初中数学七年级数学下学期全册教案 人教版.docx
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初中数学七年级数学下学期全册教案人教版
平面直角坐标系
（一）
一、素质教育目标
（一）知识教学点：
1．使学生逐步理解平面直角坐标系的有关概念，并会正确地画出平面直角坐标系；2．理解平面内点的坐标的意义，会根据平面内已知点的位置写出它对应的坐标，反之，已知平面上点的坐标能确定点的位置．
（二）能力训练点：
1．进一步培养学生观察图形的能力；2．逐步培养学生把所学的数学理论用于解决实际问题的能力；3．初步培养学生把实际问题转化成数学模型的能力；4．通过直角坐标系的教学，向学生渗透数形结合的思想方法．
（三）德育渗透点：
通过直角坐标系的教学，使学生进一步明确数学理论来源于实践，反过来又能指导实践进一步发展的辩证唯物主义思想．
二、教学重点、难点和疑点
1．教学重点：
使学生能在平面直角坐标系中，已知点的坐标，能确定这一点的位置；已知点的位置，能写出与它对应的坐标．因为它是以后研究函数的基础．
2．教学难点：
教材中概念、定义、名词多，学生看书时一时理不出个头绪，难以掌握教材．
三、教学步骤
（一）明确目标
在复习数轴上每个点都对应一个实数的基础上，给出这个实数叫做这个点在数轴上的坐标的定义．有了这个定义，本节课我们开始学习平面上点的坐标．为此我们首先学习平面直角坐标系．给出题目：
13．1平面直角坐标系
（二）整体感知
在出示章前图时（图13-1），说明两个问题，一是横轴分别表示一天24小时；二是纵轴表示由零下4度到零上10度．这就是为了工农业生产的需要气象工作者绘制的24小时天气变化情况的记录．针对图（13-1）同学们回答下列问题：
1．你能看出这一天最高温度在哪一点？
2．最低温度在哪一点？
3．8、12、18时的气温是多少度？
4．你能说出一天中什么时刻气温最高，什么时刻气温最低？
大概你很想知道气象工作者是怎样绘制的这幅图，为了使你也能根据情况画出此图，必须学好本章的课程．在本章中，我们将学习有关一种量随另一种量变化的一些基本问题，其中包括用式子、图象和表来描述，刻划这种变化的内容．这些内容属于代数中函数部分．为此，我们首先来学习平面直角坐标系．
请同学们思考：
什么是数轴？
数轴上的点与实数有什么关系？
当学生回答出数轴上的点与实数是一一对应的，使学生明确：
如果知道一个点对应的实数，那么这个点在数轴上的位置就被确定．这时就可以定义“数轴上每一个点都对应一个实数，这个实数叫做这个点在数轴上的坐标”．
练习一：
由学生自己完成
1．写出数轴上A，B，C，D，E各点的坐标（出示幻灯）．
2．在数轴上分别标出坐标为-1，4，2.5，0，-1.5，-3.5各点．在学生有了点在数轴上的坐标这个概念的基础上，教师可提出：
在教室中，怎样确定王敏同学的位置？
用电脑出示图13-2．学生可能回答，她坐在左数第三趟（列）第六位．如果我们依照章前图的做法就可以把王敏的坐位标出来．用一个水平数轴表示趟（列），再用一个竖直的数轴表示位（行）．如果知道王敏坐在第三列第六行，马上就能确定她的座位．即过横轴3处做横轴的垂线，再过竖轴6处做竖轴的垂线交于点m，这就是王敏的座位．这就是说要确定平面上一点的位置，必须有两个对应的数．
依照这种方法，在平面内画两条互相垂直的数轴，组成平面直角坐标系．（如图13-3）其中水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向，铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向，两轴交点O是原点．这个平面叫做坐标平面．x轴和y轴将坐标平面分成四部分，按逆时针的方向分别称之为第一象限、第二象限、第三象限、第四象限．但必须注意，坐标轴上的点不属于任何象限．
