四边形与证明(经典难题).doc
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第八部分 图形与证明
知识点的把握
新的课程标准对图形与证明提出了如下要求：
1.了解证明的含义.
（1）理解证明的必要性;
（2）通过具体的例子，了解定义、命题、定理的含义，会区分命题的条件（题设）和结论;（3）结合具体例子，了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立;（4）通过具体的例子理解反例的作用，知道利用反例可以证明一个命题是错误的;（5）通过实例，体会反证法的含义;（6）掌握用综合法证明的格式，体会证明的过程要步步有据.
2.掌握以下基本事实，作为证明的依据.
（1）一条直线截两条平行直线所得的同位角相等;
（2）两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，那么这两条直线平行;（3）若两个三角形的两边及其夹角（或两角及其夹边，或三边）分别相等，则这两个三角形全等;（4）全等三角形的对应边、对应角分别相等.
3.利用2中的基本事实证明下列命题.
（1）平行线的性质定理（内错角相等、同旁内角互补）和判定定理（内错角相等或同旁内角互补，则两直线平行）;
（2）三角形的内角和定理及推论（三角形的外角等于不相邻的两内角的和，三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角）;（3）直角三角形全等的判定定理;（4）角平分线性质定理及逆定理；三角形的三条角平分线交于一点（内心）;（5）垂直平分线性质定理及逆定理；三角形的三边的垂直平分线交于一点（外心）;（6）三角形中位线定理;（7）等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定定理;（8）平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定定理.
4.通过对欧几里得《原本》的介绍，感受几何的演绎体系对数学发展和人类文明的价值.
命题方向
经过对近几年各地的中考试题来看，直接考查本章知识的试题约占10%，普遍由圆结合其他的知识点进行考查.在主客观题中均有出现，往往是综合运用方程、函数、三角形、相似形等知识解决与圆有关的中考压轴题.除了考查几何图形的性质和应用外，还常常与应用问题、实际问题结合，对学生的探究能力和创新思维能力进行综合考查.
纵观近三年的中考命题，可以预见：
用几何图形的性质、判定考查学生的逻辑推理的能力、分析和解决问题的能力、以及创新意识和实际能力.因此，考查分类讨论思想、数形结合思想以及运用观察、想象、综合、比较、演绎、归纳、抽象、概括、类比等数学方法.
考试重点
一、几何图形的性质定理、判定定理的应用
本考点为基本图形的性质定理和判定定理的应用，我们要明确的基础知识有：
平行线的性质定理和判定定理、三角形的内角和定理及推论、直角三角形全等的判定定理、角平分线性质定理及逆定理、垂直平分线性质定理及逆定理、三角形中位线定理、等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定定理、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定定理.
中考过程中，几何证明是必考的范围.其中是以基本图形的性质和判定定理为主.结合各方面的知识点，考虑辅助线的做法，运用综合分析法来找出条件和结论之间的关系，提高学生的解题能力、分析能力、研究探索能力.对于几何证明的题目应首先从基本知识入手，关注辅助线的做法，总结方法，积累经验，在看图和识图方面不断创新，不断提高.
【例1】已知：
如图8-1，在ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G.
（1）求证：
△ADE≌△CBF；
（2）若四边形 BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？
并证明你的结论.
图8-1 图8-2
分析：
结合图形可以看出△ADE与△CBF全等的条件只差AE=CF，从而可以证明.
证明：
（1）如图8-2，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠1=∠C，AD=CB，AB=CD.
∵点E、F分别是AB、CD的中点，
∴AE=AB，CF=CD.
∴AE=CF.
∴△ADE≌△CBF.
（2）当四边形BEDF是菱形时，
四边形 AGBD是矩形.如图8-2.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.
∵AG∥BD，
∴四边形 AGBD是平行四边形.
∵四边形 BEDF是菱形，
∴DE=BE.
∵AE=BE，
∴AE=BE=DE.
∴∠1=∠2，∠3=∠4.
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴2∠2+2∠3=180°.
∴∠2+∠3=90°.
即∠ADB=90°.
∴四边形AGBD是矩形.
【例2】已知:
在⊙O中，CD平分∠ACB，弦AB、CD相交于点E，连结AD、BD.
图8-3
（1）写出图8-3中3对相似的三角形；
（2）找出图8-3中相等的线段，并说出理由.
解析：
由图可以看出:
△ACE∽△DBE，△AED∽△BEC，△ADE∽△CDA.
