正方形中的常见结论.doc
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专题正方形中的常见结论及其应用
【结论一】正方形ABCD中,①AE=DF ②AE⊥DF 以上两点可以互推
扩展:
将上图中的AE、DF进行平移,始终保持①AE=DF或②AE⊥DF结论依然成立
例题1、如图,正方形ABCD的边长为3cm,E为CD边上一点,∠DAE=30°,M为AE的中点,过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q,若PQ=AE,则AP=________cm.
变式1、正方形ABCD中,点M在AB上,点N在CD上,点P在BC上,MN⊥AP于E
(1)求证:
AP=MN
(2)点F在MN上,若EF=EA,连CF,点G为CF的中点,连DG,求证:
DE=DG
(3)在
(2)的条件下,若DA=DE,DN=,BM=2,求DG的长
【结论二】P为正方形对角线AC上一点,则△ABP≌△ADP;△AEP≌△AFP;△ABE≌△ADF;△CBP≌△CDP;
例题2、正方形ABCD中,点P为CD上一点,线段AP的垂直平分线MN交BD于点N,点M为垂足,交两边于点E、F,连接PN,则下列结论,①AP=EF②PC=BN③为常数;④∠DNP=∠DAP。
其中正确的结论个数有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
变式2、平面直角坐标系中有正方形AOBC,O为坐标原点,点A、B分别在y轴、x轴正半轴上,点P、E、F分别为边BC、AC、OB上的点,EF⊥OP于M.
(1)如图1,若点E与点A重合,点A坐标为(0,8),OF=3,求P点坐标
(2)如图2,若点M位线段OP的中点,连接AB交EF于点N,求证:
MN=EF;
(3)如图3,若点E与点A重合,且P为边BC的中点,作∠MCB的角平分线交射线AM于点Q,连接OQ、BQ,求的值.
【结论三】M为正方形ABCD对角线BD上一点,N为BC上一点,AM延长线交CD于Q,AN交BD于E
①AM=MN ②AM⊥MN ③AQ平分∠DQN(或AN平分∠BNQ) ④∠QAN=45° ⑤DQ+BN=QN
⑥CN=DM 以上六点知道其中任何一个成立都可以得到其它结论的成立
例题2、如图,正方形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,Q为CD上任意一点,AQ交BD于点M,过点M作MN⊥AM交BC于点N,连接AN,QN,下列结论:
①MA=MN;②∠QAB=∠AQN;③S△AQN=S五边形ABNQD;④若QD=QC,则QD:
NB=3:
2,其中正确的结论有()个
A.1B.2C.3D.4
变式2、在平面直角坐标系中,已知:
正方形OABC的面积为16,点A,C在坐标轴的正半轴上.
(1)直接写出点B的坐标为______________;
(2)如图1,点P在AB上,点N在x轴上,OM⊥PN于M,AP=1,OM=OC,求点N的坐标;
(3)如图2,点D(m,n)是对角线AC(不含两端点)上一点,DE⊥OD交直线BC于点E(a,b).
①直接写出m,n之间满足的数量关系式是_______________;
②探究b与AD之间的数量关系式,并证明.
【结论四】E为正方形ABCD的边AD上一点,P在BE的延长线上,连PA、PC、PD,AM⊥BP
①∠APC=90°(或∠BPD=90°) ②∠APB=45°(或∠CPD=45°) ③∠BPC=45° ④PB平分∠APC
⑤PC平分∠BPD 以上五点其中任意一点成立,其它结论均成立
扩展:
以上五点其中任意一点成立时,均有以下三个结论成立①(或)
② ③
例题4、将△ABE沿直线BE折叠,A点落在正方形ABCD内部的F点,直线CF交直线BE于P,求证:
①BP⊥DP;②CF=PD
变式4、如图,M、N分别是正方形ABCD中CB、DC的延长线上的点,且DN-BM=MN
(1)求证:
∠MAN=45°
(2)若DP⊥AN交AM于P,求证PA+PC=PD