2+b2的最小值是 .20.如果α、β是一元二次方程x2+3x﹣1=0的两个根,那么α2+2α﹣β的值是 .21.以和为根的一元二次方程是 ;函数中自变量x的取值范围是 .22.已知关于x的方程x2﹣(a+b)x+ab﹣2=0.x1、x2是此方程的两个实数根,现给出三个结论:
(1)x1≠x2;
(2)x1x2>ab;(3)x12+x22>a2+b2,则正确结论的序号是 .(在横线上填上所有正确结论的序号)
23.如果实数a、b满足(a+1)2=3﹣3(a+1),(b+1)2=3﹣3(b+1),那么的值为 .
24.如果a,b是方程x2+x﹣1=0的两个根,那么代数式a3+a2b+ab2+b3的值是 .
25.若m、n是方程x2+2002x﹣1=0的两个实数根,则m2n+mn2﹣mn的值是 .
26.如果关于x的一元二次方程2x2﹣2x+3m﹣1=0有两个实数根x1,x2,且它们满足不等式,则实数m的取值范围是 .27.已知m、n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解,若(m﹣1)(n﹣1)=﹣6,则a的值为 .28.已知x,y均为实数,且满足关系式x2﹣2x﹣6=0,y2﹣2y﹣6=0,则= .
三.选择题(共10小题)29.已知在关于x的分式方程①和一元二次方程(2﹣k)x2+3mx+(3﹣k)n=0②中,k、m、n均为实数,方程①的根为非负数.
(1)求k的取值范围;
(2)当方程②有两个整数根x1、x2,k为整数,且k=m+2,n=1时,求方程②的整数根;(3)当方程②有两个实数根x1、x2,满足x1(x1﹣k)+x2(x2﹣k)=(x1﹣k)(x2﹣k),且k为负整数时,试判断|m|≤2是否成立?
请说明理由.30.在等腰△ABC中,三边分别为a、b、c,其中a=5,若关于x的方程x2+(b+2)x+6﹣b=0有两个相等的实数根,求△ABC的周长.
31.已知关于x的一元二次方程x2=2(1﹣m)x﹣m2的两实数根为x1,x2
(1)求m的取值范围;
(2)设y=x1+x2,当y取得最小值时,求相应m的值,并求出最小值.
32.已知关于x的方程kx2﹣2(k+1)x+k﹣1=0有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)是否存在实数k,使此方程的两个实数根的倒数和等于0?
若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.
33.已知关于x、y的方程组有两个不相同的实数解.
(1)求实数k的取值范围;
(2)若和是方程组的两个不相同的实数解,是否存在实数k,使得yly2﹣﹣的值等于2?
若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
34.阅读材料:
已知p2﹣p﹣1=0,1﹣q﹣q2=0,且pq≠1,求的值.
解:
由p2﹣p﹣1=0及1﹣q﹣q2=0,可知p≠0,q≠0.又∵pq≠1,∴
∴1﹣q﹣q2=0可变形为的特征.所以p与是方程x2﹣x﹣1=0的两个不相等的实数根.则,∴根据阅读材料所提供的方法,完成下面的解答.
已知:
2m2﹣5m﹣1=0,,且m≠n.求:
的值.
35.已知关于x的方程x2﹣(k+1)x+k2+1=0
(1)k取什么值时,方程有两个实数根;
(2)如果方程的两个实数根x1、x2满足|x1|=x2,求k的值.
36.已知关于x的方程(k﹣1)x2+(2k﹣3)x+k+1=0有两个不相等的实数根x1,x2.
(1)求k的取值范围;
(2)是否存在实数k,使方程的两实数根互为相反数?
如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由.解:
(1)根据题意,得△=(2k﹣3)2﹣4(k﹣1)(k+1)=4k2﹣12k+9﹣4k2+4
=﹣12k+13>0.∴k<.∴当k<时,方程有两个不相等的实数根.
(2)存在.如果方程的两个实数根互为相反数,则x1+x2==0,解得k=.检验知k=是=0的解.所以当k=时,方程的两实数根x1,x2互为相反数.
当你读了上面的解答过程后,请判断是否有错误?
如果有,请指出错误之处,直接写出正确的答案.
37.已知某二次项系数为1的一元二次方程的两个实数根为p、q,且满足关系式,试求这个一元二次方程.38.已知x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,c≠0)的两个实数根,且(m≠0,n≠0).
(1)试求用m和n表示的式子;
(2)是否存在实数m和n,满足使成立?
若存在,求出m和n的值;若不存在,请说明理由
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