同时还可以看到AD=BD.
证明：
∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴AD=BD.
【例3】已知：
在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q.
（1）求四边形AQMP的周长；
（2）写出图8-4中的两对相似三角形（不需证明）；
图8-4
（3）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形？
说明你的理由.
分析：
结合图形的有关性质，可以证明四边形AQMP为矩形，故其周长为2a.
解：
（1）∵PM∥AB，QM∥AC
∴四边形AQMP为平行四边形
且∠1=∠C，∠2=∠B，
又∵AB=AC=a.
∴∠B=∠C，
∴∠1=∠B=∠C=∠2.
∴QB=QM，PM=PC.
∴四边形AQMP的周长为：
AQ+QM+MP+PA=AP+QB+PC+PA=AB+AC=2a；
（2）△ABC∽△QBM∽△PMC；（三对中写出任意两对即可）
（3）如图8-5当M为底边BC的中点时，四边形AQMP为菱形.理由：
当M为BC中点时.
图8-5
∵PM∥AB.QM∥AC.
∴PM=AB=.
QM=AC=.
∴PM=QM.
由
（1）知：
四边形AQMP为平行四边形.
∴四边形AQMP为菱形.
二、与圆有关的综合证明
本考点为圆的有关性质和圆中的一些定理、判定的基本应用.这是整个初中数学的核心之一.往往作为中考的压轴题，主要考查的数学思想很多：
数形结合的思想、分类讨论的思想、转化化归的思想，以及观察、想象、分析、综合、比较、演绎、归纳、抽象、概括等数学方法.
与圆有关的证明多数是结合三角形、四边形、相似形、函数等知识为主的压轴题.以“提供新材料，创设新情境，提出新问题”等新题型较多.在解题方法中要做到稳中有变、变中求新、新中求好的思想.充分发挥学生的能力.
【例4】如图8-6，已知：
C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G.
（1）求证：
点F是BD中点；
（2）求证：
CG是⊙O的切线；
（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径.
图8-6 图8-7
分析：
通过观察图形结合圆中的基础知识，运用相似三角形的性质、切线的判定方法以及直角三角形中的勾股定理，可以证明线段相等、切线及有关线段的长度.
（1）证明：
∵CH⊥AB，DB⊥AB，∴△AEH∽AFB，△ACE∽△ADF.
∴，∵HE=EC，∴BF=FD.
（2）证明：
方法一：
如图8-7连接CB、OC，
∵AB是直径，∴∠ACB=90°.∵F是BD中点，∴FC=BD=FB.
∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO.
∴∠OCF=90°,∴CG是⊙O的切线.
方法二：
可证明△OCF≌△OBF.
（3）解：
由FC=FB=FE得：
∠FCE=∠FEC.
可证得：
FA=FG，且AB=BG.
由切割线定理得：
（2+FG）2=BG×AG=2BG2. ①
在Rt△BGF中，由勾股定理得：
BG2=FG2-BF2, ②
由①②得：
FG2-4FG-12=0,
解之得：
FG1=6，FG2=-2（舍去）.
∴AB=BG=.
∴⊙O半径为2.
【例5】已知：
⊙O1与⊙O2相交于点A、B，过点B作CD⊥AB，分别交⊙O1和⊙O2于点C、D.
（1）如图8-8
（1），求证：
AC是⊙O1的直径；
（2）若AC=AD，如图8-8
（2），连结BO2、O1O2，求证：
四边形O1C BO2是平行四边形；
②若点O1在⊙O2外，延长O2O1交⊙O1于点M，在劣弧上任取一点E（点E与点B不重合）.EB的延长线交优弧于点F，如图8-8（3）所示.连结 AE、AF.则AE________ AB（请在横线上填上“≥、≤、＜、＞”这四个不等号中的一个＝并加以证明.
（1）
（2） （3）
图8-8
证明：
（1）∵ CD⊥AB，
∴∠ABC=90°
∴ AC是⊙O1的直径 .
（2）①证明1：
∵ CD⊥AB，∴∠ABD=90°.
∴AD是⊙O2的直径.
∵AC=AD.
∵CD⊥AB，∴CB=BD.
∵ O1、O2分别是AC、AD的中点.
∴ O1O2∥CD且 O1O2=CD=CB.
∴四边形O1CBO2是平行四边形.
证明2：
∵ CD⊥AB，∴∠ABD=90°.