现在我们依照确定王敏座位的方法，确定平面直角坐标系中A点的坐标．（如图13-4）学生不难得出A点在x轴上坐标为3，在y轴上坐标为2．那就是说，A点的位置由3、2这一对数来唯一确定，我们就把数对（3，2）叫做A点在平面直角坐标系中的坐标，记作A（3，2）．一定要把x轴上的坐标写在前面，即A（x，y）．
练习二：
在上面的坐标系中请同学们写出B点的坐标．
例1 写出图中A，B，C，D各点的坐标．（图13-5）
注意：
1．开始要遵照前面点的坐标的概念，从图上的点分别向两轴作垂线，得出坐标；
2．例题可由学生自己来完成，同学们互相改正错误；
3．写出答案之后，注意A和B两点的坐标，一个是（2，3），另一个是（3，2），它们是平面内不同的两点，因此坐标不仅是实数对，还是有序的实数对，不能写错顺序．
现在我们来研究另一方面的问题．如果我们已知平面上某点m的坐标为（2，3），你能否在平面上找出这一点的位置？
有了前面的准备，学生是可以确定出点的位置的．
例2 在直角坐标系中，描出下列各点：
A（4，3），B（-2，3），C（-4，-1），D（2，-2）．
此题可由学生自己完成，一名学生板书．
练习三：
作完后回答教师提出的问题：
（1）F点在什么位置上？
它的坐标有什么特征？
任何一个在x轴上的点的坐标都有这个特征吗？
（2）能否由问题
（1）猜想出y轴上的点的坐标有什么特征？
如果点在坐标原点上呢？
（3）从
（1）、
（2）两个问题中，你能总结出哪些规律？
（三）重点、难点的学习与目标完成过程
本节课重点内容是能正确地画出直角坐标系，这一点，学生只要仔细不会有多大困难，而对用有序实数对表示一点的位置感到陌生，为此，首先从学生已知知识：
数轴上的点与实数的对应关系出发给出“坐标”一词，再从学生的生活实践经验，找出王敏的坐位这一事实给出座位图，找出第三列第六行．就在这个图的基础上去掉单位、列、行，再加上两条数轴，学生就很容易理解确定王敏的座位要用两个数（列，行），来引出直角坐标系的雏形，再把这个实际问题迁移到数学上来，建立直角坐标系也就迎刃而解．同时也就解决了为什么平面上点的位置必须用一对有序实数对表示这一难点．这样学生思路清楚，理解起来很方便．整节课都是在教师指导下学生自己完成的．
（四）总结、扩展
首先通过教师提问，总结出本节课都学习了哪些内容，在此基础上让学生总结出x轴，y轴上点的坐标的规律，让学生思考各象限点的坐标的特征．
四、布置作业
1.课本习题13.1第1，2题
2．阅读教材，归纳总结所学习的知识点．
五、板书设计
平面直角坐标系
（二）
一、素质教育目标
（一）知识教学点：
1．了解平面内的点与有序实数对之间的一一对应关系；2．使学生进一步熟悉根据坐标确定点和由点求得坐标的方法；3．理解各象限内及坐标轴上的点的坐标的特征，会用象限或坐标轴说明直角坐标系内点的位置，能根据点的位置确定横、纵坐标的符号；4．理解点关于x轴、y轴、原点的对称点的意义，并能求出任一点的对称点的坐标．
（二）能力训练点：
1．让学生运用数形结合的思想方法解决有关问题；2．通过平面内的点与有序实数对之间的关系的教学，向学生进行对应的思想的教育；3．培养学生的观察、分析、概括、总结的能力及动手能力．
二、教学重点、难点和疑点
本节课的教学重点是掌握平面内不同位置的点的坐标的特点．因为根据点的坐标的特点就可以确定点，而确定点是研究函数图象的基础．
本节课的教学难点是总结出不同位置的点的坐标的特点及求一个点的对称点的方法．因为这需要学生通过观察，分析才能加以归纳、总结．
三、教学步骤
（一）明确目标
上节课我们学习了用有序实数对可以表示坐标平面内的点，那么有序实数对与坐标平面内的点有什么关系、坐标平面内的点的坐标有何特点呢？
这就是我们这节课要研究的问题．
（二）整体感知：
提问：
1．在直角坐标系中，找出下列各点：
A（2，3）；B（3，2）；C（-2，3）；D（2，-3）；E（-2，-3）．
由一名同学在黑板上板演，其他同学在纸上完成，把同学完成的试卷收上来，然后看黑板上的解答，纠正其中的问题．
2．在坐标平面内不同的点的坐标是否相同？
