人教版初中数学第十五章分式知识点.docx

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第十五章分式

15.1分式

15.1.1从分式到分式

1、一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A为分子，B为分母。

2、与分式有关的条件

（1）分式有意义：

分母不为0（）

（2）分式无意义：

分母为0（）

（3）分式值为0：

分子为0且分母不为0（）

（4）分式值为正或大于0：

分子分母同号（或）

（5）分式值为负或小于0：

分子分母异号（或）

（6）分式值为1：

分子分母值相等（A=B）

（7）分式值为-1：

分子分母值互为相反数（A+B=0）

例1．若有意义，则x的取值范围是（）

A．x＞4B．x≠4C．x≥4D．x＜4

【答案】B．

【解析】

试题解析：

由题意得，x-4≠0，

解得，x≠4，

故选B．

考点：

分式有意义的条件．

考点：

分式的基本性质．

例2．要使分式有意义，则x应满足（）

A．x≠-1B．x≠2C．x≠±1D．x≠-1且x≠2

【答案】D．

【解析】

试题分析：

∵（x+1）（x﹣2）≠0，∴x+1≠0且x﹣2≠0，∴x≠﹣1且x≠2．故选D．

考点：

分式有意义的条件．

例3．下列各式：

，，，，中，是分式的共有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】C．

【解析】

试题分析：

，，中分母中含有字母，因此是分式．故分式有3个．故选C．

考点：

分式的定义．

例4．当x=时，分式的值为0．

【答案】1

【解析】

试题分析：

由题意得：

，且x+1≠0，解得：

x=1，故答案为：

1．

考点：

分式的值为零的条件．

15.1.2分式的基本性质

1、分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。

字母表示：

，，其中A、B、C是整式，C0。

拓展：

分式的符号法则：

分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，

即：

注意：

在应用分式的基本性质时，要注意C0这个限制条件和隐含条件B0。

例1．如果把分式中的x、y都扩大到原来的10倍，则分式的值（）

A．扩大100倍

B．扩大10倍

C．不变

D．缩小到原来的

【答案】C．

【解析】

试题分析：

把分式中的x、y都扩大到原来的10倍，可得=，

故选C．

考点：

分式的基本性质．

例2．把分式中的a、b都扩大6倍，则分式的值（）

A.扩大12倍B.不变C.扩大6倍D.缩小6倍

【答案】C．

【解析】

试题分析：

分别用6a和6b去代换原分式中的a和b，

原式=，

可见新分式的值是原分式的6倍．

故选C．

考点：

分式的基本性质．

例3．写出等式中括号内未知的式子：

，括号内应填　　．

【答案】c

【解析】

先把的分母提取公因式c，得到，然后根据约分的定义求出括号内应填的数为c．

解：

，

∴，

∴括号内应填c，

故答案为c．

2、分式的约分

（1）定义：

根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

（2）步骤：

把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。

（3）注意：

①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。

②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。

（4）最简分式的定义：

一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。

约分时。

分子分母公因式的确定方法：

①系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数.

②取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式.

③如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式

例1．下列各式计算正确的是（）

A.;B.

C.;D.

【答案】D

【解析】本题考查的是分式的约分

根据分式的基本性质对各选项分析即可。

A、，故本选项错误；

B、，故本选项错误；

C、，故本选项错误；

D、，正确，

故选D。

例2．把一个分式的分子与分母的约去，叫做分式的约分;在分式中，分子与分母的公因式是.

【答案】公因式；

【解析】本题考查的是分式的约分

根据分式的约分的定义即可得到结果。

把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分；在分式中，分子与分母的公因式是

例3．将下列分式约分：

（1）=;

（2）=;（3）=.

【答案】

（1）

（2）－（3）1

【解析】本题考查的是分式的约分

根据分式的基本性质即可得到结果。

（1）=；

（2）；（3）=

例4．约分：

=　　．

【答案】

【解析】

首先确定分子与分母的公因式，系数是分子与分母的系数的最大公约数，相同的字母，取最小的次数作为公因式的字母的次数，确定公因式以后，把公因式约去即可．

解：

原式==．

故答案是：

．

例5．约分：

．

【答案】

解：

原式===．

【解析】

首先把分子分母分解因式，再约去公因式即可．

3、分式的通分

（1）定义：

把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。

（依据：

分式的基本性质！

）

（2）最简公分母：

取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。

通分时，最简公分母的确定方法：

①系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数.

②取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式.

③如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母.