∴AD是⊙O2的直径.
∵ AC=AD.
∵ CD⊥AB，∴CB=BD.
∵B、O2分别是CD、AD的中点.
∴BO2∥AC且 BO2=AC=O1C，
∴四边形O1CBO2是平行四边形.
证明3：
∵ CD⊥AB，∴∠ABD=90°.
∴AD是⊙O2的直径.
∵ O1、O2分别是AC、AD的中点.
∴ O1O2∥CD.
∵ CD⊥AB，∴ CB=BD.
∴ B是CD的中点.
∴O2B∥O1C.
∴四边形O1CBO2是平行四边形.
证明4：
∵CD⊥AB，∴∠ABD=90°.
∴AD是⊙O2的直径.
∵AC=AD.
∴ O1C=O2B.
∴∠C=∠D.
∵ O2B=O2D，
∴∠O2BD=∠D.
∴∠C=∠O2BD.
∴O2B∥O1C.
∴四边形O1CBO2是平行四边形.
② AE＞AB
证明1：
当点E在劣弧上（不与点C重合）时，
∵AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC，
∴∠AEB=∠ACD=∠ADC=∠AFB，
∴AE=AF.
记AF交BD为G ∵AB⊥CD，
∴ AF＞AG＞AB，
当点E与点C重合时，AE=AC＞AB，
当点E在劣弧上 （不与点B重合）时，设AE交CD与H，
AE＞AH＞AB
综上，AE＞AB.
证明2：
当点E在劣弧上（不与点C重合）时，
连结EC、DF，∵ AD是⊙O2的直径，即∠AFD=90°.
∠EAC=∠EBC=∠DBF=∠DAF.
∵ AC=AD 直角△AFD≌直角△AEC.
∴ AE=AF.
证明3：
当点E在劣弧上（不与点C重合）时，
连结EC、DF，∵ AD是⊙O2的直径，即∠AFD=90°.
∵∠DBF=∠DAF. ∴∠ADF+∠DBF=90°.
又∵∠DBF=∠EBC. ∠ABE+∠EBC=90°.
∴∠ADF=∠ABE.
∵∠ABE=∠ACE. ∴∠ADF=∠ACE.
∵AC=AD，∴直角△AFD≌直角△AEC.
∴AE=AF.
【例6】如图8-9，四边形ABCD中，AC=6，BD=8且AC⊥BD顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1；再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2……如此进行下去得到四边形AnBnCnDn.
图8-9
（1）证明：
四边形A1B1C1D1是矩形；
（2）写出四边形A1B1C1D1和四边形A2B2C2D2的面积；
（3）写出四边形AnBnCnDn的面积；
（4）求四边形A5B5C5D5的周长.
分析：
通过题目中所给条件，充分应用三角形的中位线定理结合矩形的判定定理，从而比较容易的得出证明.
（1）证明:
∵点A1，D1分别是AB、AD的中点，
∴A1D1是△ABD的中位线.
∴A1D1∥BD，A1D1=BD，
同理：
B1C1∥BD ，B1C1=BD.
∴A1D1∥B1C1，A1D1=B1C1，
∴四边形A1B1C1D1是平行四边形.
∵AC⊥BD，AC∥A1B1，BD∥A1D1，
∴A1B1⊥A1D1,
即∠B1A1D1=90°.
∴四边形A1B1C1D1是矩形.
解：
（2）四边形
A1B1C1D1的面积为12；四边形A2B2C2D2的面积为6；
（3）四边形AnBnCnDn的面积为24×；
（4）方法一：
由
（1）得矩形A1B1C1D1的长为4，宽为3；
∵矩形A5B5C5D5∽矩形A1B1C1D1；
∴可设矩形A5B5C5D5的长为4x,宽为3x，则
4x·3x=×24,
解得x=；
∴4x=1,3x=.
∴矩形A5B5C5D5的周长=2（1+）=.
方法二：
矩形A5B5C5D5的面积/矩形A1B1C1D1的面积
=（矩形A5B5C5D5的周长）2/（矩形A1B1C1D1的周长）2
即∶12=（矩形A5B5C5D5的周长）2∶142
∴矩形A5B5C5D5的周长=.