不同的坐标所表示的点是否相同？
那么点的坐标是用什么表示的？
（答：
有序实数对）你认为坐标平面内的任意一点与有序实数对有什么关系？
由学生讨论回答，若讨论时遇到困难，可以提示：
数轴上的点与实数有什么关系？
教师加以总结：
对于坐标平面内的任意一点A，我们可以确定它的坐标，并且这个坐标是唯一的，这就说，对于坐标平面内任意一点，都有唯一的一对有序实数对和它对应；反过来，给出任意一对有序实数对，例如（3，2），我们都可以在坐标平面内描出一个点，这个点也是唯一的，这又说明，对于任意一对有序实数对，在坐标平面内都有唯一的点与它对应．
综上所述，坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的．（板书）
提问：
能否在图中指出各象限？
（用练习中已画的平面直角坐标系图）
由一名同学上黑板指出，其他同学给予评价．然后出示例题：
（出示幻灯）
例1 指出下列各点所在的象限或坐标轴：
A（-2，3）；B（1，-2）；C（-1，-2）；D（3，2）；E（-3，0）；F（0，1）．
分析：
要解决这个问题，首先要画出直角坐标系，描出给出的各点；然后，按照图中所描的点的位置，给出答案．
提问：
题中为什么要写出“所在的象限或坐标轴”？
明确坐标轴上的点不属于任何象限．
由学生完成例题之后，加以评价，然后提问：
（1）坐标轴上的点的坐标有什么特征？
上节课已介绍过，学生可以很容易回答．
（2）各象限中点的坐标有何特征？
（若学生对此问法不太清楚，可换一种问法：
坐标是由一对有序实数组成的，这对有序实数因为点的位置在不同的象限各是什么符号的数？
）
学生讨论之后，结合直角坐标系图，让学生独立完成下面的图表．（出示幻灯）
根据点所在象限，用“+．-”号填表：
提问：
任一点P（x，y）
（1）如果P（x，y）在第二象限，那么x，y分别是正数还是负数？
（2）如果x＞0，y＜0，P（x，y）在第几象限？
（向学生介绍这是一种表示不定点的方法）
通过这两个问题，使学生能从正、反两个方面理解坐标平面内点的坐标的特征．
例2 求出点P（-3，-2）关于x轴、y轴、原点的对称点．
用提问的方式加以分析：
（1）关于x轴、y轴对称是哪种对称？
应怎样通过画图作出对称点？
（2）关于原点对称是哪种对称？
应怎样通过画图作出对称点？
（这两个问题若学生有遗忘，可适当加以提示．）
（3）你能否在练习本上画出这些点？
可由教师或一名同学在黑板上画图，其他同学在练习本上完成，然后看黑板上的图加以评价、总结、提出问题：
（用P1，P2，P3表示点P关于x轴，y轴，原点的对称点）
（1）能否说出P1，P2，P3的坐标？
你的根据是什么？
（根据轴对称及中心对称的定义）
（2）观察这三点的坐标与P点的坐标有怎样的关系？
（把这四点的坐标都写在图上以便观察）
先让学生讨论，然后加以总结：
对于P（x，y）．
（1）关于x轴对称，则横坐标不变，纵坐标变为相反数，即P1（x，-y）；
（2）关于y轴对称，则纵坐标不变，横坐标变为相反数，即P2（-x，y）；
（3）关于原点对称，则横、纵坐标都变为相反数，即P3（-x，-y）；
提问：
点P（x，-y）关于x轴、y轴、原点的对称点的坐标各是什么？
这个问题是直接运用上面总结而得的规律，使学生能正确地运用该规律，并理解之．
练习：
p.10页第1，2题，互相评价．
P．11中4题填在书上，口答互相评价．
补充：
如果点M（1-x，1-y）在第二象限，那么点N（1-x，y-1）在第______象限，点Q（x-1，1-y）在第______象限．
用提问的方式加以分析，学生讨论回答：
（1）要确定点N和Q在第几象限，应知道什么条件？
答：
点N和点Q的坐标的符号．
（2）点N与Q的坐标的符号与什么有关？
答：
与x和y的取值范围有关．
（3）怎样才能确定x和y的取值范围呢？
答：
根据点M的坐标及位置．
（4）点M（1-x，1-y）在第二象限，第二象限的点的坐标有什么特征？