例1．下列各式计算正确的是（）

A. B.C.D.

【答案】D

【解析】本题考查的是分式的通分

根据分式的性质对各学项分析即可。

，故本选项错误；

故本选项错误；

，故本选项错误；

，正确，

故选D。

例2．分式，，的最简公分母是（　　）

A．48a3b2B．24a3b2C．48a2b2D．24a2b2

【答案】D

【解析】

求最简公分母就是求所有分式分母的最小公因数．

解：

三个分式分母的系数项的公因数为a2b2，常数项的最小公因数为24，所以三分式的最小公分母是24a2b2．

故选D

例3．分式，，的最简公分母是（　　）

A．6xy2B．24xy2C．12xy2D．12xy

【答案】C

【解析】

先求出2，3，4的最小公倍数为12，按照相同字母取最高次幂，所有不同字母都写在积里，于是得到分式，，的最简公分母为12xy2．

解：

2，3，4的最小公倍数为12，

∴分式，，的最简公分母为12xy2．

故选C．

15.2分式的运算

15.2.1分式的乘除

1、分式的乘法法则：

分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

式子表示为：

2、分式的乘除法法则：

分式除以分式：

把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

式子表示为：

3、分式的乘方：

把分子、分母分别乘方。

式子表示为：

例1．等于（）

A.aB.

C．D．

【答案】B.

【解析】

试题分析：

原式=．

故选B.

考点：

分式的乘除法．

例2．化简的结果是（）

A．mB．C．m－1D．

【答案】A．

【解析】

试题分析：

原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．

试题解析：

原式=

故选A．

考点：

分式的乘除法．

例3．化简的结果为．

【答案】

【解析】

试题分析：

首先将分式的各分子和分母进行因式分解，然后将除法改成乘法进行约分化简．

原式==x（x－1）+x=．

考点：

分式的化简

15.2.2分式的加减

1、分式的加减法则：

同分母分式加减法：

分母不变，把分子相加减。

式子表示为：

异分母分式加减法：

先通分，化为同分母的分式，然后再加减。

式子表示为：

整式与分式加减法：

可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。

2、分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序

先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。

注意：

在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对有无错误或分析出错的原因。

加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。

例1．化简的结果为（）

A．B．C．D．

【答案】C．

【解析】

试题分析：

原式====．故选C．

考点：

分式的加减法．

例2．化简的结果是（）

A．m+3B．m﹣3C．D．

【答案】A

【解析】

试题分析：

利用同分母分式的减法法则计算，原式=．

故选：

A．

考点：

分式的加减法．

例3．计算：

+=．

【答案】2

【解析】

试题分析：

根据同分母的分式相加减，分母不变，只把分子相加减，可解得原式==2．

考点：

分式的加减

例4．化简的结果是（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】

试题分析：

原式===x+1；

故选A．

考点：

分式加减法．

例5．已知，求代数式的值．

【答案】5．

【解析】

试题分析：

此题考查了分式的化简与代值计算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．先正确进行分式的约分，然后准确代值计算即可．

试题解析：

解：

原式

．

∵，

∴．

∴原式

考点：

分式的化简求值．

15.2.3整数指数幂

1、引入负整数、零指数幂后，指数的取值范围就推广到了全体实数，并且正正整数幂的法则对对负整数指数幂一样适用。

即：

（）

）（）（任何不等于零的数的零次幂都等于1）

其中m，n均为整数。

15.3分式方程

解的步骤：

1、去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。

2、解整式方程，得到整式方程的解。

3、检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：

例1．方程的解是（）

A．x=3B．x=-2C．x=2D．x=5

【答案】C．

【解析】

试题分析：

方程两边都乘以3（5-x），得

3x=2（5-x）．

解得x=2

检验：

x=2时，3（5-x）≠0，

∴x=2时原分式方程的解，

故选C．

考点：

解分式方程．

例2．分式方程的解为（）

A.x=1B.x=2C.x=3D.x=4

【答案】C.

【解析】

试题分析：

方程两边同时乘以最简公分母2x（x﹣1）去分母得3x﹣3=2x，解得x=3，经检验x=3是原分式方程的解，故答案选C.

考点：

分式方程的解法.

例3．解方程：

．

【答案】x=1．

【解析】

试题分析：

观察可得2﹣x=﹣（x﹣2），所以可确定方程最简公分母为：

（x﹣2），然后去分母将分式方程化成整式方程求解．注意检验．

试题解析：

方程两边同乘以（x﹣2），

得：

x﹣3+（x﹣2）=﹣3，

解得x=1，

检验：

x=1时，x﹣2≠0，

∴x=1是原分式方程的解．

考点：

解分式方程．

例4．解分式方程：

．

【答案】x=-1.5.

【解析】

试题分析：

分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

试题解析：

去分母得：

x（x+2）-x2+4=1，

解得：

x=-1.5，

经检验x=-1.5是分式方程的解．

考点：

解分式方程．