特殊平行四边形拔高复习.doc
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第一章特殊平行四边形拔高复习
一特殊平行四边形知识汇总
矩形
1.定义:
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
2.性质:
(1)矩形的四个角都是直角
(2)矩形的对角线相等
(3)具备平行四边形的性质
3.判定:
(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形(定义)
(2)对角线相等的平行四边形是矩形
(3)有三个角是直角的四边形是矩形
菱形
1.定义:
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
2.性质:
(1)菱形的四条边都相等
(2)菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角
(3)具备平行四边形的性质
3.判定:
(1)一组邻边相等的平行四边形是菱形
(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形
(3)四边相等的四边形是菱形
正方形
1.定义:
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形
2.性质:
(1)边:
两组对边分别平行;四条边都相等;相邻边互相垂直
(2)内角:
四个角都是90°;
(3)对角线:
对角线互相垂直;对角线相等且互相平分;每条对角线平分一组对角;
(4)对称性:
既是中心对称图形,又是轴对称图形(有四条对称轴)。
(5)形状:
正方形也属于长方形的一种。
(6)正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质。
3.判定:
(1)对角线相等的菱形是正方形。
(2)有一个角为直角的菱形是正方形。
(3)对角线互相垂直的矩形是正方形。
(4)一组邻边相等的矩形是正方形。
(5)一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
(6)对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。
(7)对角线互相垂直,平分且相等的四边形是正方形。
(8)一组邻边相等,有三个角是直角的四边形是正方形。
(9)既是菱形又是矩形的四边形是正方形。
二专题整合与拔高
专题一特殊四边形的综合应用
1、(2013•白银)如图,在△ABC中,D是BC边上的一点,E是AD的中点,过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F,且AF=BD,连接BF.
(1)BD与CD有什么数量关系,并说明理由;
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形AFBD是矩形?
并说明理由.
考点:
矩形的判定;全等三角形的判定与性质.
专题:
证明题.
分析:
(1)根据两直线平行,内错角相等求出∠AFE=∠DCE,然后利用“角角边”证明△AEF和△DEC全等,根据全等三角形对应边相等可得AF=CD,再利用等量代换即可得证;
(2)先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AFBD是平行四边形,再根据一个角是直角的平行四边形是矩形,可知∠ADB=90°,由等腰三角形三线合一的性质可知必须是AB=AC.
解答:
解:
(1)BD=CD.
理由如下:
∵AF∥BC,
∴∠AFE=∠DCE,
∵E是AD的中点,
∴AE=DE,
在△AEF和△DEC中,,
∴△AEF≌△DEC(AAS),
∴AF=CD,
∵AF=BD,
∴BD=CD;
(2)当△ABC满足:
AB=AC时,四边形AFBD是矩形.
理由如下:
∵AF∥BD,AF=BD,
∴四边形AFBD是平行四边形,
∵AB=AC,BD=CD,
∴∠ADB=90°,
∴▱AFBD是矩形.
点评:
本题考查了矩形的判定,全等三角形的判定与性质,平行四边形的判定,是基础题,明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键.
2、(13年山东青岛、21)已知:
如图,在矩形ABCD中,M、N分别是边AD、BC的中点,E、F分别是线段BM、CM的中点
(1)求证:
△ABM≌△DCM
(2)判断四边形MENF是什么特殊四边形,并证明你的结论;
(3)当AD:
AB=____________时,四边形MENF是正方形(只写结论,不需证明)
解析:
(1)因为四边形ABCD是矩形,所以,∠A=∠D=90°,AB=DC,又MA=MD,
所以,△ABM≌△DCM
(2)四边形MENF是菱形;
理由:
因为CE=EM,CN=NB,
所以,FN∥MB,同理可得:
EN∥MC,
所以,四边形MENF为平行四边形,
又△ABM≌△DCM
(3)2:
1
3.(2012珠海,18,7分)如图,把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°得到正方形A’B’CD’(此时,点B’落在对角线AC上,点A’落在CD的延长线上),A’B’交AD于点E,连结AA’、CE.
求证:
(1)△ADA’≌△CDE;
(2)直线CE是线段AA’的垂直平分线.
【解析】
(1)由题设可得AD=DC,∠ADA′=∠CDE=90°,DA′=DE.
∴△ADA′≌△CDE.
(2)证CE是∠ACA′的角平分线,由等腰三角形的“三线合一”可得CE是线段AA’的垂直平分线.
【答案】
(1)由正方形的性质及旋转,得AD=DC,∠ADC=90°,AC=A′C,∠DA′E=45°,
∠ADA′=∠CDE=90°,
∴∠DEA′=∠DA′E=45°.∴DA′=DE.