由此得x和y的取值范围是什么？
答：
1-x＜0即x＞1，1-y＞0即y＜1．
（5）由x＞1和y＜1可得点N和点Q的坐标的符号是什么？
答：
N（-，-）；Q（+，+）．
（6）点N和点Q各在第几象限？
答：
点N在第三象限，点Q在第一象限．
（7）点N与点Q、点P是有怎样关系的点？
答：
点N与点Q关于原点对称；点N与点P关于x轴对称．
通过这一道练习题既巩固了平面内的点的坐标的特征，同时也巩固了对称点的知识，而且考虑的方式与前面例题正好相反，这就可以培养学生思维的灵活性和深刻性．
（三）重点、难点的学习与目标完成过程
本节课的重点是掌握平面内不同位置的点的坐标的特点，为了回答这一问题，首先是从画图入手，通过特定点在图上的位置总结出特点之后，再通过正、负半轴围成的象限加以解释，就使这个问题既有直观的解答，又有理论依据，便于学生的理解和接受．
而对于求一个点的对称点的坐标也是从特例入手，用学生熟悉的几何知识加以阐述，使学生能达成知识间的顺利过渡，自然地突破这一难点．
最后又用了一道综合练习题使学生对上述两个问题加以复习，在检验学生掌握情况的基础上，教给学生完整的知识，培养了学生思维的灵活性和深刻性．
（四）总结、扩展
教师提问，学生思考回答：
1．本小节我们都学习了哪些知识？
2．坐标平面内的点与有序实数对有什么关系？
3．如何确定一个点在第几象限或哪条轴上？
4．如何确定一点关于x轴、y轴、原点的对称点的坐标？
四、布置作业
教材习题13.1中4，5，6，7题.
五、板书设计
函数
（一）
一、素质教育目标
（一）知识教学点：
1．使学生了解函数的意义，会举出函数的实例，并能写出简单的函数关系式；2．了解常量、变量的意义，能分清实例中出现的常量，变量与自变量和函数．
（二）能力训练点：
培养学生观察、分析的能力．
（三）德育渗透点：
1．通过常量、变量、函数概念的学习，培养学生会运用运动、变化的观点思考问题；2．通过例题向学生进行生动具体的知识来源于实践反过来又作用于实践的辩证唯物主义教育；3．通过函数的教学，使学生体会事物是互相联系和有规律变化着的．
二、教学重点、难点和疑点
1．教学重点：
是在了解函数、常量、变量的基础上，能指出实例中的常量、变量，并能写出简单的函数关系式．因为函数关系式是画函数图象的基础．
2．教学难点：
是对函数意义的正确理解．因为它是判断一个式子是否是函数的依据．
3．教学疑点：
①常量中写不写1；
②常量的数值包不包括“-”号；
三、教学步骤
（一）明确目标
在前面我们已经知道本章将学习有关一种量随另一种量变化的一些基本问题，这其实是函数问题．今天这节课我们就来学习数学中的一个重要的基本概念——函数．
（二）整体感知
请同学们先看两个实际问题：
（出示幻灯）
问题1：
某粮店在某一段时间内出售同一种大米，请大家思考：
在整个的售米过程中出现了哪些量？
其中哪些量是变化的？
这其中有没有不变的量？
由学生讨论回答．
答：
共出现了米的千克数、每千克米的价格、总价三个量，其中千克数和总价是随着顾客的需购量的不同而变化的，但每千克米的价钱即单价是不变的．
问题2：
我们生活在美丽的海滨城市，我们知道大海的脾气是捉摸不透的，她有时暴躁不安，有时却温柔善良．试想，当海上风平浪静时，若我们将一块石头投入海中，我们将会发现水面上有怎样的变化？
答：
水面上出现一圈圈圆形的水波纹，如图13-6．（出示幻灯）
那么，在这一变化过程中，圆的半径r，周长C和面积S是怎样变化的呢？
圆的周长和直径2r的比值又是怎样的呢？
第一个问题很简单，学生可直接得到答案，针对第二个问题的回答结果可再提问：
你是怎样得到圆的周长和直径2r的比值是不变的呢？
这个比值是什么呢？
由上面的两个例子我们可以看到，在某一具体过程中有些量是可以取不同的数值的，如以上两例中的大米的千克数、总价、圆的半径r周长C以及面积S，我们称之为变量；而有些量在整个过程中都保持不变，例如米的单价与圆周率π，我们称之为常量．
但请大家注意：