历年真题
一、选择题
1如图8-10，平行四边形ABCD中，AB=3，BC=5，AC的垂直平分线交AD于E，则△CDE的周长是（ ）
图8-10
A.6 B.8 C.9 D.10
答案：
B
解析：
有平行四边形的性质可得：
AB=CD=3，AD=BC=5.结合垂直平分线的性质得AE=CE.所以△CDE的周长为AD+CD=8.
2 如图，8-11已知⊙O过正方形ABCD的顶点A、B，且与CD边相切，若正方形的边长为2，则圆的半径为（ ）
图8-11
A. B. C. D.1
答案：
B
分析：
有图形的性质可过点O分别作出AB、BC的垂线，利用垂径定理和切割线定理可求出圆的半径.
3.如图8-12，在矩形ABCD中，EF∥AB，GH∥BC，EF、GH的交点P在BD上，图中面积相等的四边形有（ ）
图8-12
A.3对 B.4对
C.5对 D.6对
答案：
A
解析：
应用矩形的有关性质、面积的计算方法可以任意的证明四边形AGPE的面积等于PFHC，四边形AGHD的面积等于四边形FEDC，四边形ABFE的面积等于四边形BGHC，共3对.
二、填空题
4.如图8-13，已知弦AB的长等于⊙O的半径，点C是上一点，则∠ACB=____________度.
图8-13
答案：
30
解析：
由AB的长等于半径，则弦AB所对的弧的度数为60度，所以∠ACB的度数为×60=30度.
5如图8-14，⊙O为△ABC的外接圆，直径AB=10，弦BC=8，则弦AC=_________.
图8-14
答案：
6
解析：
由AB为直径，则∠C=90°，所以由勾股定理可计算出弦AC=6.
6.如图8-15，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆上一点，E是弧AC的中点，OE交弦AC于D.若AC=8cm，DE=2cm，则OD的长为____________.
图8-15
答案：
3
解析：
∵点E为弧AC的中点，∴DE⊥AC，由垂径定理可知AD=CD=4cm.在直角三角形中用勾股定理可求出OD=3cm.
7.如图8-16，已知A=30，点B，C是AD上的三等分点，分别以AB，BC，CD为直径作圆，圆心分别为E，F，G，AP切⊙G于点P，交⊙F于M，N，则弦MN的长是__________.
图8-16
答案：
8
解析：
连结GP，过F点作FH垂直于MN于H.则△AGP∽△AFH，所以，所以FH=3，连结FM，在直角三角形FMH中由勾股定理得MH=4，所以MN=8.
三、解答题
8.已知：
如图8-17，直线AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P.求证：
∠P=90°.
图8-17
证明：
∵AB∥CD，∴∠EFD+∠FEB=180°.∵EP、FP分别平分∠BEF、∠DFE，∴∠FEP+∠EFP=90°.∴∠P=90°.
9.如图8-18①，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点A与点E重合），已知AC=8cm，BC=6cm，∠C=90°，EG=4cm，∠EGF=90°，O是△EFG斜边上的中点.
如图8-18②，若整个△EFG从图①的位置出发，以1cm/s的速度沿射线AB方向平移，在△EFG平移的同时，点P从△EFG的顶点G出发，以1cm/s的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，△EFG也随之停止平移.设运动时间为x（s），FG的延长线交 AC于H，四边形OAHP的面积为y（cm2）（不考虑点P与G、F重合的情况）.
① ②
图8-18
（1）当x为何值时，OP∥AC?
（2）求y与x之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围.
（3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24？
若存在，求出x的值；若不存在，说明理由.
（参考数据：
1142=12996，1152=13225，1162=13456或4.42=19.36，4.52=20.25，4.62=21.16）
解：
（1）∵Rt△EFG∽Rt△ABC，
∴
∴FG==3cm.
∵当P为FG的中点时，OP∥EG，EG∥AC，
∴OP∥AC.
∴ x=×3=1.5（s）.
∴当x为1.5s时，OP∥AC.
（2）在Rt△EFG中，由勾股定理得：
EF=5cm.
∵EG∥AH，∴△EFG∽△AFH.
∴
∴
∴ AH=（x+5），FH=（x+5）.
过点O作OD⊥FP，垂足为 D.
∵点O为EF中点，
∴OD=EG=2cm.
∵FP=3-x，
∴S四边形OAHP=S△AFH-S△OFP
=·AH·FH-·OD·FP
=·（x+5）·（x+5）-×2×（3-x）
=+3 （0＜x＜3）.
（3）假设存在某一时刻x，使得四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24.