∴△ADA′≌△CDE.
(2)由正方形的性质及旋转,得CD=CB′,∠CB′E=∠CDE=90°,CE=CE,
∴Rt△CB′E≌Rt△CDE.∵AC=A′C,∴直线CE是线段AA’的垂直平分线.
【点评】本题要求综合应用正方形的性质,旋转变换,三角形全等的判定,等腰三角形的“三线合一”,线段垂直平分线的判定等知识解决问题,是一道证线段垂直平分线的典型范例.
专题二构造特殊四边形解决问题
1.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,以斜边AB为边向外作正方形ABDE,且正方形对角线交于点O,连接OC,已知AC=5,OC=6,则另一直角边BC的长为 7 .
考点:
正方形的性质;全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形.菁优网版权所有
专题:
计算题;压轴题.
分析:
过O作OF垂直于BC,再过A作AM垂直于OF,由四边形ABDE为正方形,得到OA=OB,∠AOB为直角,可得出两个角互余,再由AM垂直于MO,得到△AOM为直角三角形,其两个锐角互余,利用同角的余角相等可得出一对角相等,再由一对直角相等,OA=OB,利用AAS可得出△AOM与△BOF全等,由全等三角形的对应边相等可得出AM=OF,OM=FB,由三个角为直角的四边形为矩形得到ACFM为矩形,根据矩形的对边相等可得出AC=MF,AM=CF,等量代换可得出CF=OF,即△COF为等腰直角三角形,由斜边OC的长,利用勾股定理求出OF与CF的长,根据OF﹣MF求出OM的长,即为FB的长,由CF+FB即可求出BC的长.
解答:
解法一:
如图1所示,过O作OF⊥BC,过A作AM⊥OF,
∵四边形ABDE为正方形,
∴∠AOB=90°,OA=OB,
∴∠AOM+∠BOF=90°,
又∠AMO=90°,∴∠AOM+∠OAM=90°,
∴∠BOF=∠OAM,
在△AOM和△BOF中,
,
∴△AOM≌△BOF(AAS),
∴AM=OF,OM=FB,
又∠ACB=∠AMF=∠CFM=90°,
∴四边形ACFM为矩形,
∴AM=CF,AC=MF=5,
∴OF=CF,
∴△OCF为等腰直角三角形,
∵OC=6,
∴根据勾股定理得:
CF2+OF2=OC2,
解得:
CF=OF=6,
∴FB=OM=OF﹣FM=6﹣5=1,
则BC=CF+BF=6+1=7.
故答案为:
7.
解法二:
如图2所示,
过点O作OM⊥CA,交CA的延长线于点M;过点O作ON⊥BC于点N.
易证△OMA≌△ONB,∴OM=ON,MA=NB.
∴O点在∠ACB的平分线上,
∴△OCM为等腰直角三角形.
∵OC=6,
∴CM=ON=6.
∴MA=CM﹣AC=6﹣5=1,
∴BC=CN+NB=6+1=7.
故答案为:
7.
2、(2013聊城)如图,四边形ABCD中,∠A=∠BCD=90°,BC=CD,CE⊥AD,垂足为E,求证:
AE=CE.
考点:
全等三角形的判定与性质;矩形的判定与性质.
专题:
证明题.
分析:
过点B作BF⊥CE于F,根据同角的余角相等求出∠BCF=∠D,再利用“角角边”证明△BCF和△CDE全等,根据全等三角形对应边相等可得BF=CE,再证明四边形AEFB是矩形,根据矩形的对边相等可得AE=BF,从而得证,
解答:
证明:
如图,过点B作BF⊥CE于F,
∵CE⊥AD,
∴∠D+∠DCE=90°,
∵∠BCD=90°,
∴∠BCF+∠DCE=90°,
∴∠BCF=∠D,
在△BCF和△CDE中,,
∴△BCF≌△CDE(AAS),
∴BF=CE,
又∵∠A=90°,CE⊥AD,BF⊥CE,
∴四边形AEFB是矩形,
∴AE=BF,
∴AE=CE.
点评:
本题考查了全等三角形的判定与性质,矩形的判定与性质,难度中等,作辅助线构造出全等三角形与矩形是解题的关键.
专题三特殊四边形中的动态与变换
1、(2013•内江)已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8,M、N分别是边BC、CD的中点,P是对角线BD上一点,则PM+PN的最小值= 5 .
考点:
轴对称-最短路线问题;菱形的性质.