常量和变量并不是绝对的，而是相对的．例如：
（出示幻灯）
（1）从大连到北京，如果我们乘坐火车，且火车的速度保持不变，在这一过程中，哪些量是变量，哪些量是常量？
这个问题的答案有很多种，引导学生回答：
随着时间的不同，距北京的距离不同；但速度是不变的．
（2）从大连到北京，如果我们一部分人坐火车，一部分人乘飞机，在这一过程中，哪些量是变量，那些量是常量？
引导学生回答：
距离不变，但随着两种交通工具速度的不同，到北京的时间也不同．
这两个问题都可由学生讨论、回答．通过这两个问题可以向学生进行对立统一的辩证唯物主义教育．
在日常生活中，工农业生产和科学实验中，常量和变量是普遍存在的，但数学所要研究的是某一变化过程中的两个量之间的关系，即它们是怎样互相制约、互相联系的．例如：
大米的千克数与总价，圆的半径与面积之间的关系，这就是我们今天要学习的数学中一个很重要的基本概念——函数．
现在，我们就来研究什么叫函数？
首先，我们来看问题1：
在售米的过程中，米的千克数和总价这两个量有什么关系？
给学生一定的时间讨论，由学生回答后加以总结：
对于米的千克数，每确定一个值，就有唯一的总价与它相对应．
提问：
（1）大家试想，若每千克大米售价2.40元，我们用字母n表示大米的千克数，字母m表示总价，那么n与m之间有怎样的关系式呢？
（2）若买5千克大米，应付多少钱？
若买25千克大米呢？
这两问主要是为了让学生从实际问题体会一下对应的关系．
再来看问题2：
（1）请大家考虑，若已知圆的半径为r，我们应怎样计算它的面积呢？
（2）半径r与面积S有怎样的关系呢？
总结：
对于每一个半径r的值，面积S都有唯一的确定值与它相对应．
类似于这种变量间相互依存的关系还有很多，我们就不再一一例举．由上面两个例子中的共同特点，你能否总结出函数的概念呢？
教师提出问题之后，先由学生讨论，再由一名同学给出他的叙述方式，交由大家讨论，若完全正确，则教师可以加以肯定表扬之后，再强调其中的关键词语，然后板书；若回答的不完善，可由其他同学再接着补充，直到补充正确、完整之后（若学生不能总结完整，教师可适当给以提问性的铺垫）再强调关键词语，然后板书．此处是本节课的重点和难点，一定不能操之过急．
板书：
一般地，设在一个变化过程中有两个量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数．
例1 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，求矩形面积S（m2）与一边长L（m）之间的关系式，并指出式中的常量与变量，函数与自变量．（出示幻灯）
此题较简单，可由学生独立完成，完成之后，可适当给予几个数值加以计算，强化学生对定义中“唯一的”的理解．
练习：
1,2,3．口答．
2．补充：
（出示幻灯）
下列表达式是函数吗？
若是函数，指出自变量与函数，若不是函数，请说明理由：
由学生加以讨论回答．
答：
（1）、
（2）、（3）是函数，其中x是自变量，y是x的函数；
（4）不是函数．因为对于每一个x的值，y不是有唯一的值与它对应．（注意学生在说明原因时的语言，一定要正确．）
提问：
由练习（4）说明了什么问题？
（三）重点、难点的学习与目标完成过程
函数的概念是本章的一个重点，而函数的概念又是从两个量之间的关系得到的，因此本节课从两个实际问题入手，首先让学生分清什么是常量，什么是变量，接着让学生总结变量之间的关系，从而得出函数的概念，为了使学生能正确地理解函数的概念中的“唯一的”这三个字的含义，可给出数字，让学生代入式子中加以验证，最后又给出一道补充练习题，让学生能更深层次地理解这个概念．
（四）总结、扩展
教师提问，学生思考回答：
1．这节课我们主要学习了哪些知识？
2．你能否举出函数的例子？
这个问题的答案不确定，主要是为了让学生熟悉函数的概念，在学生举例的过程中，若发现问题，应及时加以纠正．
3．这节课我们还学习了常量和变量，请你回答：
自变量和函数是什么量？
