正方形中的常见结论.doc

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专题正方形中的常见结论及其应用

【结论一】正方形ABCD中，①AE=DF ②AE⊥DF 以上两点可以互推

扩展：

将上图中的AE、DF进行平移，始终保持①AE=DF或②AE⊥DF结论依然成立

例题1、如图，正方形ABCD的边长为3cm，E为CD边上一点，∠DAE=30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q，若PQ=AE，则AP=________cm.

变式1、正方形ABCD中，点M在AB上，点N在CD上，点P在BC上，MN⊥AP于E

（1）求证：

AP＝MN

（2）点F在MN上，若EF＝EA，连CF，点G为CF的中点，连DG，求证：

DE＝DG

（3）在

（2）的条件下，若DA＝DE，DN＝，BM＝2，求DG的长

【结论二】P为正方形对角线AC上一点，则△ABP≌△ADP；△AEP≌△AFP；△ABE≌△ADF；△CBP≌△CDP；

例题2、正方形ABCD中，点P为CD上一点，线段AP的垂直平分线MN交BD于点N，点M为垂足，交两边于点E、F，连接PN，则下列结论，①AP＝EF②PC＝BN③为常数；④∠DNP＝∠DAP。

其中正确的结论个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

变式2、平面直角坐标系中有正方形AOBC，O为坐标原点，点A、B分别在y轴、x轴正半轴上，点P、E、F分别为边BC、AC、OB上的点，EF⊥OP于M．

（1）如图1，若点E与点A重合，点A坐标为（0，8），OF＝3，求P点坐标

（2）如图2，若点M位线段OP的中点，连接AB交EF于点N，求证：

MN＝EF；

（3）如图3，若点E与点A重合，且P为边BC的中点，作∠MCB的角平分线交射线AM于点Q，连接OQ、BQ，求的值．

【结论三】M为正方形ABCD对角线BD上一点，N为BC上一点，AM延长线交CD于Q，AN交BD于E

①AM=MN ②AM⊥MN ③AQ平分∠DQN（或AN平分∠BNQ） ④∠QAN=45° ⑤DQ+BN=QN

⑥CN=DM 以上六点知道其中任何一个成立都可以得到其它结论的成立

例题2、如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，Q为CD上任意一点，AQ交BD于点M，过点M作MN⊥AM交BC于点N，连接AN，QN，下列结论：

①MA=MN；②∠QAB=∠AQN；③S△AQN=S五边形ABNQD；④若QD=QC，则QD:

NB=3：

2，其中正确的结论有（）个

A．1B.2C.3D.4

变式2、在平面直角坐标系中，已知：

正方形OABC的面积为16，点A，C在坐标轴的正半轴上．

（1）直接写出点B的坐标为______________；

（2）如图1，点P在AB上，点N在x轴上，OM⊥PN于M，AP＝1，OM＝OC，求点N的坐标；

（3）如图2，点D（m，n）是对角线AC（不含两端点）上一点，DE⊥OD交直线BC于点E（a，b）．

①直接写出m，n之间满足的数量关系式是_______________；

②探究b与AD之间的数量关系式，并证明．

【结论四】E为正方形ABCD的边AD上一点，P在BE的延长线上，连PA、PC、PD，AM⊥BP

①∠APC=90°（或∠BPD=90°） ②∠APB=45°（或∠CPD=45°） ③∠BPC=45° ④PB平分∠APC

⑤PC平分∠BPD 以上五点其中任意一点成立，其它结论均成立

扩展：

以上五点其中任意一点成立时，均有以下三个结论成立①（或）

② ③

例题4、将△ABE沿直线BE折叠，A点落在正方形ABCD内部的F点，直线CF交直线BE于P，求证：

①BP⊥DP；②CF=PD

变式4、如图，M、N分别是正方形ABCD中CB、DC的延长线上的点，且DN-BM=MN

（1）求证：

∠MAN=45°

（2）若DP⊥AN交AM于P，求证PA+PC=PD