分析:
作M关于BD的对称点Q,连接NQ,交BD于P,连接MP,此时MP+NP的值最小,连接AC,求出OC、OB,根据勾股定理求出BC长,证出MP+NP=QN=BC,即可得出答案.
解答:
解:
作M关于BD的对称点Q,连接NQ,交BD于P,连接MP,此时MP+NP的值最小,连接AC,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,∠QBP=∠MBP,
即Q在AB上,
∵MQ⊥BD,
∴AC∥MQ,
∵M为BC中点,
∴Q为AB中点,
∵N为CD中点,四边形ABCD是菱形,
∴BQ∥CD,BQ=CN,
∴四边形BQNC是平行四边形,
∴NQ=BC,
∵四边形ABCD是菱形,
∴CO=AC=3,BO=BD=4,
在Rt△BOC中,由勾股定理得:
BC=5,
即NQ=5,
∴MP+NP=QP+NP=QN=5,
故答案为:
5.
点评:
本题考查了轴对称﹣最短路线问题,平行四边形的性质和判定,菱形的性质,勾股定理的应用,解此题的关键是能根据轴对称找出P的位置.
2.(2014•襄阳,第12题3分)如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在边AB,BC上,且AE=AB,将矩形沿直线EF折叠,点B恰好落在AD边上的点P处,连接BP交EF于点Q,对于下列结论:
①EF=2BE;②PF=2PE;③FQ=4EQ;④△PBF是等边三角形.其中正确的是( )
A.
①②
B.
②③
C.
①③
D.
①④
考点:
翻折变换(折叠问题);矩形的性质
分析:
求出BE=2AE,根据翻折的性质可得PE=BE,再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出∠APE=30°,然后求出∠AEP=60°,再根据翻折的性质求出∠BEF=60°,根据直角三角形两锐角互余求出∠EFB=30°,然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得EF=2BE,判断出①正确;利用30°角的正切值求出PF=PE,判断出②错误;求出BE=2EQ,EF=2BE,然后求出FQ=3EQ,判断出③错误;求出∠PBF=∠PFB=60°,然后得到△PBF是等边三角形,判断出④正确.
解答:
解:
∵AE=AB,
∴BE=2AE,
由翻折的性质得,PE=BE,
∴∠APE=30°,
∴∠AEP=90°﹣30°=60°,
∴∠BEF=(180°﹣∠AEP)=(180°﹣60°)=60°,
∴∠EFB=90°﹣60°=30°,
∴EF=2BE,故①正确;
∵BE=PE,
∴EF=2PE,
∵EF>PF,
∴PF>2PE,故②错误;
由翻折可知EF⊥PB,
∴∠EBQ=∠EFB=30°,
∴BE=2EQ,EF=2BE,
∴FQ=3EQ,故③错误;
由翻折的性质,∠EFB=∠BFP=30°,
∴∠BFP=30°+30°=60°,
∵∠PBF=90°﹣∠EBQ=90°﹣30°=60°,
∴∠PBF=∠PFB=60°,
∴△PBF是等边三角形,故④正确;
综上所述,结论正确的是①④.
故选D.
点评:
本题考查了翻折变换的性质,直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质,直角三角形两锐角互余的性质,等边三角形的判定,熟记各性质并准确识图是解题的关键.
3.(2014•扬州,第23题,10分)如图,已知Rt△ABC中,∠ABC=90°,先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后,再把△ABC沿射线平移至△FEG,DF、FG相交于点H.
(1)判断线段DE、FG的位置关系,并说明理由;
(2)连结CG,求证:
四边形CBEG是正方形.
(第5题图)
考点:
旋转的性质;正方形的判定;平移的性质
分析:
(1)根据旋转和平移可得∠DEB=∠ACB,∠GFE=∠A,再根据∠ABC=90°可得∠A+∠ACB=90°,进而得到∠DEB+∠GFE=90°,从而得到DE、FG的位置关系是垂直;
(2)根据旋转和平移找出对应线段和角,然后再证明是矩形,后根据邻边相等可得四边形CBEG是正方形.
解答:
(1)解:
FG⊥ED.理由如下:
∵△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后,
∴∠DEB=∠ACB,
∵把△ABC沿射线平移至△FEG,
∴∠GFE=∠A,
∵∠ABC=90°,
∴∠A+∠ACB=90°,
∴∠DEB+∠GFE=90°,
∴∠FHE=90°,
∴FG⊥ED;
(2)证明:
根据旋转和平移可得∠GEF=90°,∠CBE=90°,CG∥EB,CB=BE,
∵CG∥EB,
∴∠BCG+∠CBE=90°,
∴∠BCG=90°,
∴四边形BCGE是矩形,
∵CB=BE,
∴四边形CBEG是正方形.