四、布置作业
教材习题13.2A组1，2．B组3，4题
五、板书设计
六、参考资料
《名师授课录》（上海教育出版社）
函数
（二）
一、素质教育目标
（一）知识教学点：
1．理解自变量的取值范围和函数值的定义，对解析式为只含有一个自变量的简单的整式、分式、二次根式的函数，会确定它们的自变量的取值范围和求它们的函数值；2．使学生在了解函数的解析表示法的基础上，进一步认识与了解函数的意义；3．能在已知函数值的情况下求出相对应的自变量的值．
（二）能力训练点：
1．在确定自变量取值范围的过程中，培养学生分析问题和解决问题的能力；2．在求函数值的过程中进一步加强对学生运算能力的培养．
（三）德育渗透点：
通过函数的教学，使学生体会事物是互相联系和有规律地变化着的．
二、教学重点、难点和疑点
1．教学重点：
求自变量的取值范围和已知自变量的值求函数值．因为在通常情况下，自变量是有一定的变化范围的，而且对于在一定范围内变化的自变量，函数值也有一定的变化范围．
2．教学难点：
求自变量的取值范围．因为自变量的取值范围，决定了函数值的变化范围．
三、教学步骤
（一）明确目标
上节课我们学习了数学中一个很重要的基本概念——函数，这节课我们将来学习与函数有关的一些知识．
（二）整体感知
提问：
1．根据上节课所学知识，请你举一个函数的例子，并写出函数表达式，同时请说明它为什么是函数．
由于这个问题较基本，而且可以因人而异，所以可选择几个中下层次的学生来回答，培养学生的参与意识及能力．在学生回答的同时，把这些式子写在黑板上，留待后用．
2．（从上面出现的函数关系式中选出较恰当的一个）请你说出这个式子中的常量与变量，自变量与函数．
由学生回答，互相评价即可．
根据上述问题中给出的函数关系式，指出：
（板书）这几个函数关系式，都是利用数学式子（即解析式，在此处不必扩充解析式的定义）来表示的，我们称这种用数学式子表示函数的方法叫做解析法．
提问：
上述定义里的“这种”，你认为是什么含意？
由学生讨论，适当引导学生，可找学习较好的学生回答，然后教师加以总结，除了解析法之外，函数还有其它的表示法．例如：
在本章开始时，所给出的温度图表，其实就是用图象表示函数，这些我们将在以后学习．
提问：
1．看函数解析式S=πR2，若单纯以式子出现，这里的自变量R的取值范围是怎样的？
2．若给出圆的面积公式S=πR2，这里的自变量R的取值范围又是怎样的？
这两个问题由学生讨论回答，在此处提出这样的问题，主要是使学生明确：
在用解析式表示函数时，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义．（教师总结）
下面我们就来看一下求自变量取值范围的例题：
（出示幻灯）
例1 求下例函数中自变量
的取值范围：
（1）y=2
+3；
（2）
提问：
①看这几道题，自变量在什么样的式子中？
②上述式子，在什么样的条件下有意义？
教师提问之后，剩下的工作可由学生自行完成，然后由学生回答，互相评价即可．
练习:
1
的难度，教师可在适当的地方加以点拨，尤其注意文字“或”与“且”的使用．
练习2
由学生讨论完成这道题．
注意：
关于x的取值范围，纠正学生中易出现的x＞0这种错误，向学生解释明白（或由学生自行解释）：
字数一定是整数的．
上面，我们主要是讨论如何确定自变量的取值范围，那么在这样的取值范围内，函数值有没有变化呢？
应怎样求出特定自变量值的情况下函数的值呢？
由学生思考．
看函数y=x（30-x），当自变量x=5时，对应的函数值是多少？
由学生思考之后．口述过程．教师板书完成此题．
下面，我们来看一个例题：
（出示幻灯）
例3 求下列函数当x=2时的函数值：
由学生独立完成，找两名同学上黑板板演，第1名同学做
（1）、
（2）题；第2名同学做（3）、（4）题．然后根据学生做题的情况，总结，纠正出现的错误．
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