则S四边形OAHP=×S△ABC
∴+3=×6×8
∴6x2+85x-250=0.
解得 x1=，x2=（舍去）.
∵0＜x＜3，
∴当x=（s）时，四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24.
10已知：
如图8-19，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于E、F.求证：
四边形AFCE是菱形.
图8-19
证明：
∵EF垂直平分AC，∴EF⊥AC，且AO=CO′.
证得：
△AOE≌COF.
证得：
四边形AECF是平行四边形.
由AC⊥EF可知：
四边形AECF是菱形.
11如图8-20：
∠MON=90°，在∠MON的内部有一个正方形AOCD，点A、C分别在射线OM、ON上，点B1是ON上的任意一点，在∠MON的内部作正方形AB1C1D1.
图8-20
（1）连结D1D，求证：
∠ADD1=90°；
（2）连结CC1，猜一猜，∠C1CN的度数是多少？
并证明你的结论；
（3）在ON上再任取一点B2，以AB2为边，在∠MON的内部作正方形AB2C2D2，观察图形，并结合
（1）
（2）的结论，请你再做出一个合理的判断.
（1）证明：
∵四边形AOCD、AB1C1D1为正方形，
∴∠OAD=∠B 1AD1=90°，OA=AD=AB1=AD1.
∴∠OAB1=∠DAD1.∴△AOB1≌△ADD1.
∴∠ADD1=90°.
（2）解：
∠C1CN=45°.
如右图作C1H⊥ON于H.
证明：
∵四边形AOCD、AB1C1D1为正方形，
∴∠AOB1=∠C1HB1=90°，AB1=B1C1.
又∵∠AB1O+∠C1B1H=90°，∠AB1O+∠OAB1=90°，
∴∠C1B1H=∠OAB1.
∴△AOB1≌△B1HC1.
∴B1H=OA，C1H=OB1.
∵OA=OC，∴OC=B1H.
∴OB1=CH，∴CH=C1H，
∴∠C1CN=45°.
（3）解：
作图略.推得：
（∠ADD2=90°、∠C2CN=45°、D、D1、D2在一条直线上、C、C1、C2在一条直线上.）
12.已知∠AOB=90°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA、OB（或它们的反向延长线）相交于点D、E.
当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图8-21①），易证：
OD+OE=2OC.
当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图8-21②、图8-21③这两种情况下，上述结论是否还成立?
若成立，请给予证明；若不成立，线段OD、OE、OC之间又有怎样的数量关系?
请写出你的猜想，不需证明.
① ② ③
图8-21
解析：
图2结论：
OD+OE=OC.
证明：
过C分别作OA、OB的垂线，垂足分别为P、Q.
△CPD≌△CQE，DP=EQ
OP=OD+DP，DQ=OE-EQ
又OP+OQ=OC，即OD+DP+OE-EQ=OC
∴OD+OE=OC.
图3结论：
OE-OD=OC.
13. 如图8-22，已知，等腰Rt△OAB中，∠AOB=90°，等腰Rt△EOF中，∠EOF=90°，连结AE、BF.
图8-22
求证：
（1）AE=BF；
（2）AE⊥BF.
分析：
证明线段相等的方法，通常是通过证明两个三角形全等来证明.而证明线段垂直的方法是通过直角三角形的两锐角互余等方法证明.
证明：
（1）在△AEO与△BFO中，∵Rt△OAB与Rt△EOF是等腰直角三角形，∴AO=OB，OE=OF，∠AOE=90°-∠BOE=∠BOF，∴△AEO≌△BFO，
∴AE=BF；
（2）如图延长AE交BF于D，交OB于C，
则∠BCD=∠ACO，
由
（1）知：
∠OAC=∠OBF，
∴∠BDA=∠AOB=90°，
∴AE⊥BF.
14.如图8-23，已知：
M是AB的中点，MC=MD，∠1=∠2.
求证：
AC=BD.
图8-23
证明：
∵M是AB的中点,∴MA=MB.
∵MC=MD,
∠1=∠2,
∴△AMC≌△BMD.
∴AC=BD.
评述：
证明线段相等的一般方法是证两个三角形全等.由已知条件可以用边角边定理证明全等，故AC=BD.
15.如图8-24,已知在等腰梯形ABCD中,AD∥BC.
图8-24
（1）若AD=5,BC=11,梯形的高是4,求梯形的周长.
（2）若AD=a,BC=b,梯形的高是h,
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