点评:
此题主要考查了图形的旋转和平移,关键是掌握新图形中的每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这两个点是对应点.连接各组对应点的线段平行且相等.
4.(2012河南省)18.(9分)如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠DAB=60°,点E是AD边的中点,点M是AB边上一动点(不与点A重合),延长ME交射线CD于点N,连接MD、AN。
(1)求证:
四边形AMDN是平行四边形;
(2)填空:
①当AM的值为_____时,四边形AMDN是矩形;
②当AM的值为_______时,四边形AMDN是菱形。
E
C
D
M
B
N
A
第18题
专题四方法与技巧
数形结合
1.如图
(1)所示,在正方形ABCD中,M是AB的中点,E是AB延长线上一点,MN⊥DM,且交∠CBE的平分线于点N.
(1)求证:
MD=MN.
(2)若将上述条件中“M是AB的中点”改为“M是AB上任意一点”,其余条件不变,如图
(2)所示,则结论“MD=MN”还成立吗?
若成立,给出证明;若不成立,请说明理由.
2.如图,在边长为3的正方形ABCD中,点E是BC边上的点,BE=1,∠AEP=90°,且EP交正方形外角的平分线CP于点P,交边CD于点F,
(1)求证:
AE=EP;
(2)在AB边上是否存在点M,使得四边形DMEP是平行四边形?
若存在,请给予证明;若不存在,请说明理由.
考点:
正方形的性质;全等三角形的判定与性质;平行四边形的判定.菁优网版权所有
分析:
(1)由正方形的性质可得:
∠B=∠C=90°,由同角的余角相等,可证得:
∠BAE=∠CEF,根据同角的正弦值相等即可解答;
(2)在BA边上截取BK=BE,连接KE,根据角角之间的关系得到∠AKE=∠ECP,由AB=CB,BK=BE,得AK=EC,结合∠KAE=∠CEP,证明△AKE≌△ECP,于是结论得出;
(3)作DM⊥AE于AB交于点M,连接ME、DP,易得出DM∥EP,由已知条件证明△ADM≌△BAE,进而证明MD=EP,四边形DMEP是平行四边形即可证出.
解答:
(1)证明:
在BA边上截取BK=BE,连接KE,
∵∠B=90°,BK=BE,∴∠BKE=45°,∴∠AKE=135°,
∵CP平分外角,∴∠DCP=45°,∴∠ECP=135°,∴∠AKE=∠ECP,
∵AB=CB,BK=BE,∴AB﹣BK=BC﹣BE,即:
AK=EC,
由第一问得∠KAE=∠CEP,
∵在△AKE和△ECP中,
,
∴△AKE≌△ECP(ASA),
∴AE=EP;
(2)答:
存在.
证明:
作DM⊥AE交AB于点M,
则有:
DM∥EP,连接ME、DP,
∵在△ADM与△BAE中,
,
∴△ADM≌△BAE(ASA),
∴MD=AE,
∵AE=EP,∴MD=EP,∴MDEP,
∴四边形DMEP为平行四边形.
点评:
此题考查了相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质以及正方形的性质等知识.此题综合性很强,图形比较复杂,解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的准确选择.
分类讨论
1.(2014•孝感,第9题3分)如图,正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上,点D(5,3)在边AB上,以C为中心,把△CDB旋转90°,则旋转后点D的对应点D′的坐标是( )
A.
(2,10)
B.
(﹣2,0)
C.
(2,10)或(﹣2,0)
D.
(10,2)或(﹣2,0)
考点:
坐标与图形变化-旋转.
分析:
分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况讨论解答即可.
解答:
解:
∵点D(5,3)在边AB上,
∴BC=5,BD=5﹣3=2,
①若顺时针旋转,则点D′在x轴上,OD′=2,
所以,D′(﹣2,0),
②若逆时针旋转,则点D′到x轴的距离为10,到y轴的距离为2,
所以,D′(2,10),
综上所述,点D′的坐标为(2,10)或(﹣2,0).
故选C.
点评:
本题考查了坐标与图形变化﹣旋转,正方形的性质,难点在于分情况讨论.
2.(2011河南省)22.(10分)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=5,∠C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒(t>0).过点D作DF⊥BC于点F,连接DE、EF.
(1)求证:
AE=DF;
(2)四边形AEFD能够成为菱形吗?
如果能,求出相应的t值;如果不能,说明理由.
(3)当t为何值时,△DEF为直角三角形?
请说明理由.
类比、从特殊到一般思想
1、(2013济宁)如图1,在正方形ABCD中,E、F分别是边AD、DC上的点,且AF⊥BE.
(1)求证:
AF=BE;
(2)如图2,在正方形ABCD中,M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点,且MP⊥NQ.MP与NQ是否相等?
并说明理由.
考点:
正方形的性质;全等三角形的判定与性质.
专题:
证明题.
分析:
(1)根据正方形的性质可得AB=AD,∠BAE=∠D=90°,再根据同角的余角相等求出∠ABE=∠DAF,然后利用“角边角”证明△ABE和△DAF全等,再根据全等三角形的证明即可;
(2)过点A作AF∥MP交CD于F,过点B作BE∥NQ交AD于E,然后与
(1)相同.
解答:
(1)证明:
在正方形ABCD中,AB=AD,∠BAE=∠D=90°,
∴∠DAF+∠BAF=90°,
∵AF⊥BE,
∴∠ABE+∠BAF=90°,
∴∠ABE=∠DAF,
∵在△ABE和△DAF中,
,
∴△ABE≌△DAF(ASA),
∴AF=BE;
(2)解:
MP与NQ相等.
理由如下:
如图,过点A作AF∥MP交CD于F,过点B作BE∥NQ交AD于E,
则与
(1)的情况完全相同.
点评:
本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,主要利用了正方形的四条边都相等,每一个角都是直角的性质,同角的余角相等的性质,利用三角形全等证明相等的边是常用的方法之一,要熟练掌握并灵活运用.
2、(2013•绥化)已知,在△ABC中,∠BAC=90°,∠ABC=45°,点D为直线BC上一动点(点D不与点B,C重合).以AD为边做正方形ADEF,连接CF
(1)如图1,当点D在线段BC上时.求证CF+CD=BC;
(2)如图2,当点D在线段BC的延长线上时,其他条件不变,请直接写出CF,BC,CD三条线段之间的关系;
(3)如图3,当点D在线段BC的反向延长线上时,且点A,F分别在直线BC的两侧,其他条件不变;
①请直接写出CF,BC,CD三条线段之间的关系;
②若正方形ADEF的边长为2,对角线AE,DF相交于点O,连接OC.求OC的长度.
考点:
四边形综合题.
分析:
(1)三角形ABC是等腰直角三角形,利用SAS即可证明△BAD≌△CAF,从而证得CF=BD,据此即可证得;
(2)同
(1)相同,利用SAS即可证得△BAD≌△CAF,从而证得BD=CF,即可得到CF﹣CD=BC;
(3)首先证明△BAD≌△CAF,△FCD是直角三角形,然后根据正方形的性质即可求得DF的长,则OC即可求得.
解答:
证明:
(1)∵∠BAC=90°,∠ABC=45°,
∴∠ACB=∠ABC=45°,
∴AB=AC,
∵四边形ADEF是正方形,
∴AD=AF,∠DAF=90°,
∵∠BAD=90°﹣∠DAC,∠CAF=90°﹣∠DAC,
∴∠BAD=∠CAF,
则在△BAD和△CAF中,
,
∴△BAD≌△CAF(SAS),
∴BD=CF,
∵BD+CD=BC,
∴CF+CD=BC;
(2)CF﹣CD=BC;
(3)①CD﹣CF=BC
②∵∠BAC=90°,∠ABC=45°,
∴∠ACB=∠ABC=45°,
∴AB=AC,
∵四边形ADEF是正方形,
∴AD=AF,∠DAF=90°,
∵∠BAD=90°﹣∠BAF,∠CAF=90°﹣∠BAF,
∴∠BAD=∠CAF,
∵在△BAD和△CAF中,
∴△BAD≌△CAF(SAS),
∴∠ACF=∠ABD,
∵∠ABC=45°,
∴∠ABD=135°,
∴∠ACF=∠ABD=135°,
∴∠FCD=90°,
∴△FCD是直角三角形.
∵正方形ADEF的边长为2且对角线AE、DF相交于点O.
∴DF=AD=4,O为DF中点.
∴OC=DF=2.
点评:
本题考查了正方形与全等三角形的判定与性质的综合应用,证明三角形全等是关键.
3、(2011·牡丹江中考)已知:
正方形中,,绕点顺时针旋转,它的两边分别交(或它们的延长线)于点.
当绕点旋转到时(如图1),易证.
(1)当绕点旋转到时(如图2),线段和之间有怎样的数量关系?
写出猜想,并加以证明.
(2)当绕点旋转到如图3的位置时,线段和之间又有怎样的数量关系?
请直接写出你的猜想
方程思想
1.如图,四边形ABCD为矩形纸片,把纸片ABCD折叠,使点B恰好落在CD